小学数学基础知识累积

1、小学数学基础知识累积复制来源：/406266486复杂抽屉原则（上）首先我们来复习下抽屉原则的基本知识:当我们将4个苹果放入3个抽屉里时,必有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。因为如果每个抽屉里都不够2个苹果的话,那么3个抽屉里最多只有3个苹果,而我们一共有4个苹果,所以必有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。将5个苹果放如3个抽屉里,必有一个抽屉里只有1个或一个以下的苹果。大家不要小看这一条看似简单,又理所当然的原则,它可以帮助我们解决很多复杂的问题。看一道例题:例1:证明:任意给定12个不同的两位数,其中一定存在着这样的2个数,他们的差是个位与十位数字相同的两位数.证明这道题很容易,首先一个

2、数被12除的余数可以是0,1,2,10,这11种,而题目给了我们12个数,所以必然有2个数在同一个抽屉里,也就是这2个数字被11除的余数是相同的,那么这两个数的差必然是11的倍数,因为12个数都是2位数,所以差也一定是2位数或者1位数,又是11的倍数,所以这个差的个位与十位数字一定相同。这道例题就是抽屉原则的应用.在抽屉原则的应用题目中,最重要的解题思路就是如何构造抽屉和苹果。在比较复杂的抽屉原则的题目中,一般是没法一眼就看出抽屉和苹果分别是什么.那我们就需要去自己来创造抽屉和苹果。我们来下一个例子:例2:在边长为1的正方形内随意放进9个点,证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于1/8.这

3、道题目给了我们苹果,也就是9个点,这9个点要放进一个边长为1的正方形内,我们需要做的就是构造抽屉来放这些苹果。要构成三角形，需要3个点，因此我们需要让其中一个抽屉里至少有3个点，那么抽屉的数量就是（9-1）（3-1）=4个。将一个正方形分成4等份一般有下面几种，每份面积是1/4。如果分成4个三角形，那么在三角形里的3个点构成的三角形面积最大就是1/4。如果分成4个长方形或正方形，那么3个点所构成的三角形面积最大只能是每份面积的一半，也就是1/8。所以这道题目的抽屉就应该是把正方形平分成4个面积是1/4的小正方形(或长方形),然后根据抽屉原则，9个点放进4个小正方形内，必有3点在同一个小正方形内

4、，这3点所构成的三角形面积最大只能是小正方形面积的一半，也就是1/8。证完。也有些题目抽屉和苹果都是看不到的，例如：例3：证明，任何一个不是2和5的质数a，都可以找到一个形如1，11，111，1111，11111，111111，1111111的数能被a整除。其实这道题就是吓唬人的，做起来是很简单的。最关键的还是如何构造“抽屉”和“苹果”。复杂抽屉原则（下）例4,有16名学生,他们的老师每个月都会分一次组,将16名同学分成2组,问至少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某个月份是在不同组的?这道题初见也许有些同学觉得没什么头绪，但是其实这道题已经给了我们学生(苹果),组(抽屉)这2个抽屉原

5、则中最基本的元素,那么剩下的就是计算数字而已.1首先将16个同学分到2组中,那么必有一组不少与8个同学,2然后下次分组的时候这8位同学必有不少与4位仍然在一组,3接下来第3次分组,又至少有2位同学是在同一组的,4只有第4次分组才可以将这2位同学分开.也就是说要满足题目条件必须要4次或者4次以上,这里给出一种满足题目要求的分组:将同学们编成1-16号.第1次(1,2,3,4,5,6,7,8)(9,10,11,12,13,14,15,16)第2次(1,2,3,4,9,10,11,12)(5,6,7,8,13,14,15,16)第3次(1,2,5,6,9,10,13,14)(3,4,7,8,11,1

