§4函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答

1、 东习参考解答4函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性 TOC o 1-5 h z fn(x) Jx2 , x (,Xfn(x) sin , X ( l,l)；n1_ 一 fn(x)-,X a,nx2fn(x)k， x a,n xnxfn(x) , x 0,1；n xfn(x) xn xn1, x 0,1；1fn(x)-ln(1 enx), x (nfn(x)e(xn)2, x l,l, x ();nxfn(x) 4, x (0,1)；nx),a 0, x (0,)；),a 0, x (0,)；fn(x) xn x2n, x 0,1x x(9)fn(x

2、) -ln-, x (0,1);n n)；,)解(1) f(x)x ,由于 fn(x)f(x)x2d(fn，f) xsup)fn(x)f(x)0(n所以fn（x）在（）上一致收敛。对于xl,l ,lim fn(x)nx lim sin 0,limnsupx l ,l所以 fn(x) sin,在 n(3)对于x 10,1fn(x)f(x)limnsupx l ,l. x sin 一n0ol,l上一致收敛。,lim fn(x) limnnnxnx1 ,所以极限函数f xlimnsupx 0,1fn(x) f(x)limnsupx 0,1nx /11 nx0o所以J）当,在0,1不一致收敛对于x a

3、,lim fn (x) lim4 0,1 nx所以极限函数f x 0所以fn(x)lim sup fn(x)n x a,f (x) lim sup n x a,11nx0o1 nx，在a,上一致收敛同理：fn(x),在 0, nx上一致收敛。(5) 对于xa,limnfn(x)limn0，所以极BM函数f x 0所以fn(x)lim sup fn(x)n x a,在a,同理：fn(x) -1(6) x 0,1 ,有 lim nsup fn(x)x 0,1f(x)显然，lim sup fn(x)f (x)limnsupx a,0o上一致收敛。，在0,上一致收敛。nx1 n xsup .x 0,1

4、 1nx即,极限函数f(x) x O0,即函数列 对于 x 0,1 ,lim fn(x) lim xnlim sup fn(x) f (x) limn x 0,1nn2 n所以 fn(x) x x,在0,1上一致收敛。supx 0,1 1x(1x)nx2n xsup x x 0,1(8)对于 x 0,1 ,lim fn(x) lim xnxn1limnsupx 0,1fn (x) f (x) lim sup n x 0,1所以 fn(x) xn，在0,1上一致收敛。(9) f(x)0,由于 fn(0 ) f(0 ) 0-在区间 x0,1 一致收敛0 ,所以极限函数f xx2n 00o0,所以极

5、限函数f x0o2fn(x)1 xf (x)-(1 ln-) 0 (n2)，于是 d(fn, f) sup fn(x) x (0,1)f(x)In nn0(n)所以fn(X)在(0,1)上一致收敛。(10)对于x,lim fn(x)n1 . 一 lim 1n(1 n ne nx) 0 ,所以极限函数lim supn x ,fn(X)f(x)lim supn X ,1 ln(1nnx、e )0o所以 fn(x) 11n(1nnx、e )，在上一致收敛。2.证明函数在0,1的极限函数xn: (1)在区间0, (0 1) 一致收敛；(2)在区间0,1非一致收敛证明 x (0,1),有limxn 0,

6、即函数列x nf (x)00 x 0, ,0,要使不等式fn (x) f (x) xn 0 xn N成立，从不等式nL,取N ,于是, lnlne 0,取N =焉？ Y n N ,x 0,有即函数列xn在0,，一致收敛。1 TOC o 1-5 h z 11,0 2 0, N N , n0N, x0 (-) 0(0,1),有1 n0I 1 1fn0 (x0) f(x0) (2)30，即函数列xn在非一致收敛3.判别下列函数列在区间0,1的一致收敛性.1)nx2) nx(1 x)nnx解：1) x 0,1 ,有lim x,即，极限函数f(x) xn 1 n xsup fn(x) f(x) x 0,

7、1nxsup xx 0,1 1 n xx(1 x) supx 0,1 1 n x显然，limsupfn(x) f(x) 0,即函数列 一匚 在区间0,1 一致收敛 n x i1 n x2)x 0,1 ,有 |im nx(1 x)n0,即 f(x) 0。设函数(x)fn(x) f (x) nx(1 x)n o函数 (x)在闭区间0,1连续，必取得最大值。(x)fn (x)f (x) nx(1 x)n 1 1 (n 1)x 。1(x)0,解得稳定点1与1 n11 n(0) 0, (一) (1 )n。n 1 n(1 有一 1于是， 0,1是函数(x)的极大点，取大值(极大值)是nlim sup fn

