三角19812018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细

1、三角-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案三角-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案50/50三角-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编3、三角函数部分2018B5、设答案：,满足tan()3，tan()5，则tan()的值为3674解析:由两角差的正切公式可知tan4，即可得tan(767)342017A2、若实数x,y满足x22cosy1，则xcosy的取值范围为答案：1,31解析：由x22cosy1得x212cosy1,3，得x3,3，

2、cosy1x2，2所以xcosy1x121，x3,3可求得其范围为1,31。22016A6、设函数f(k)sin4kxcos4kx，其中k是一个正整数。若对任意实数a，均有1010f(x)|axa1f(x)|xR，则k的最小值为答案：16解析：由条件知，f(x)(sin2kxcos2kx)22sin2kxcos2kx101010101sin2kx1cos2kx35454其中当且仅当x5m(mZ)时，f(x)取到最大值根据条件知，任意一个长为1的开区间k5(a,a1)至少包含一个最大值点，从而1，即k5k反之，当k5时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时f(x)|axa1f(x)|

3、xR成立综上可知，正整数的最小值为51162015A2、若实数满足costan，则1cos4的值为答案：2sin解析：由条件知，cos2sin，反复利用此结论，并注意到cos2sin21，得14cos2sin2sin2(1sin)(1222cossincos)2sincossin2015A7、设w是正实数，若存在a,b(ab2)，使得sinwasinwb2，则w的取值范围是答案：w9,5)13,)4241，而sia,bw,2w，故题目条件等解析：由sinasinb2知，sinasinb价于：存在整数k,l(kl)，使得w2k22l22w时，区间w,2w的长度不小于当w44，故必存在k,l满足式

4、当0w4时，注意到w,2w(0,8)，故仅需考虑如下几种情况：(i)w52w，此时w15无解；22且w42(ii)w592w，此时95;22w24(iii)w9132w13w913w422，此时2,得449513综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到w4亦满足条件，可知w),),4242015B3、某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：Tasintbcost,t(0,)，其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ab的最大值为答案：52解析：由辅助角公式：Tasintbcosta2b2sin(t)，其中满足条件sinb,cosa，则函数T的值域是a

5、2b2,a2b2，室内最大温差为a2b2a2b22a2b210，得a2b25故ab2(a2b2)52,等号成立当且仅当ab5222014A10、（本题满分20分）数列an满足a1，n1n)，（nN）求正整数m，aarctan(seca16使得sina1sina2sinan。100解析：由已知条件可知，对任意正整数n，an1(,)，且tanan1secan22由于secan0，故an1(0,)。由得，tan2an1sec2an1tan2an，故213n2tan2ann1tan2a1n133即tanan3n2。10分3因此，sina1sina2sinamtana1tana2tanamseca1se

6、ca2secamtana1tana2tanam（利用）tana2tana3tanam1tana11tanam13m1由111，得m3333。20分3m1002014B10、（本题满分20分）设x1,x2,x3是多项式方程x310 x110的三个根.已知x1,x2,x3都落在区间5,5之中，求这三个根的整数部分；（5分）证明：arctanx1arctanx2arctanx3。（15分）4解析：设p(x)x310 x11，则它至多有三个实根。由于p(5)64，p(4)13，p(3)14，p(2)23，p(1)20，p(0)11，p(1)2，p(2)1，p(3)8，我们可以看到三个区间4,3，1,2

7、，2,3的端点函数p(x)的值改变符号，所有三个根分别落在这三个区间的内部，这样4,1,2便可以作为满足条件的三个根的近似值。（4也可以写成3）假定x1x2x3，由于x11，所以arctanx1,4，同理x2,x31，得22arctaxn2,arctaxn3,，从而arctanx1arctanx2和arctanx3都落在区间,之42444中，所以我们只需证明：tanarctanx1arctan4x2tanarctanx3。4x1x21x33xixjx1x2x31，由正切公式知，等价于，即等价于xi1x1x21x3i1ij30，由根与系数关系知，xixixj10，x1x2x311，显然上式是成立