6、2,15,16)第4次(,1,3,5,7,9,11,13,15)(2,4,6,8,10,12,14,16)也就是说只要到了适当的抽屉和苹果,抽屉原则就没有难题了.下面我们来做一个找抽屉的练习:例5,在1到100这100个自然数中任意选出51个数,证明:1其中一定有2个数互质.2其中一定有2个数字的差是50.3在这些数中一定可以找到9个数,使它们有大于1的公约数(公因数).这个例题的主要内容就是练习如何来找抽屉.构造抽屉的时候必须和题目所求的东西相照应.例如第1问要有2个数互质,那么我们构造的抽屉中的数必须都是互质的.那么我们来开始构造抽屉吧:1题目要我们证明51个数中必有2个数互质,那么分组的

7、时候把相临的两个数分成一组,那么这2个数必是互质的（相临的两自然数互质）.100个数被分成(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)（99，100）这50组，那么所选的51个数中必有2个数落在了同一个“抽屉”中，这2个数必是互质的。2第2问要证明的2个数差是50，那么我们就要分组时使同一组中的数差是50，这样的话如果有2个数落在了同一个“抽屉”中，就得到2个差是50的数了。100个数分成（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）（5，55）（50，100）这50组，被选出的51个数中必有2个在同一“抽屉”中，所以我们就得到了2个差是50的数了。3这一问做起来稍有难度，但是做法还是一样的，我

8、们要找出9个数有大于1的公约数（公因数），也就是说我们构造的抽屉中的数，必须满足公约数（公因数）大于或等于2。于是分组就变成了（2，4，6，8100）全部偶数，（3，9，15，2199）3的奇倍，（5，7，11，13）剩下的33个数当我们把51个数放进这3个“抽屉”中时，我们会发现，最后一个抽屉的33数即使全部选了，也仍然剩下18个数，这18个数放进另外2个抽屉里，必有一个抽屉里有不少于9个数，那么我们就得到了这9个数，他们有一个大于1的公约数（公因数）。速算方法（乘法）一、两位数乘两位数。.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：1214=？解:11=11214=168注：个位相乘，不

9、够两位数要用0占位。.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：2327=？解：212327=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加后，头乘头，尾乘尾。例：3744=？解：3+1=4 44=16 74=283744=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：2141=？解：24=8 2+4=6 11=12141=861.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：1123125=？解：2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾

10、1123125=254375注：和满十要进一。.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13326=？解：13个位是3 33+2=11 32+6=12 36=1813326=4238注：和满十要进一。数学中关于两位数乘法的“首同末和十”和“末同首和十”速算法。所谓“首同末和十”，就是指两个数字相乘，十位数相同，个位数相加之和为10，举个例子，6763，十位数都是6，个位7+3之和刚好等于10，我告诉他，象这样的数字相乘，其实是有规律的。就是两数的个位数之积为得数的后两位数，不足10的，十位数上补0；两数相同的十位取其中一个

11、加1后相乘，结果就是得数的千位和百位。具体到上面的例子6763，73=21，这21就是得数的后两位；6（6+1）=67=42，这42就是得数的前两位，综合起来，6763=4221。类似，1515=225，8981=7209，6466=4224，9298=9016。我给他讲了这个速算小“秘诀”后，小家伙已经有些兴奋了。在“纠缠”着让我给他出完所有能出的题目并全部计算正确后，他又嚷嚷让我教他“末同首和十”的速算方法。我告诉他，所谓“末同首和十”，就是相乘的两个数字，个位数完全相同，十位数相加之和刚好为10，举例来说，4565，两数个位都是5，十位数4+6的结果刚好等于10。它的计算法则是，两数相同

12、的各位数之积为得数的后两位数，不足10的，在十位上补0；两数十位数相乘后加上相同的个位数，结果就是得数的百位和千位数。具体到上面的例子，4565，55=25，这25就是得数的后两位数，46+5=29，这29就是得数的前面部分，因此，4565=2925。类似，1191=1001，8323=1909，7434=2516，9717=1649。为了易于大家理解两位数乘法的普遍规律，这里将通过具体的例子说明。通过对比大量的两位数相乘结果，我把两位数相乘的结果分成三个部分，个位，十位，十位以上即百位和千位。（两位数相乘最大不会超过10000，所以，最大只能到千位）现举例：4256=2352其中，得数的个位