8、 (x)f (x) limsup(x) lim(1 )n1-0。n x 0,1nx 0,1n1 ne即函数列nx(1 x)n在0,1非一致收敛。4.设 fn(x) (n1,2,)在2刈 上有界,并且fn(x)在a,b上一致收敛,求证：fn(x)在a,b上一致有界.设f (x)定义于(a, b),令fn(x) nf(x) (n 1,2,)n求证：fn(x)在(a, b)上一致收敛于f (x) o.设f(x)在(a,b)内有连续的导数f (x),且1fn(x) nf(x ) f(x), n求证：在闭区间,(ab)上，fn(x)一致收敛于f(x)。.设f1(x)在a,b上Riemann可积，定义函数

9、设列xfn l(x)fn(t)dt(n 1,2,)a求证：fn(x)在a,b上一致收敛于零。、“2.证明序列fn(x) nxe (n 1,2,)在闭区间0,1上收敛，但11Jim fn(x)dx pm 0 fn(x)dx.设fn(x)(n 1,2,)在(，)一致连续，且髭3在(，)一致收敛于f(x)。求证：“*)在(，)上一致连续。.设 fn(x)是a,b上的连续函数列，且 fn(x)在a,b一致收敛于f(x);又 xn a,b (n 1,2,),满足 pm xn %,求证 pm 3()f(xO).设fn(x)在(a,b)内一致收敛于 f(x), Xo (a,b)且lim fn(x) an,

10、(n 1,2,)。 x X0证明：lim an和lim f(x)存在且相等，即 nx X)lim lim fn(x) lim lim fn(x)。 n x Xox Xo n.设 fn(x)(n 1,2,)在a,b Riemann 可积，且 fn(x)在a,b 一致收敛于 f(x),证明：f(x)在a,b Riemann 可积。.求出下列函数项级数的收敛区域(绝对的和条件的)：n7A；n 1 1 X nn解记an-n,则当x 1时，有anxn,而|x收敛，故当|x 1时，原级xn 1数收敛。当x 1时，an,它不趋于0.故原级数发散1时,原级数可写为，由于n 111x1再根据上面的讨论故原级数绝

11、对收敛。总之，当x1时,原级数绝对收敛。解 由于limnx2xnn 1 n 1 n.故仅当2x：1时，即x2 0 ,级数绝对收敛，解不等式得：x1x 13，即为所求的绝对收敛域.当x11或x 1时，原级数通项不趋于0, 3故发散。解由于绝对收敛。当级数通项不趋n(1)n 1 xn 1 2n 1 1 xlimn1 n 12n 11,故仅当卜41即1Ynx= 0时，原级数为? (-1)-,显见它为条件收敛。当x 0时，原 n=1 2n- 1于0,故发散。sinn x2，sinn xn 0 nL已知级数 收敛，根据比较判别法, nn 0 nnx? ?函数级数 吗匕都收敛。于是，它的收敛域是？。n 0

12、 ncosnx；n 1 n解 由知，x刮2kp , k 0 ,函数级数cosnx收敛；x = 2kp,k? 0,级n 1 ncosnxi n1发散。于是，它的收敛域是n 1 n、-2kp k ?。.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性:c( 1)n 1 2n0(1 X)X，x 0,1； n1kW，x (，).讨论下列函数项级数的一致收敛性:sin nx)；(1)ny,x (,)；n 1 n xx(2)32， x (，)；n 1 1 n xsin nx , c 、n，x ( 2,);n 1 x 2nx5 2， x (n 1 1 n x);n n n、1(x x )， |x| 2； n 1 v n

13、!2x2e nx, x 0,);(8)n 1ln(1n 1n ln2 n),x a,a； Jx2 口 Jx2 二,x ( n 2 . n (n 1);二, |x| r 1; n 1 x/、 ln(1 nx)n , x a,),a 1n 1 nx解(1)设un(x)31s:nx4 ,则当 n 1 时，Un(x),n4 x4n3由于 J收敛,n 0 3n由Weierstrass判别法， sinnx在(,)上一致收敛n 1 号 n x4x(2)设 Un(x) 32 ,则当 nn xxWeierstrass 判力4法,二 在(3 2n 01 n x11 一 一 ，1时，un(x) -1-,由于 一3收