8、的。i1ij这样就完成了证明。2008AB13、已知函数f(x)sinx的图像与直线ykx（k0）有且仅有三个交点，交点的横坐cos12标的最大值为，求证：。sin34sin证明：f(x)的图象与直线ykx(k0)的三个交点如答13图所示，且在3内相切，其切点为(,)(,32A(,sin)，(,3)由于f(x)cosx，x)，所以cossin，即ant因22此coscos1cos2sin21tan212sin32sin2cos4sincos4sincos4tansin42007*4、设函数f(x)3sinx2cosx1。若实数a,b,c使得af(x)bf(xc)1对任意的实数x恒成立，则bco

9、sc的值等于a11C.1D.1A.B.22答案：C解析：令c，则对任意的xR，都有f(x)f(xc)2，于是取ab1，则，c2对任意的xR，af(x)bf(xc)1，由此得bcosc1。a一般地，由题设可得f(x)13sin(x)1，f(xc)13sin(xc)1，其中02，于是af(x)2且tanbf(xc)1可化为313asin(x)13bsin(xc)ab1，即13asin(x)13bsin(x)cosc13bsinccos(x)(ab1)0，所以13(abcosc)sin(x)13bsinccos(x)(ab1)0。abcosc0(1)由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有bsinc

10、0(2)，ab10(3)若b0，则由(1)知a0，显然不满足(3)式，故b0。所以，由(2)知sinc0，故c2k或c2k(kZ)。当c2k时，cosc1，则(1)、(3)两式矛盾。故c2k(kZ)，cosc1。由(1)、(3)知ab1bcosc1。，所以a22007*11、已知函数f(x)sin(x)cos(x)2（1x5），则f(x)的最小值为x44答案：455解析：解：实际上2sin(x4)215f(x)(x)，设gx()x44则g(x)0，g(x)在1,3上是增函数，在3,5上是减函数，且y44442sin(x1x5)，)(444g(x)的图像关于直线3x4对称，则对任意x11,3，存

11、在x23,5，使g(x2)g(x1)。于是4444f(x1)g(x1)2g(x2)2g(x2)2f(x2)，而f(x)在3,5上是减函数，所以x1x1x244f(x)f(5)45，即f(x)在1,5上的最小值是45。454452007*15、（本题满分20分）设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x2)f(x)，求证：存在4个函数fi(x)（i1,2,3,4）满足：对i1,2,3,4，fi(x)都是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x)fi(x)；对任意的实数x，有f(x)f1(x)f2(x)cosxf3(x)nsixf4(x)nsi2x。f(x)f(x)f(x)f(x)g(x)h(x)，且g

12、(x)是偶证明：记g(x)，h(x)，则f(x)2xR，g(x22函数，h(x)是奇函数，对任意的)g(x)，h(x2)h(x)。令f1(x)f3(x)容易验证gx)gxg(x)g(x)，f2(x)()xk2cosx2，20 xk2hxhxhx)hxk)()x()k2sin2x22sinxx(x)x，f40 xk，其中k为任意整数。0k2fi(x)，i1,2,3,4是偶函数，且对任意的xR，fi(x)fi(x)，i1,2,3,4。xR，有f1(x)f2(x)cosxg(x)。当x下证对任意的k时，显然成立；当xk时，g(x)g(x)232因为f1(x)f2(x)cosxf1(x)，而g(x)g

13、(k2)22(k1)g(kg(kg(x)，g(k3)222故对任意的xR，有f1(x)f2(x)cosxg(x)。xR，有f3(x)sinxf4(x)sin2xh(x)。当xkk时，下证对任意的2时，显然成立；当xh(x)h(k)h(k2k)h(k)，所以h(x)h(k)0，而此时f3(x)sinxf4(x)sin2x0，故f3(x)sinxf4(x)sin2xh(x)；当xk3h(k3时，h(x)h(k)222hxh(x()h(x)，故f3(x)sinxh(x)，又2从而有f3(x)sinxf4(x)sin2xh(x)。于是，对任意的xR，有f3(x)sinxf4(x)sin2x综上所述，结