13、数确定方法是，取两数个位乘积的尾数为得数的个位数。具体到上面例子，26=12，其中，2为得数的尾数，1为个位进位数；得数的十位数确定方法是，取两数的个位与十位分别交叉相乘的和加上个位进位数总和的尾数，为得数的十位数。具体到上面例子，25+46+1=35，其中，5为得数的十位数，3为十位进位数；得数的其余部分确定方法是，取两数的十位数的乘积与十位进位数的和，就是得数的百位或千位数。具体到上面例子，45+3=23。则2和3分别是得数的千位数和百位数。因此，4256=2352。再举一例，8297，按照上面的计算方法，首先确定得数的个位数，27=14，则得数的个位应为4；再确定得数的十位数，29+87

14、+1=75，则得数的十位数为5；最后计算出得数的其余部分，89+7=79，所以，8297=7954。同样，用这种算法，很容易得出所有两位数乘法的积。反向行程问题公式【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为相遇问题(二人从两地出发,相向而行)和相离问题(两人背向而行)两种.这两种题,都可用下面的公式解答:(速度和)相遇(离)时间=相遇(离)路程;相遇(离)路程(速度和)=相遇(离)时间;相遇(离)路程相遇(离)时间=速度和.【同向行程问题公式】追及(拉开)路程(速度差)=追及(拉开)时间;追及(拉开)路程追及(拉开)时间=速度差;(速度差)追及(拉开)时间=追及(拉开)路程.【列车过桥问题公式】

15、(桥长+列车长)速度=过桥时间;(桥长+列车长)过桥时间=速度;速度过桥时间=桥,车长度之和.【行船问题公式】(1)一般公式:静水速度(船速)+水流速度(水速)=顺水速度;船速-水速=逆水速度;(顺水速度+逆水速度)2=船速;(顺水速度-逆水速度)2=水速.(2)两船相向航行的公式:甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度(3)两船同向航行的公式:后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度.(求出两船距离缩小或拉大速度后,再按上面有关的公式去解答题目).【工程问题公式】(1)一般公式:工效工时=工作总量;工作总量工时=工效;工作总量工效=工时.(2)用假设工

16、作总量为1的方法解工程问题的公式:1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;1单位时间能完成的几分之几=工作时间.(注意:用假设法解工程题,可任意假定工作总量为2,3,4,5.特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时,分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题,计算将变得比较简便.)【盈亏问题公式】(1)一次有余(盈),一次不够(亏),可用公式:(盈+亏)(两次每人分配数的差)=人数.例如,小朋友分桃子,每人10个少9个,每人8个多7个.问:有多少个小朋友和多少个桃子 解(7+9)(10-8)=162三年级奥数专题知识要点系列之方阵问题讲解同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,

17、解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=每边人(或物)数-14每边人(或物)数=四周人(或物)数4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=

18、（最外层每边人(或物)数空心方阵的层数）空心方阵的层数4例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1)方阵最外层每边的人数:204+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:66=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共

19、用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)4=40(个) (2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)34=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已

20、知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是52-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。 (2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再

21、减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(52-1)3-3=24(棵) (2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)3=12(棵) (3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。例4.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?分析:若

22、只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)88=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:88=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:88+88=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙方阵的外边多4人,丙方阵多于乙方阵的层数是42=2(层),方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是(128+24)2=68(人),丙方阵的总人数1818-88=260(人)解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(88+88+24)2=68(人) (2)丙方阵最外层每边的人数是:684+1=18(人) (3)空心丙方阵的总人数:1818-88=

23、324-64=260(人)答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)42=12(棵)。当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相

24、差1棵。解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)42=12(棵) (2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:杨树:(77+1)2=25(棵)柳树:77-25=24(棵) (3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树柳树(77+1)2=25(棵)杨树77-25=24(棵)答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。奇妙的整除问题（一）关于数论，曾经有人说过：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题

25、做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。让我们一起走进数论中数的整除这一奇妙的数字世界。 首先一起回忆一个重要的知识点，整除的定义：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除. 接下来让我们一起学习能被一些特定数字整除的数的规律。 对这些规律我们要知其然，也要知其所以然。所以今天我们不做题目，而是一起讨论这些规律的证明过程。证明这些规律虽然不会作为考核的重点，但是其中的思想在解题的过程中有很大的作用，所以希望同学们认真思考。 第一组：2，4，8系列 被2整除只需看最后一位能否被2整除 被4整除只

