微积分第三版教学课件第二章第五节

1、第五节 函数的微分与函数的线性逼近一、微分的定义本节要点二、微分的计算三、微分的意义与应用温度变化的影响, 其边长从 一、微分的定义 1.引例 首先我们来看一个具体的例变化到 问此薄片的面 分析: 当边长为 时, 相应的积改变了多少？子:一块正方形的金属薄片受而当边长增加到 时, 薄片面积的改变量为从中可以看出 由两部分构成: 第一部分 是变量可以近似地用第一部分来代替. 由于第一部分是线性函数, 而且当 越小时, 近似程度也越好. 这给的线性函数: 第二部分 当 是 的高阶无穷小. 由此可见: 如果边长的改变很微小, 则面积的改近似计算带来了很大的方便.面积为 还有其它许多具体问题中的出现的

2、函数 都具有这样的特征: 与自变量的增量 相对应的函数的增量 可以表达为 的线性函数 与 的高阶无穷小 的两部分和. 由此, 我们引入以下概念. 2.微分的定义定义 设函数 在 的某个邻域内有定义, 当自变量在 处取得增量 （点 仍在该邻域 ）时,高阶无穷小（当 ）, 那么称函数 在点是可微的, 称为函数 在点 相应于自变量其中 是与 有关的而与 无关的常数, 是 的如果相应的函数增量 可以表示为的增量 微分, 记为 即 3.可微的条件定理 函数 在点 处可微的充要条件是函数证 必要性: 设函数 在点 处可微分, 则由定义, 对给定的自变量的增量 相应函数的增量为即 在点 处可导且有注意到 即

3、有 充分性: 设函数 在 处可导，即有由极限与无穷小的关系: 得其中 为无穷小. 从而即: 函数 在 处可微分, 且有 如果函数 在区间 内每一点可微, 则称分就称为函数的微分, 也记为 由前公式得:通常把自变量 的的增量称为自变量的微分, 记为 上式两端除以自变量的微分, 得:为区间内的可微函数: 函数 在 内的任意一点微于是函数的微分可记为因此, 导数又称为微商.二、微分公式与运算法则 由前面的可微的充分必要条件, 可得下面的基本公式: 1.基本公式 导数公式微分公式 2.运算法则（表中 、 ） 函数的和、积、商的求导法则 函数的和、积、商的微分法则 3.复合函数的微分法则 设 , 则复合

4、函数 的所以复合函数的微分为由于 故上式又可写成:导数为:总是正确的, 这一性质称为微分形式不变性.比较两式, 可以看到无论 是中间变量或是直接变量, 表达式例1 求函数 在 处的微分.解 因函数为初等函数, 故为可微函数. 由计算公式得:例2 求函数 当 时的微分.解 例3 求函数 的微分.解 由微分公式三、微分的几何意义 由微分的定义, 当函数 在 处可微时, 有当 时, 并且误差仅是 的高阶无穷小. 注意到当 时, 故此即说明 是 的主要部分, 故称微分 是 的线性主部.当 很小时，因此, 曲线 从图中可以看到, 对取定的 值, 当自变量 有微小的增量 时, 得到曲线 上的相应点 是曲线

5、T）在 处的切线, 由此得:在点 附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代替.四、近似计算 由微分公式得到如下的近似计算公式:或注意到, 若记 则有(5)因此(5)式的右端就是曲线 在点处的切线表达式因此(5)或(5)通常称为函数 的一次近似或线性近似, 其近似误差 是 的高阶无穷小. 越小, 则近似程度就越高.例4 在 的邻近, 求解 在(5)中, 取 即有因 由此得的一次近似.下面的图形表明了上述问题.下面的图形表明了上述问题.当 很小时, 还可得到其它函数的一次近似式. 我们把常用的几个函数的一次近似式列于下表:例5 近似计算 解 由上面的一次近似式, 此时 因而有解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差. 故故要用的铜大约为例6 在半径为 的金属球表面上镀一层厚度为的 铜, 估计要用铜多少克(铜的密度为 )? 在生产实践中, 需要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 此时就需要通过测量其它数据后再经过计算得出所需要的数据. 由于测量仪器的精度, 测量的条件与方法等诸因素的限制, 测得的数据往往都带有一定的误差, 相应的计算结果也会产生一定的误差. 这种误差称为间接测量误差. 下面讨论如何利用函数的微分来估计间接测量误差. 绝对误差和相对误差 设某个量的精确值为 其近似值为 称 为 设某个量的精确值为 测量值为 若能确定数值使 则 称为绝对