14、论得证。2(k1)h(kh(k)22f4(x)sin2x0，h(x)。2006*7、设函数f(x)sin4xsinxcosxcos4x，则f(x)的值域为答案：0,98解析：f(x)sin4xsinxcosxcos4x11sin2x1sin22x。令tsin2x，则22f(x)g(t)11t1t291(t1)2。因此ming(t)g(1)9190,228221t1824maxg(t)g(1)91099。即得0f(x)。1t1282882005*9、设,满足02，若对任意xR，cos(x)cos(x)cos(x)0，则答案：4.3),由xR，f(x)解析：设f(x)cos(x)cos(x)cos

15、(x0知，f()0，f()0,f()0,即cos()cos()1,cos()cos()1,cos()cos()1.cos()cos()cos()1.2,4,又202,.2.4332只有（另一方面.时，代回原式很容易验证对x的任意性都成立）3332004*7、在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)asinaxcosax（a0）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)a21的图像所围成的封闭图形的面积为答案：2a21a解析：f(x)asinaxcosaxa21sinax，取一个周期的图像，割补得面积为长为2，宽为2a21的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填2a21aa2003*4、若x5

16、,3，则ytan(x2)tan(x)cos(x6)的最大值是1236A.122B.112C.113D.1235665答案：C解析：令x，则x2，当3622cos，在,上，为ysin2465x,3时，,，原函数即变1246sin2,cos都单调递增，从而y单调递增于是时，y取得最大值113，故选C662002*12、使不等式sin2xacosxa21cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是答案：,2解析：因为sin2xacosxa21cosx对一切xR恒成立，212即cosxa1a2a（a0）24所以当cosx1时，函数y(cosxa1)2有最大值(1a1)222即(1a1)2a2(a1)2

17、，即a2a20，解得a2或a124又a0，所以a2，即所求负数a的取值范围是,2。2001*3、在四个函数ysinx，ycosx，ycotx，ylgsinx|中以为周期、在0,上2单调递增的偶函数是A.ysinxB.ycosxC.ycotxD.ylgsinx答案：D解析：ysinx不是周期函数ycosx以2为周期ycotx在0,上单调递减只有2lgsinx满足全部条件2000*2、设sin0，cos0，且sin3cos，则的取值范围是()33A.2k,2k，kZB.2k6,2k，kZ63333C.2k5,2k，kZD.2k,2k2k5,2kkZ6436答案：D解析：满足sin0，cos0的的范

18、围是2k,2k，于是3的取值范围是22k6,2k，满足sincos的的取值范围为2k,2k5故所求范33333344围是2k,2k2k5,2k，kZ选D4362000*7、arcsin(sin20000)的值为_答案：200解析：因为2000012180016020001997*5、设f(x)x2x，arcsin1，arctan5，arccos(1)，arctan(5)，3434则（）A.f()f()f()f()f()f()f()f()答案：BB.f()f()f()f()D.f()f()f()f()解析：f(x)的对称轴为x，2235易得，043234选B661997*13、（本题满分20分）

19、设xyz，且xyz，求乘积cosxsinycosz的最大1212值和最小值。解析：由于xyz，故x21221263cosxsinycoszcosx1sin(yz)sin(yz)1cos2x1cosxsin(yz)1cos23122228即为所求最小值(由于6x,yz，故cosxsin(yz)0)，3所以当yz，x时，cosxsinycosz112381111又cosxsinycoszcoszxy)sin(xy)2zzsin(xy2z，sin(coscos)cos2222且1cos2z1cos21211cos23。由于sin(xy)0,cosz0，22268故当xy5,z12时cosxsinyc

20、osz取得最大值23128最大值23，最小值1881996*4、设x1,0，以下三个数：1cossinx,2sincosx,3cosx1,2的大小关系是_A.321B.132C.312D.231答案：D解析：1cossinx0，2sincosx0，3cos1x0，排除B、Dsinxcosx2sin(x)2，于是cosx2sinx，4sincosxcossinx，故另解：也可以取x1代入计算可得41，选A211995*5、logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是()loglogloglogsin1cos1sin1cos1cos1l