26、需看最后两位能否被4整除 被8整除只需看最后三位能否被8整除，依此类推 第二组：5系列 被5整除只需看最后一位是否是0或者5 被25整除只需看最后两位能否被25整除 被125整除只需看最后三位能否被125整除，依此类推 第三组：3，9系列 一个多位数各个位上的数字和能被3（9）整除，这个数就可以被3（9）整除。 第四组：7，13，11系列 看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。 作为例题，老师来介绍一下7，13，11，这组数字整除规律的证明思路，其他两组留给大家作为今天的思考题。 能否被7，11，13整除要看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。为什么要从 最

27、后三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现71113=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明： 设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除由于该数=1000 x+abc=1000 x+x-x+abc=1001x+（abc-x），因为1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕 此外，能被11整除的数字还有另外一个规律：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差（大减小）如果是11的倍数，这个数就是11的倍数。

28、也请大家自己思考一下这种规律的证明过程。 作业：试着分析一下为什么前三组数字会有这样的整除规律，以及思考一下被11整除的第二种规律的证明思路。（提示，利用数的拆分）奇妙的整除问题（二）例1.（第三届华杯赛复赛）173是个四位数字数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 分析：联想被9整除的规律，各位数字和是9的倍数，1+7+3=11，加上最后一位可能的9的倍数只有18，所以第一次填的是7；接下来利用被11整除的规律：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）是11的倍数。1+3=4，7加上一个数再与4做差得

29、到11的整数倍，这个差只有可能是11，也就是8+7-4=11，第二次填写的是8；6=23，所以被6整除可以理解为既可以被2整除（是偶数），又可以被3整除。考察被3整除的规律，因为1+7+3=11，所填写的数字只可能是11+1=12，11+4=15，11+7=18，因为填写的数字是个偶数，所以第三次填4，三个数字的和是19. 例2.（第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是_。 分析：1+9+9+7=26，最近的被9的整除的数是27，36，如果为27，只能是119970，显然不是11的倍数，所以为36

30、，那么另外两位的数字之和是10，且偶数位数字之和与奇数位之和的差应该为11的倍数，目前的偶数位是7和9，奇数位是9和1，之和相差6，说明剩下两个数其中一个比另外一个多6，或者5，因为和为10，根据差与和同奇偶的原理，所以差应是6，求得两个数分别是2和8，原数为219978。 例3.（1993年小学数学奥林匹克初赛B卷）某个七位数1993能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三个数字依次是_。 分析：被2和5整除，说明末尾是0，被9整除说明各位数字之和是9的倍数，目前各位数字之和22，剩下两个数字之和可能为5或14，如果为5的话，要被8整除，最后三位只能是320，19933

31、20可以被7整除，满足条件；如果为14的话，要被8整除，最后三位只能是680，1993680不能被7整除，排除，所以最后答案是320。 接下来是几道练习题，给大家练练手！ 1、将自然数1，2，3依次写下去组成一个数：12345678910111213。如果到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是_。 2、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是_。不再复杂的余数（一）数论中除了整除以外，还有一个很重要也很难的知识点，就是余数，理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因

32、为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了，这样就需要用到余数中一个非常重要的定理同余定理。 同余定义 如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除（a，b，c均为自然数） 例如：17与13除以3的余数都是2，所以(1711)能被3整除 同余定理 （一）可加性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数例如：23，19除以

33、5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。 （二）可减性a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于31=2注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以(2319)的余数等于5(43)=4. （三）可乘性a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 除以5的余数等于 注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以

34、c的余数例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 除以5的余数等于 除以5的余数 （四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；整数N被8或125除的余数等于N的末

35、三位数被8或125除的余数；整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数中国剩余定理： 在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数此问题亦称“孙子问题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”， “秦王暗点兵”，

36、“鬼谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘除百零五

37、便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求也就是270321215=233,233105=128,128105=23. 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此2

