新高考2021届高考数学小题必练16平面向量(含答案)

1、 高考数学小题必练1平面向量及其应用向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用（1）向量概念通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向

2、量相等的含义.理解平面向量的几何表示和基本要素（2）向量运算借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例9）.会用数量积判断两个平面向的垂直关系（3）向量基本定理及坐标表示理解平面向量基本定理及其意义借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘

3、运算.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.（4）向量应用与解三角形会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1.【2020全国I卷】设a,b为单位向量，且a+b=1,则a-b=.【解析】因为a,b为单位向量，所以a=1,b=1,所以a+b=yj(a+b)2=Ja2+2a-b+b2=J2+2ab=1，解得2a-b=1,所以”一b=J(a-b)2=Ja|22a-b+|b|2=/

4、3.故答案为.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.2.【2020全国II卷】已知单位向量a,b的夹角为45。,ka-b与a垂直，则k=.【答案】込【解析】由题意可得a-b=1xcos45=，由向量垂直的充分必要条件可得(ka-b)a=0,2故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.一、单选题.已知向量Q二(t,l),b=(1,2)，若a丄b，则实数t的值为()1A.2B.2C.二2【答案】A【解析】向量a二(t,1),b二(1,2),若a丄b，则a-b=t+2=0,.实数t=一2，

5、故选A.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，且(a+b)a，则m的值为()A.1B.1C.4D.4【答案】D【解析】由题知，a+b=(1,2+m)，D.因为(a+b)a，所以2+m=2，从而m=4，故选D.3.已知向量a=(1,2)，b=(一2,3)，c=(4,5)，若(a+b)丄c,则实数X=()A.C.2D.2【答案】C【解析】因为a=(1,2)，b=(2,3)，所以a+Xb=(12九,2+3九)，又(a+Xb)丄c，c=(4,5)，所以(a+九b)c=0，即4(1一2九)+5(2+3九)=0，解得X=2，故选C.4.已知向量。与b的夹角为60。，=1，b=2，当b丄(2a九b)时，实

6、数X为()A.1B.2【答案】CD.【解析】向量。与b的夹角为60。，a=1，b=2，由b丄(2aXb)，知b-(2aXb)=0，2b-aXb2=0，12x2x1xcos60。一X22=0，解得X=.故选C.厶5.已知a，b为单位向量，且(2a-b)丄b，则a一纲=()A.1B.、珂C.2D.語【答案】B【解析】因为a,b为单位向量，且(2a-b)丄b，所以(2a-b)-b=0,24a-b+4b2=3，故选B.所以2a-bb21，所以”一2b|=Ja2b2=y/a6.在ABC中，AB2,ZABC60。,AD为BC边上的高，E为AD的中点，那么AE-AC()35911A.B.C.D.2222【答

7、案】A一一【解析】因为在ABC中，AB2,ZABC60。,AD为BC边上的高，所以ADAB-sin60o=j3,AD丄BC,2|，故选A.又E为AD的中点，则AEAC-ADAC-AD(AD+DC)-AD2227已知向量a,b满足|a|=0|=1,a丄b，若、迈a+b与xa+b的夹角为45。，则实数x=()D.-32迈【答案】C【解析】不妨设a(1,0),b(0,1),则；2a+b(2,1),xa+b=(x,1),(v2a+b)(xa+b)=2x+1,，解得x=2、辽土3,则AEBF的值是()A.2-迈B1C.迈D.2则|T2a+b=y/3,xa+b=Jx2+1,由向量夹角公式可知-=2羽Jx2

8、+1J25+10，则xA故舍去一根x=2迈-3，:x=3-2迈，故选C8.如图，在矩形ABCD中，AB迈,BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上,若AB.AF迈,【答案】C【解析】AF=AD+DF,AB-AF=AB-（AD+DF）=AB-AD+AB-DF二AB-DF二QpF=T2,.df=1,|cf|=V2-1,ae-bf=Tab匚BE）-7BC+cf）=ab-cf+be-bc=-迈（迈-1）+lx2=迈,故答案为C.一二、多选题已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，贝卩（）A.AB=DCB.DA+DC=DBC.ABAD=BDD.OB=*（DA+BA）【答案】旷一【解析】因为O是平行四边形

9、ABCD对角线的交点，对于选项A,结合相等向量的概念可得，AB=DC，即A正确；对于选项B,由平行四边形法则可得DA+DC=DB，即B正确；对于选项C,由向量的减法可得ABAD=DB，即C错误；对于选项D，由向量的加法运算可得CO=#DA工BA）丰OB，即D错误，综上可得A、B正确，故选AB.一已知向量a+b=（1,1）,ab=3,1），（n设旷，b的夹角为o，贝y（）A.aI=blB.a丄cC.bcD.o=135。【答案】BD【解析】根据题意，a+b=（1,1）,a-b=（-3,1），则a=（-1,1），b=（2,0），依次分析选项：对于A,ai=J2，b=2，则Ia|=Ib|不成立，A错误

10、；对于B，a=（一1，1）,c=（1,1）,则a-c=0，即a丄c,B正确；对于C,b=（2,0）,c=（1?1）,bc不成立，C错误;对于D,a=（-1，1）,b=（2,0），则a-b=-2,a=2,|b|=2,则COSO=Z135。,d正确,故选BD11.已知a=(一1入一2),b=且a与b夹角为120，则九的取值可以是()A17B.-17C.-1D.1【答案】AC【解析】因为cos=a-ba*|b，且a=(-1入-2)，b=(2,-1，1)，a与b夹角为120，所以cos12=解得九=17或九=-1，-1x2+Xx(-1)-2x1v；(-1)2+X2+(-2)222+(-1)2+12故选

11、AC12.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0)，B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得ZAPB=90，则实数m的取值可以为()A4B5C6D7【答案】ABC【解析】圆C：(x-3)2+(y-4)2=1的圆心C(3,4)，半径r=1，设P(a,b)在圆C上，则AP=(a+m,b)，BP=(a-m,b)，若ZAPB=90，则ap丄bp，.AP-BP=(a+m)(a-m)+b2=0，m2=a2+b2=OP2，m的最大值即为O町的最大值，等于OC+r=5+1=6，最小值为5-1=4,m的取值范围是4,6，故选ABC.三、填空题已知a=(1,-2)，b=(2,九)，若ab，

12、则实数九=；若a丄b，则实数九=.【答案】-4，1【解析】由ab，可得1九=(-2)x2，解得九=-4；由a丄b，得ab=0，即1x2+(-2)九=0，解得九=1.故答案为-4，1.若平面向量a，b满足a+bf2，-b|=耳3，则ab=.【答案】-14【解析】因为向量Sb满足匕+b=耳2,|a-b|f3,所以a2+2a-b+b2=0，a2-2a-b+b2=3，由-，得4a-b=-1，即a-b=,41故答案为-丁.42n15.已知非零向量a与b的夹角为丁，b=2，若a丄(a+b)，则|a=.答案】12n【解析】由a丄(a+b)，可得a-(a+b)=0，所以a2+a-b=0，即|a|2+|a|b|cos=0,又由Ib|=2，可得a2-a=