21、ogcos1sin1logsin1tan1logcos1tan1sin1logcos1tan1logsin1cos1logsin1tan1tan1logcos1tan1logcos1sin1logsin1cos1tan1logsin1tan1logsin1cos1logcos1sin1答案：C解析：因为1，故0cos1sin11tan1所以logsin1tan10，logcos1tan10，42logsin1cos10，logcos1sin10，设logsin1cos1a，则得sin1acos1sin1，所以a1；logcos1sin1b，则cos1bsin1cos1，所以0b1；即logco

22、s1sin1logsin1cos1设logsin1tan1c，logcos1tan1d，则得sin1ccos1dtan1，(结合指数函数图象进行比较)，cd即logsin1tan1logcos1tan1.故选C1994*4、已知0b1，0a，则下列三数：xlogbsina，ycosalogbcosa4sina，zsinalogbcosa的大小关系是（）A.xzyB.yzxC.zxyD.xyz答案：A解析：由0a得0sinacosa1又0b1，所以logbsinalogbcosa04sinalogbsinasinalogbcosacosalogbcosa即xzy选A1994*10、设0，则sin

23、1cos的最大值是_2答案：439解析：令ysin1cos2sincos2，知y0，222223所以y222sin2cos2cos22223即y43，当tan22时等号成立921992*8、在区间0,中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是_答案：7解析：由题意得7x5x2k，或7x5x2k，(kZ)，得xk，x1k(kZ)，在区间0,6内共有7解1991*7cos2100cos2500sin400sin800答案：341cos200cos1000解析：原式11cos1200cos40011cos2002221cos800cos40042111cos200cos600200cos60020

24、042341990*1设,2,则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是4A.(cos)cos(sin)cos(cos)sinB.(cos)cos(cos)sin(sin)cosC.(sin)cos(cos)cos(cos)sinD.(cos)sin(cos)cos(sin)cos答案：D解析：4,得0cossin1，2(cos)cos(sin)cos；(cos)sin(cos)cos；选D1990*8设A(2,0)为平面上一定点，P(sin(2t600),cos(2t600)为动点，则当t由150变到450时，线段AP扫过的面积是答案：6解析：点P在单位圆上，sin(

25、2t600)cos(15002t)，cos(2t600)sin(15002t).当t由150变到450时，点P沿单位圆从1,3运动到1,3线段AP扫过的面积等于扇形面积2222等于61990*13已知a,b均为正整数，且ab，sin2aba22，(其中0)，b2An(a2b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数证明：由sin2ab，得cosa2b2记Bn(a2b2)nsinna2b2a2b2当a,b均为正整数时，A12ab、B1a2b2均为整数A222，B22a2b22a2b224abab也为整数若Ak(a2b2)ksink、Bk(a2b2)ksink均为整数，则Ak1(a2b2)

26、k1sink1(a2b2)k1sinkcoscosksinAkB1A1Bk为整数Bk1(a2b2)k1cosk1(a2b2)k1coskcossinksinBkB1A1Ak也为整数由数学归纳原理知对于一切nN，An，Bn为整数1989*2函数f(x)arctanx1arcsinx的值域是()2A(,)B33C33D114,4,2,442答案：D解析：因x1,1，故arctanx,，1arcsinx4,，且f(1)，44242f(1)选D21989*12当s和t取遍所有实数时，则s522sint23costs所能达到的最小值为答案：2解析：令x3cost，y2sint，则得椭圆x2y21在第一象

27、限内的弧段94再令xs5，ys，则得yx5，表示一条直线s52s23cost2sint表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方其最小值为点3,0与直线yx5距离平方等于21986*1、设1a0，arcsina，那么不等式sinxa的解集为()Ax2nx(2n1),nZBx2nx(2n1),nZCx(2n1)x2n,nZDx(2n1)x2n,nZ答案：D解析：0，在,0内满足sinxa的角为x，由单位圆易得解为D21985*3、已知方程arccos4arccos4arcsinx，则()5524Bx24Cx0D这样的x不存在Ax2525答案：D解析：即arcsinx2arccos4设arccos4，则c