38、1是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数也就是说， 是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数奥数网每周专题训练（四）奥数网每周专题训练（四） 1、甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距千米。 【解】甲、乙原来的速度比是5：4，相遇后的速度比是 5（120%）：4（120%）4：4.85：6。 相遇时，甲、分别走了全程的 和 。

39、 A、B两地相距10（ ）450（千米） 2、早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。两辆车的速度都是每小时60千米。8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了8 点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的? 【解】39327，这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1（32）倍，因此第一辆车在8点32分已行了7321（分），它是8点11分离开化肥厂的（322111） 注：本题结论与两车的速度大小无关，只要它们的速度相同，答案都是8点11分。 3、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶

40、往C地，A、B两地的距离等于B、C两地的距离。乙车的速度是甲车速度的80%。已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟；甲则不住地驶往C地。最后乙车比甲车迟4分钟到达C地。那么，乙车出发后分钟时，甲车就超过乙车。 【解】从A地到C地,不考虑中途停留,乙车比甲车多用时8分钟.最后甲比乙早到4分钟, 所以甲车在中点B超过乙.甲车行全程所用时间是乙所用时间的80%,所以乙行全程用 8(1-80%)=40(分钟) 甲行全程用40-8=32(分钟) 甲行到B用322=16(分钟) 即在乙出发后11+16=27(分钟)甲车超过乙车 4、铁路旁的一条平等小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速

41、度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是（22米56米781米286米308米） 【解】设这列火车的速度为x米/秒，又知行人速度为1米/秒，骑车人速度为3米/秒。依题意，这列火车的车身长度是 （x1）22（x3）26 化简得4 x56，即x14（米/秒） 所以火车的车身总长是（141）22286（米），故选。 5、人乘竹排沿江顺水飘流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过来吗？”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船。”竹排继续顺水飘流了1小时遇到了

42、迎面开来的这艘轮船。那么快艇静水速度是轮船静水速度的倍。 【解】对于竹排来说，它自身不动，而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。 快艇半小时走的路程，轮船用了1小时，因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的2倍。 6、某司机开车从A城到B城。如果按原定速度前进，可准时到达。当路程走了一半时，司机发现前一半路程中，实际平均速度只可达到原定速度的11/13 。现在司机想准时到达B城，在后一半的行程中，实际平均速度与原速度的比是_。 【解】前一半路程用的时间是原定的 ，多用了 1 。要起准时到达，后一半路程只能用原定时间的1 ，所以后一半行程的速度是原定速度的 ，即11：9 7、甲、乙两辆汽车分别

43、从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇在距A站28千米处，相遇后两车继续行进，各自到达B、A两站后，立即沿原路返回，第二次相遇在距A站60千米处。A、B两站间的路程是千米。 【解】甲、乙第一次相遇在C处，此时，甲、乙所行路程之和等于A、B间的距离。 甲、乙第二次相遇在D处，乙由C到A再沿反方向行到D，共走602888（千米），甲由C到B再沿反方向行到D。此时，甲、乙所行路程之和等于A、B间的距离的2倍，于是第二次之和等于A、B间的距离的2倍，甲、乙所走的路程也分别是第一次相遇时各自所行路程的2倍。这样，第一次相遇时乙所行路程BC88244（千米）。从而AB284472（千米） 8、一个圆的

44、周长为1.26米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每爬行1秒,3秒,5秒(连续的奇数),就调头爬行.那么,它们相遇时已爬行的时间是多少秒？ 半圆周长63厘米。如果蚂蚁不调头走，用63（5.53.5）7秒即相遇 由于1311975317，所以经，两只蚂蚁相遇。数学速算法一、10-20的两位数乘法及乘方速算 方法：尾数相乘，被乘数加上乘数的尾数（满十进位）【例1】 1 2 X 1 3 - 1 5 6 (1)尾数相乘2X3=6(2)被乘数加上乘数的尾数12+3=15(3)把两计算结果相连即为所求结果【例2】