14、敛，由33n 0-2n22n2,)上一致收敛。)关于n、一1 设 an(x) 2, bn(x) ( 1),则 an(x)对固止的 x (n x是单调的，且在（）上一致收敛于零，同时nbk(x)k 11,由 Dirichlet 判别法，工在（n 1 n x）上一致收敛。(5)当x 0时,级数显然收敛于 0,当x 0时,14 22一 n x 2n x ,于是 nnx5 21 n xJ收敛, n1 2n2所以原级数一致收敛(6)2时,2n / n(xn!xn)n2 2n 1.n!对于级数,应用比值判别法，当时有2 n 1故 n 收敛n 1. n!于是,2 nx x e(n 1)22n 2.n 1 !

15、2-n 1n 2.n!因此级数一致收敛2 2nxn x0 日t,e1 nx22 2，此式对x n（8）当n充分大（即n当x 解得nN,p?2 . .1。取 N,x? 1,1,于是,SnSn x即函数级数nn 1在区间n 11,1 一致收敛。1)n18.证明:n二在区间 a,a （a是正数）一致收敛;1 n!2）一:丁在？ 一致收敛n 1 1 n x证明 1 ） xna,a ,即x a ,有上 n!n!O已知级数 T收n!n i n!a,a 一致收敛。n敛，根据定理，函数级数人在区间n i n!2） x?，有1上2,2n x 14 221 n x 2n工,已知级数 工收敛。2nn 1 2n根据定

16、理,函数级数x4 2在？ 一致收敛n 1 1 n x在区间I单调一致有界,19.证明定理4.6（Abel判别法）若函数列an x且函数级数bn x在区间I 一致收敛，则函数级数an xbn x在区间I 一致n 1n 1收敛。证明 不妨设函数列an x在区间I单调减少。已知它在区间I 一致有界，即$M 0,n? , x? I ,有 an x | M ,有 M a1 x a2 x an x M 0 从而 x I ,有a1 x M a2 x M an x M 0。又已知函数级数bn x在区间I 一致收敛，即n 1e 0,$N?） n N,p? , x? I ,有bn 1 x bn 2 x bn p

17、x 。由阿贝耳变换，有an 1（x）M bn 1xan2（x） M bn2 xanp xMbnp xan 1 x M 2M ,即函数级数an xn 1M bn x在区间I 一致收敛。已知函数级数Mbn x在区间I一致收敛；两个函数在区间I 一致收敛，它们的“差”在区间I也一致收敛。因此，函数级数an x bn xn 1an x bnn 1x Mbn x Mbn x在区间I 一致收敛。an x Mn 1bn x Mbn xn 120.证明定理 4.7(Dilichlet判别法）若函数列an x在区间I单调减少致收敛于0,且函数级数 bn xn 1部分和函数列Bn x在区间I 一致有界，则函数级数

18、 an x bn x在区间I 一致收敛。n 1证明已知函数列an x 一致收敛于0,e 0,$N? n N,x? I ,an x又已知函数级数bn x部分和函数列n 1Bnx在区间I 一致有界，即bn 1xbn 2 xbnBnp x Bn x根据Abel变换,an 1 x bn 1 x an 2 x bnBn p xBnan2M 。p x bn p x于是e 0,$N ?丸 n N, p? , x? I ,有an 1 x bn 1 x an 2 x bn 2 x即函数级数2Man 1 x 。an p x bn p x2Man 1 x 2M ,an x bn x在区间I 一致收敛。21.证明：函数级数吧？在区间,2n 1 n致收敛。证明x?d,2P ,门？,有sin kxk 111cos x cos n x2212sin - x21sin - x211M ,1sin2即函数级数的部分和函数列在,2致有界，而数列1 、，-单调减少趋近 n于0 （当然在,2也是一致收敛于0）。根据 Dirichlet判别法，函数级数犯必在区间,2 n 1 n致收敛。.证明：若函数级数anxn （a。是常数）n 10收敛，则它在区间0,r 一致收敛。证明将函数级数 anxn改写为anxnn 1n 1nanrn 1nx - or已知级数 anxn收敛，从而它在区间0,r也是一致收敛