28、os4，sin35555sin224为锐角2故选D即22521984*7、若动点P(x,y)以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点Q(2xy,y2x2)的运动方式是（）A以角速度在单位圆上顺时针运动B以角速度在单位圆上逆时针运动C以角速度2在单位圆上顺时针运动D以角速度2在单位圆上逆时针运动答案：C解析：令xcost，ysint则2xy2sin2tcos32t2y2x2cos2tsin32t显然2t与t旋转方向相反故选C21984*10、方程cosxcosx的通解是，在0,24内不相同的解有个4答案：x8k或x8m；2035解析：由题意得x2kx，x8k或x8m8k438m5当024时，k1,2

29、,3,8；当024时，m1,2,3,14；而当k3,m5及35k6,m10时，解是相同的，故共有814220个不同的解1983*一、(本题满分8分)求证：arcsinxarccosx，其中x1,12证明：由于x1,1，故arcsinx与arccosx有意义，sin(arccosx)cosarcsosxx，由于arccosx0，arccosx,2222故根据反正弦定义，有arcsinxarccosx故证21982*5、对任何0,都有（）2A.sinsincoscoscosB.sinsincoscoscosC.sincoscoscossinD.sincoscoscossin答案：D解析：由0sin

30、2，得cossinsin0cos1，得sincoscos故选D1981*3、设k（k0,1,2,），tnisnat，则下列正确的是（）2coscotA.t取负值B.t取非负值C.t取正值D.t取值可正可负答案：C解析：tsintansin2cos10coscotcos2sin11981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程部分2018A5、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足f()1，1x2f(2)2，则不等式组的解集为1f(x)2答案：2,82解析：由f(x)为偶函数及在区间0,1上严格递减知，f(x)在1,0上递增，结合周期性知，f

31、(x)在1,2上递增，又f(2)f()1，f(82)f(2)f(2)2，所以不等式等价于f(2)f(x)f(82)，又12822所以2x82，即不等式的解集为2,822018A，B9、（本题满分16分）已知定义在R上的函数f(x)为f(x)log3x1,0 x94x,x，设a,b,c是三个互不相同的9实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围。解析：不妨设abc，由于f(x)在0,3上递减，在3,9上递增，在9,上递减，且f(3)0，f(9)1，结合图像知：a0,3，b3,9，c9,，且f(a)f(b)f(c)0,1。由f(a)f(b)得log3alog3b2，即ab9，此时abc

32、9c，又f(c)4c，由04c1得c9,16，所以abc9c81,144。2018B7、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足f()1，f(2)0，则不等式组0 x1的解集为0f(x)1答案：26,4解析：由f(x)为偶函数及在区间1,2上严格递减知，f(x)在2,1上递增，结合周期性知，f(x)在0,1上递增，又f(4)f()1，f(26)f(2)0，所以不等式等价于f(26)f(x)f(4)，又02641，即不等式的解集为26,4.2017A1、设f(x)是定义在R上函数，对任意的实数x有f(x3)f(x4)1，又当0 x7时，f(x)log2(9x)，

33、则f(100)的值为答案：12解析：由条件知，f(x7)f(x)1，即f(x7)f(x14)1，故f(x)f(x14)，即函数f(x)的周期为14，所以f(100)f(2)11f(5)22017B3、设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)x2是奇函数，f(x)2x是偶函数，则f(1)的值为答案：74解析：由条件知，f(1)1(f(1)(1)2)f(1)1，f(1)2f(1)1，172两式相加消去f(1)，可知：2f(1)3，即f(1).242016A3、正实数u，v，w均不等于1，若loguvwlogvw5，logvulogwv3，则logwv的值为答案：45解析：令loguva，logvw

34、b，则1，logwv1vwloguvloguvlogvwaablogvu，loguab条件化为aabb5，113，由此可得ab5，因此ab4logwulogwvlogvu452016A10、（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)1，且对任意x0，均有f(x)xf(x)。求f(1)f(1)f(1)f(1)f(1)f(1)f(1)f(1)的值。x11002993985051解析：设anf(1)(n=1，2，3，），则a1f(1)1nx1x11在f()xf(x)中取x(kN*)，注意到1k，及f(x)为奇函数可kx1kx111k知f(1)1f(1)1f(1)5分k1kkkkak11n