45、1 5 X 1 5 - 2 2 5(1)尾数相乘5X5=25（满十进位）(2)被乘数加上乘数的尾数15+5=20，再加上个位进上的2即20+2=22 (3)把两计算结果相连即为所求结果二、两位数、三位数乘法及乘方速算a.首数相同，尾数相加和是十的两位数乘法 方法：尾数相乘，首数加一再相乘 【例1】 5 4 X 5 6 - 3 0 2 4(1)尾数相乘4X6=24直接写在十位和个位上(2)首数5加上1为6，两首数相乘6X5=30(3)把两结果相连即为所求结果【例2】 7 5 X 7 5 - 5 6 2 5(1)尾数相乘5X5=25直接写在十位和个位上(2)首数7加上1为8，两首数相乘8X7=56

46、(3)把两计算结果相连即可b.尾数是5的三位数乘方速算方法：尾数相乘，十位数加一，再将两首数相乘【例】 1 2 5 X 1 2 5 - 1 5 6 2 5(1)尾数相乘5X5=25直接写在十位和个位上(2)首数12加上1为13，再两数相乘13X12=156(3)两计算结果相连c.任意两位数乘法方法：尾数相乘，对角相乘再相加，首数相乘 【例】 3 7 X X 6 2 - 2 2 9 4(1)尾数相乘7X2=14（满十进位）(2)对角相乘3X2=6；7X6=42，两积相加6+42=48（满十进位）(3)首数相乘3X6=18加上十位进上的4为18+4=22(4)把计算结果相连即为所求结果b.任意两位

47、数及三位平方速算方法:尾数的平方,首数乘尾数扩大2倍,首数的平方例 2 3 X 2 3 - 5 2 9 (1)尾数的平方3X3=9（满十进位）(2)首尾数相乘2X3=6扩大两倍为12写在十位上（满十进位）(3)首数的平方2X2=4加上十位进上的1为5(4)把计算结果相连即为所求结果c.三位数的平方与两位数的平方速算方法相同例 1 3 2 X 1 3 2 - 1 7 4 2 4(1)尾数的平方2X2=4写在个位(2)首尾数相乘13X2=26扩大2倍为52写在个位上（满十进位）(3)首数的平方13X13=169加上十位进上的5为174(4)把计算结果相连即为所求结果注意：三位数的首数指前两位数字！

48、三、大数的平方速算方法：把题目与100相差，相差数称之为差数；先算差数的平方写在个位和十位上（缺位补零），再用题目减去差数得一结果；最后把两结果相连即为所求结果 【例】 9 4 X 9 4 - 8 8 3 6(1)94与100相差为6(2)差数6的平方36写在个位和十位上(3)用94减去差数6为88写在百位和千位上(4)把计算结果相连即为所求结果口算法一、两首位相同，两尾数和是10的两位数乘法，（被乘数首位加1），然后两首位相乘得一积，两尾数相乘再得一积，两积连起来就是所求之积。例如：72 63 84 78 67 86 5616 4221 7224 注：两位数的平方尾数是5的亦可用此法。如：2

49、5 25=625 45 45=202575 75=5625 95 95=9025二、两位数相同，两尾数和不等于10的两位数乘法，首先两尾数相乘得一积，然后两尾数之和与被乘数的首位相乘又得一积，最后两首位相乘（首位数的平方）再得一积，三积连加起来即为所求之积。例如52 61 73 53 62 74 2756 3782 5402 注：两位数的平方尾数不是5的亦可用此法。如：22 66 22 66 484 4356 三、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数乘法：（乘数首位加1）然后两尾数相乘得一积，两首位再相乘又得一积，最后两积相连就是所求之积。如：22 44 88 19 28 37 418 1

50、232 3256 四、两首位和是10，两尾数相同的两位数乘法，首先两尾数相乘得一积，两首位相乘之积再加上一个相同的尾数，又得一积，两积连来就是所求之积。如：26 76 47 86 35 67 2236 2656 3149 五、两首位相差是1，两尾数和是10的两位数乘法 ：如：3822=836可分解为（30+8）（30-8）=3030-88=836原理：aa-bb=(a+b)(a-b)又如：4634=1564 8575=6375六、任意两位数乘法：（十字相乘法或对角线相乘法）首先用十字相乘法得和数（被乘数首位与乘数尾数相乘之积加上被乘数尾数与乘数首位数相乘之积）加上两首位数相乘与两尾数相乘之积。

