《复变函数》教学41课件

1、4.1 数学期望4.1.1 离散型随机变量的数学期望 假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，二人命中靶子的情况分别为：（单位：环）甲乙9 8 10 8 9 9 8 9 8 96 7 9 10 10 9 10 8 9 10现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？第4章 随机变量的数字特征第1页，共38页。 很显然，通过某一枪的命中情况比较二人命中率是不合适的，比较容易理解的是通过二人各自命中环数的平均值来比较。对于甲选手，命中环数的平均值为对于乙选手，命中环数的平均值为第2页，共38页。 从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。 如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上

2、是比较两随机变量平均值的大小。第3页，共38页。X1 2 3例1 设某离散型随机变量 的分布列为如果对随机变量连续进行 次取值，问这 个值的平均值应是多少？（假设 相当大） 由于 是随机取值的， 个值分别是多少无法确定，但由分布列的定义，从理解第4页，共38页。可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。论上讲 次取之中有 次取到1， 次取到2, 次取到3，从而所求平均值应为：第5页，共38页。X如果级数 绝对收敛，即 期望或均值，记为 ，即收敛，则和 为随机变量 的数学定义1 设离散型随机变量 的分布列为第6页，共38页。 通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水

3、平。下面我们举例来说明。如果级数 不绝对收敛，即 不收敛，则称随机变量 的数学期望不存在。例2 对服从（01）分布的随机变量 ，其分布列为：第7页，共38页。由数学期望定义解例3 设 ，求 .已知二项分布的分布列为解求 的数学期望.第8页，共38页。已知泊松分布列为：解则 的数学期望为例4 设 服从参数为 的泊松分布,求 第9页，共38页。从而对应的概率为,例5 设随机变量 取值为 求 的数学期望.第10页，共38页。 例6 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值 1 元，每 500 万张设若干奖项如下： 但 是发散的，所以随机变量X 的数学期望不存在。无穷

4、级数解()()kkkkkkkkxXPx212111-=第11页，共38页。奖 项个 数奖品价值（元）特等一等二等三等纪念1101001000100001500500703.5试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？第12页，共38页。X 1500 500 70 3 0.5 0 设某购买者得到的奖金数为 ， 则 为一随机变量，其分布列为 解从而 的数学期望为第13页，共38页。即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的.4.1.2 连续型随机变量的数学期望 定义2 设 为连续型随机变量，概率密度第14页，共38页。 反之，如果积分 发散，则为 ，如果积分 绝对收敛，

5、即记为 。即的值为连续型随机变量 的数学期望或均值，称随机变量 的数学期望不存在。 收敛，则称积分 第15页，共38页。其它.，从而例7 设 服从 区间上的均匀分布，求 的数学期望。已知 的概率密度为解正好是 区间的中点。第16页，共38页。从而已知 的概率密度为解 例8 设 服从参数为 的指数分布，求 的数学期望。第17页，共38页。 例9 对服从正态分布 的随机变量 ,求其数学期望.则所求数学期望为:已知 的概率密度为解第18页，共38页。作变换 ，得到 即正态分布 的第一个参数 就是随机变量 的均值。第19页，共38页。4.1.3 随机变量函数的数学期望1、离散型随机变量函数的数学期望

6、如果级数 收敛，则为连续函数定理1 设离散型随机变量 的分布列为第20页，共38页。X -1 0 2 3试计算： 和 .例10 设离散型随机变量 的分布列为特别的，离散型随机变量 只取有限值，则 的数学期望一定存在。第21页，共38页。由数学期望的定义得解第22页，共38页。从而 例11 设 服从参数为 的泊松分布，试计算 的数学期望.已知 的分布列为：解第23页，共38页。第24页，共38页。2.连续型随机变量函数的数学期望 果 收敛，则定理2 设连续型随机变量 的概率密度为 为连续函数，如第25页，共38页。例12 已知 服从 上的均匀分布，计算 的数学期望。已知 的概率密度为解第26页，

7、共38页。则所求 的数学期望为：3.二维随机变量函数的数学期望定理3 （1） 如果 是二维离散型随机变是关于 和 的二元连续函数，量，其分布列为第27页，共38页。则绝对收敛，若的数学期望为则 的数学期望为:绝对收敛，续函数，若（2）如果 是二维连续型随机变量，概率密度为 , 是关于 和 的二元连第28页，共38页。例13 设随机变量 的概率密度为 试计算 和 .由定义，解第29页，共38页。第30页，共38页。4.1.4、数学期望的性质数，且 都存在，则数学期望有以 如果 是两个随机变量， 为任意常如果 与 相互独立，则下四条常见的性质。第31页，共38页。证明 数学期望的四条性质中，前两条

8、比较直观，容易理解和证明，我们只证明第（3）和第（4）条 。（3） 设 是离散型随机变量，分布列为 则由数学期望的定义，第32页，共38页。如果 为连续型随机变量，类似可以证明。（4） 设 是连续型随机变量，概率密度为 ，则由 的独立性可得 第33页，共38页。从而其中 分别为 与 的边缘概率密度， 第34页，共38页。性质（3）和性质 （4）可以推广到多个随机推论2 设随机变量 相互独立，推论1 设随机变量 的数学期望都存在，则变量，我们写成下面的推论.且数学期望都存在，则第35页，共38页。 例14 设随机变量 相互独立，试证 服从二项分布并求 . 证明 由于每个 可能取值为0或1，则 可能取值且服从同一个（01）分布：为0，1，2，n.第36页，共38页。取值为