35、1ak1n1即k，从而ana1akakk1k11110分k(n1)!因此50501491aia101ii1(i1)!(100i)!i0i!(99i)!i1149i149i99i)119929899!i0C9999!i0(C99C9999!2220分99!2015A1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数f(x)x2axb满足f(a)f(b)，则f(2)的值为答案：4解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得aba，即2ab0，所以22f(2)42ab42015A9、（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a4b2c，4a2b4c，求c的最小值。解析：将2a,2b,2c分别记为x,y,z，则

36、x,y,z0由条件知，xy2z,x2yz2，故z2yx2(zy2)2z22y2zy48分因此，结合平均值不等式可得，zy4y1(2y211)1332y21133212分2y24yy4yy4当2y21，即y1时，z的最小值为332（此时相应的x值为332，符合要求）y3244clog2z，故c的最小值log2(332)log2516由于433分2016B4、已知f(x),g(x)均为定义在R上的函数，f(x)的图像关于直线x1对称，g(x)的图像关于点(1,2)中心对称，且f(x)g(x)9xx31，则f(2)g(2)的值为答案：2016解析：由条件知f0g02,f2g2818190.由fx,g

37、x图像的对称性，可得f0f2,g0g24,结合知，f2g24f0g02.由、解得f248,g242,从而f2g248422016.另解：因为fxgx9xx31，所以f2g290.因为fx的图像关于直线x1对称，所以fxf2x.又因为gx的图像关于点1,2中心对称，所以函数hxgx12是奇函数，hxhx，gx12gx12，从而gxg2x4.将、代入，再移项，得f2xg2x9xx35.在式中令x0，得f2g26.由、解得f248,g246.于是f2g22016.2014A1、若正数a、b满足2log2a2log3blog6(a11b)，则的值为ab答案：108解析：设2log2a3log3blog

38、6(ab)k，则a2k2，b3k3，ab6k，从而11ab6k2233108。abab2k23k3axx0,3，其中a为常数，如果f(2)f(4)，则a的取值2015B1、已知函数f(x)x(3,alog2x)范围为答案：2,解析：f(2)a2,f(4)2a，所以a22a，解得：a22015B2、已知yf(x)x3为偶函数，且f(10)15，则f(10)的值为答案：2015解析：由己知得f(10)(10)3f(10)103，即f(10)f(10)2000=20152014A3、若函数f(x)x2a|x1|在0,)上单调递增，则实数a的取值范围为答案：2,0解析：在1,)上，f(x)x2axa单

39、调递增，等价于a1，即a2。在0,1上，a2f(x)x2axa单调递增，等价于0，即a0，因此实数a的取值范围是2,022014B1、若函数f(x)的图像是由依次连接点(0,0)，(1,1)，(2,3)的折线，则f1(2)答案：32解析：可求得直线y2与函数图像的交点为3,2，即f32，根据反函数的性质知22f1(2)3。22014B8、设g(x)x(1x)，是定义在区间0,1上的函数，则函数yxg(x)的图像与x轴所围成图形的面积为答案：16解析：显然g(x)的图像与x轴围成一个半圆，我们用A表示xg(x)与x轴围成的图形。直线2x1是半圆的对称轴，它将A分成左右两个部分。我们知道：xg(x

40、)(1x)g(1x)xg(x)(1x)g(x)g(x)（0 x1），这个式子的几何意义如下图所2示：根据祖暅原理的二维形式，A的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们要求的面积是112。42162014B二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数f(x)ax4（a0）与其反函数f1(x)的图像恰有三个不同的交点.求实数a的取值范围，并证明你的结论。解析：由题意可得其反函数f1(x)1x24，记f(x)与其反函数f1(x)的交点坐标为u,v，a则u2av4，两式子相减得uvuva0，得uv或uva0，v2au4若a0，显然两个函数的图像都在第一象限，所以uva0，联立uv

