《变量与函数》教案 精华版

1、变量与函数教案一、内容和内容解析1内容变量与常量的概念，函数的概念，函数解析式的概念2内容解析函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际本节课是函数的起始课，在这里学生初步接触了变量的概念，函数的定义，也为以后学习一次函数、二次函数、反比例函数的内容打下基础本节课内容不但对培养学生比较、分析、概括的思维能力有作用，而且对培养学生运动变化等辨证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有一定的帮助本节课首先从几个实际问题情境入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们；接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量之间关系的共同特

2、点，即“问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量就有唯一确定的值与其对应”教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面归纳多种函数表示法埋下伏笔在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念，从而初步建立函数的概念，并给出函数的解析式的意义所以，本节课的重点是了解变量与常量的意义，概括并理解函数概念中的单值对应关系，用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围和函数值二、目标和目标解析1目标（1）了解变量与常量的意义（2）概括并理解函数概念中的单值对应关系（3）用解析法和列表法表示函数关系，

3、确定简单实际问题的自变量取值范围和函数值2目标解析达成目标（1）的标志是：在充分体会运动变化过程中数量变化的基础上，领会变量与常量的含义达成目标（2）的标志是：探究在一个运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念达成目标（3）的标志是：在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的自变量取值范围，用解析法和列表法表示函数关系，初步体会用函数描述和分析运动变化规律三、教学问题诊断分析本节课中函数概念的表述比较抽象，含义深刻，学生往往不能一下子就能从其定义的文字真正地理解它的内涵，因而把握不准函数的本质教学时不要急于给出定义，而需要让学生经历分析具体问题

4、中变量之间存在什么样的具体对应关系的过程，并引导学生发现这些关系的共同之处都是单值对应通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都具有相关的两个变量，这两个变量间都具有一个变量随另一个变量而变，而且是单值对应关系在具体积累到一定程度上，再给出函数的定义有了定义后，还需要适当地再用具体的例子对定义加以解释所以本节课的难点是探究在一个运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念四、教学过程设计（一）变量与常量的概念1出示问题，创设情境（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？（2）

5、电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？（4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？2解决问题，形成概念针对上述问题，教师可以进行问题分解，学生以小组合作的形式完成问题1：分别指出

6、问题（1）（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变；（3）涉及的量有：圆周率、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率始终不变；（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变问题2：在问题（1）（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义如（1）中的时间t就不能为负数，（2）中票的张数x就只能为

7、自然数问题3：请给上述问题（1）（4）中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量问题4：在一个变化过程中，理解变量、常量的关键词是什么？在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词分别是：发生了变化和始终不变3巩固应用，掌握概念指出下列变化过程中的变量和常量：（1）汽油的价格是7.4元/升，加油x升，车主加油付油费y元；（2）小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；（3）用长为30 cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm，其面积为S 答案：（1）变量x，y；常量7.4（2）变量t，n；

8、常量200（3）变量x，S；常量30设计意图：从几个实际问题情境入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，并学会区别它们，也为后面学习函数的概念做准备（二）函数的概念1继续探究上面（一）中出示的问题（1）（4）中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？首先，师生一起分析变化过程（1）中变量之间的关系问题（1）中有两个变量t、ss是怎样随t的具体变化而变化呢？用数值进行说明当t的值取定后，s的值有一个并且只有一个也就是说，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与其对应然后，教师引导学生类

9、比问题（1）中变量之间的关系的分析，对问题（2）（3）（4）进行分析，并得出结论：变化过程（1）有两个变量t、s，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与其对应变化过程（2）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应变化过程（3）有两个变量r、S，当t取定一个值时，S有唯一确定的值与其对应变化过程（4）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应2归纳小结由以上探究我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应3再次讨论其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系我们来看下面

10、两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y4形成概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x

11、是自变量，y是x的函数如果当xa时，yb，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值据此可以认为：上面问题（1）中时间t是自变量，路程s是t的函数当t1时的函数值s60；当t2时的函数值s120；当t2.5时的函数值s150；同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数当x2 010时，函数值y13.71亿从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系5巩固概念下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗？为什么？学生

12、独立思考后，小组讨论，师生共同得出答案：蚂蚁离地高度h不是离起点的水平距离t的函数，因为在蚂蚁爬行过程中虽有两个变量t、h，但当t取定一个值时，h有多个值与其对应蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数，因为在蚂蚁爬行过程中有两个变量t、h，当h取定一个值时，t有唯一确定的值与其对应设计意图：通过具体问题，探究在一个运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念（三）例题解析例汽车油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km（1）写出表示y与x的函数关系的式子；

13、（2）指出自变量x的取值范围；（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数行驶路程为x时耗油为：0.1x油箱中的油量为：500.1x所以函数关系式为：y500.1x（2）仅从式子y500.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50 L，即0.1x50，x500因此自变量x的取值范围是：0 x500（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y500.1x在x200时的函数值将x200代入y500.1x，得y500.120030即汽车行驶

14、200 km时，油箱中还有30 L汽油像y500.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子，叫做函数的解析式，它是描述函数的常用方法设计意图：通过例题的讲解，让学生学会用解析法表示函数关系，使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法（四）课堂练习1下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变（2）秀水村的耕地面积是，这个村人均占有耕地面积y（单位：m2）随这个村人数n的变化而变化2求下列函数中自变量x的取值范围（1）y3x1；（2）；（

15、3）；（4）学生独立完成答案：1（1）正方形的边长x是自变量，正方形的面积S是x的函数函数关系式：（2）这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数函数关系式：2（1）x取任意实数；（2）x取任意实数；（3）x2；（4）x2点拨：一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上述的第（1）（2）两题，x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第（3）题，(x2)必须不等于0式子才有意义，对于第（4）题，(x2)必须是非负数式子才有意义设计意图：通过练习，加强对自变量、函数等概念的理解，掌握用解析式法表示变量间的单值对应以及函数自变量取值范围的确定（五）课堂小结（1）在一个变化过程中，

16、什么是变量？什么是常量？举一个运动变化的例子并指出其变量和常量（2）在一个变化过程中，对于变量x和y而言，满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满足“一对多”的关系是函数吗？并举例说明对函数概念中“对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的认识（3）函数的表示方法有哪些？自变量的取值范围如何确定？受哪些因素的限制？如何确定函数值？设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，加深对函数等概念的理解（六）布置作业1每个同学购买一支钢笔，每支笔5元，求总金额y（元）与学生人数n（个）的函数关系，并指出关系式中的函数与自变量，写出自变量的取值范围设计意图：考查函数的概念和表示以及求自变

17、量的取值范围2列出下列问题的函数关系式，并写出自变量的取值范围：（1）如图，在直角三角形ABC中，C90，锐角A的度数y与另一锐角B的度数x的关系；（2）某20层高的大厦底层高4.8米，以上各层高3.2米，第n层楼顶的高度h（米）与n的函数关系设计意图：考查函数的概念和表示以及求自变量的取值范围3一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表：请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当t5分15秒时，水池中的水量Q的值设计意图：考查函数的概念和表示以及求函数值作业答案：1y5n，n是自变量，y是n的函数自变量n的取值范围是：n为自然数2（1）y90 x，0 x90（2）h3.2（n1）4.8，n是不大于20的正整数3解：水管是匀速流出水于池中，速度是(42)2，即每分钟2立方米，函数解析式为Q2t，自变量t为非负数又水池容积为100立方米，时间不能超过100250(分钟)，0t50当t5分15秒时，Q2，即当t为5分15秒时，水量为立方米五、目标检测设计1在ABC