51、如：4385=36554 3 8 5 4 4+ 32 15 36 553465=22103 4 6 5 3 9+ 18 20 22 10 七、三位数乘法，首位和中间数相同，尾数之和等于10的三位数乘法，首先两尾数相乘得一积，（给被乘数中加1）再两中位相乘又得一积。然后两中位数相加再和被乘数首位相乘得一积，最后两首位相乘得一积，四积连起来就是所求之积。112118=13216112 118 13216 八、任意数与11相乘：任意数与11相乘，在计算的过程中：首尾数字不变然后两相邻数相加，满十向前进一。如：1246811=1371482512411=276364九、9、99、999等与任意数相乘：

52、即首先找出任意数的补数（两个数之和为10，这两个数互为补数），然后将补数连在9、99、999等数末位，最后由所得新数最高位减去补数，就是所求之积。如：999999=99800199998997=89961003数学心算法乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。例：151715 + 7 = 225 7 = 35-255即1517 = 255解释：1517=15 （10 + 7）=15 10 + 15 7=150 + （10 + 5） 7=150 + 70 + 5 7=（150 + 70）+（5 7）为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，

53、而不用“150 + 70”。例：17 1917 + 9 = 267 9 = 63即260 + 63 = 323二、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。例：51 3150 30 = 150050 + 30 = 80-1580因为1 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。例：81 9180 90 = 720080 + 90 = 170-7370-7371原理大家自己理解就可以了。三、十位相同个位不同的两位数相乘被乘数加上乘数个位，和与十位数整数

54、相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。例：43 46（43 + 6） 40 = 19603 6 = 18-1978例：89 87（89 + 7） 80 = 76809 7 = 63-7743四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。例：56 54(5 + 1) 5 = 30-6 4 = 24-3024例: 73 77(7 + 1) 7 = 56-3 7 = 21-5621例: 21 29(2 + 1) 2 = 6-1 9 = 9-609“-”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零

55、，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。例：56 585 5 = 25-（6 + 8 ） 5 = 7-6 8 = 48-3248得数的排序是右对齐，即向个位对齐。这个原则很重要。六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24-6 7 = 42-2442例： 99 19（1 + 1） 9 = 18

56、-9 9 = 81-1881七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘与帮助6的方法相似。两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。例：46 994 9 + 9 = 45-6 9 = 54-4554例:82 338 3 + 3 = 27-2 3 = 6-2706八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。例：78 387 3 + 8 = 29-8 8 = 64-2964例：23 832 8 + 3 = 19-3 3 = 9-1909、平方速算一、求

57、1119 的平方底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。例：17 1717 7 = 24-7 7 = 49-289参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”二、个位是1 的两位数的平方底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。例：71 717 7 = 49-7 2 = 14-5041参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”三、个位是5 的两位数的平方十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。例：35 35（3 + 1） 3 = 12-25-1225四、2150 的两位数的平方在这个范围内有四个

58、数字是个关键，在求2550之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是：21 21 = 44122 22 = 48423 23 = 52924 24 = 576求2550 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。例：37 3737 - 25 = 12-（50 - 37）2 = 169-1369注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。例：26 2626 - 25 = 1-（50-26）2 = 576-676、加减法一、补数的概念与应用补数的概念：补数是指从10、100、1000中减去某一数后所剩

59、下的数。例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。、除法速算一、某数除以5、25、125时1、 被除数 5= 被除数 (10 2)= 被除数 10 2= 被除数 2 102、 被除数 25= 被除数 4 100= 被除数 2 2 1乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。例：151715 + 7 = 225 7 = 35-255即1517 = 255解释：1517=15 （10 + 7）=15 10 +

60、15 7=150 + （10 + 5） 7=150 + 70 + 5 7=（150 + 70）+（5 7）为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。例：17 1917 + 9 = 267 9 = 63即260 + 63 = 323二、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。例：51 3150 30 = 150050 + 30 = 80-1580因为1 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。例：81 9180