41、和u2av4，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故a0当a0时，联立uv和u2av4，得交点aa216,aa216；22联立uva0和u2av4，得交点a3a216,a3a21622或a3a216,a3a216，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故22163a20解得432，即所求的范围为432。a163a2a3,032013A5、设a,b为实数，函数f(x)axb满足：对任意x0,1，都有f(x)1，则ab的最大值为答案：14解析：由题意得af(1)f(0)，bf(0)2所以abf(0)f(1)f(0)f(0)1f(1)1f2(1)1f2(1)1，当且仅当24442f(

42、0)f(1)1，即ab1时，ab1，故所求最大值为1。2442013A7、若实数x,y满足x4y2xy，则实数x的取值范围为答案：04,20解析：令ya，xyb，显然a0，b0，且xa2b2，x4y2xy即为a2b24a2b，亦为a22b125（a0，b0），以a,b为坐标作图如图示，在平面内，a,b的轨迹为如图所示的实线部分含原点O，因此aOba2b202,25，即xa2b204,20。2013A11、（本题满分20分）设函数f(x)ax2b，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意的实数x,y均有f(xy)f(xy)f(x)f(y)。解析：已知即可变为：ax2y2baxybax2bay2b先

43、寻找a,b所满足的必要条件。式中，令y0，的对任意的x都有1bax2b2b0，由于a0，故ax2可以取到任意大的正值，因此必有1b0，即0b1。yxax4bbax2b2式中，令，得，即对任意实数x，有aa2x42ab2x2bb202记g(x)aa2x42abx22bb2，即g(x)aa2x2bb22ab1a1a要g(x)0恒成立，则baa20，即0a1，0b1，2ab222ab1a0下面证明对满足的任意实数对a,b及任意实数x,y，总有成立，令(,y)(aa2)x2y2a(1)(x2y2)2axy(2bb2)0恒成立，hxb事实上，在成立时，有a(1b)0，aa20，b22ab0，又x2y22

44、xy，1a可得h(x,y)(aa2)x2y2a(1b)(x2y2)2axy(2bb2)(aa2)x2y2a(1b)(2xy)2axy(2bb2)(aa2)x2y22abxy(2bb2)b2b(aa2)xy1a122aba综上所述，满足条件的(a,b)为a,b0b1,0a1,2ab2。2013B2、设i1为虚数单位，则i2i23i32013i2013答案：10061007i解析：因为i2i23i32013i2013246820102012135720112013i10061007i1005项1006项2013B5、在区间0,中，方程sin12xx的解的个数为答案：4解析：因为当x1时，sin12

45、x1x，方程无解；当x0,1时，3124，做出ysin12x及yx的图像即可得到。2013B6、定义在实数上的函数sinxfxxR的最小值是1xx2答案：2331233123解析：因为x2x1x，sinx1，知f(x)3，24434又当x1时，f(1)23，所以所求最小值为23。22332013B7、设a,b为实数，函数fxaxb满足：对任意x0,1，fx1，则ab的最大值为答案：14解析：由题意得af(1)f(0)，bf(0)21f2(1)1f2(1)所以abf(0)f(1)f(0)f(0)1f(1)1，当且仅当24442f(0)f(1)1，即ab1时，ab1，故所求最大值为1。244201

46、2A3、设x,y,z0,1，则M|xy|yz|zx|的最大值为答案：21解析：不妨设0 xyz1,则Myxzyzx.因为yxzy2(yx)(zy)2(zx).所以M2(zx)zx(21)zx21.当且仅当yxzy,x0,z1,y1.故Mmax21.时上式等号同时成立22012A6、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2.若对任意的xa,a2，不等式f(xa)2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是答案：2,).x2(x0)f(2x).因此,原不等式等价于解析：由题设知f(x)2(x,则2f(x)x0)f(xa)f(2x).因为f(x)在R上是增函数,所以xa2x,即a(21

47、)x.又xa,a2,所以当xa2时,(21)x取得最大值(21)(a2).因此,a(21)(a2),解得a2.故a的取值范围是2,).2012A9、（本题满分16分）已知函数f(x)asinx1cos2xa31，aR,a0.2a2若对任意xR,都有f(x)0，求实数a的取值范围；若a2，且存在xR,使得f(x)0，求实数a的取值范围；解析：令tsinx，则1t1，函数f(x)即为g(t)t2ata3，由f(x)0即ag(1)301g(t)0对任意1t1恒成立，即a，解得0a1，g(1)1302aa故所求实数a的取值范围为0,1因为a2，所以g(t)的对称轴xa1，有g(t)在1,1上递增，23

48、33所以g(t)的最小值为g(1)110，解得0a3，即f(x)的最小值为，由1aaa又a2，故所求实数a的取值范围为2,32012B4、若关于x的不等式组x33x2x30，（a0）的整数解有且只有一个，则a的x22ax10取值范围为答案：3,443解析：由x33x2x30解得3x1或x1，所以不等式组的唯一整数解只可能为2或2。记函数f(x)x22ax1，由于对称轴xa0，所以整数解只能是2，因此有f(2)34a0，解得3434f(2)34a0a，故所求范围为,。f(3)86a043432012B7、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2.若对任意的xa,a2，不等式f

49、(xa)2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是答案：2,).解析：由题设知f(x)x2(x0)则2f(x)f(2x).因此,原不等式等价于x2(x,0)f(xa)f(2x).因为f(x)在R上是增函数,所以xa2x,即a(21)x.又xa,a2,所以当xa2时,(21)x取得最大值(21)(a2).因此,a(21)(a2),解得a2.故a的取值范围是2,).2012B9、（本题满分16分）已知函数f(x)asinx131，aR,a0.cos2xa22a若对任意xR,都有f(x)0，求实数a的取值范围；若a2，且存在xR,使得f(x)0，求实数a的取值范围；解析：令tsinx，则1t1，函数f(

50、x)即为g(t)t2ata3，由f(x)0即ag(1)130g(t)0对任意1t1恒成立，即a，解得0a1，g(1)12a30a故所求实数a的取值范围为0,1因为a2，所以g(t)的对称轴a1，有g(t)在1,1上递增，x2所以g(t)的最小值为g(1)1333，解得0a3，即f(x)的最小值为1，由10aaa又a2，故所求实数a的取值范围为2,32011A2、函数f(x)x21x1的值域为答案：(,2(1,)2解析：提示：设xtan,2，且4，则1211f(x)cos设u2sin()，则2u1，tan1sincos2sin()44且u0，所以f(x)1(,2(1,)u22011A3、设a,b

51、为正实数，1122，(ab)24(ab)3，则logab1ab答案：解析：由1122，得ab22abab又(ab)24ab(ab)24ab4(ab)342ab(ab)38(ab)2，即ab22ab于是ab22ab再由不等式中等号成立的条件，得ab1与联立解得a21,或a21,，b21,b21,故logab12011A9、（本题满分16分）已知函数f(x)|lg(x1)|，实数a,b（ab）满足f(a)f(b1)，f(10a6b21)4lg2.b2求实数a,b的值。解析：因为f(a)f(b1)，所以|lg(a1)|lg(b11)|lg(1)|lg(b2)|，b2b2b2所以a1b2或(a1)(b

52、2)1，又因为ab，所以a1b2，所以(a1)(b2)1又由f(a)|lg(a1)|有意义知0a1，从而0a1b1b2，于是0a11b2所以(10a6b21)110(a1)6(b2)6(b2)101b2从而f(10a6b21)|lg6(b2)10|lg6(b2)10b210b2又f(10a6b21)4lg2，所以lg6(b2)4lg2，101b2故6(b2)16解得b1（舍去）b2或b3把b1代入(a1)(b2)1解得a235所以a21，b532011B3、若正实数a,b满足1122，(ab)24(ab)3，则logab.ab答案：1解析：由1122，得ab22abab又(ab)24ab(ab

53、)24ab4(ab)342ab(ab)38(ab)2，即ab22ab于是ab22ab再由不等式中等号成立的条件，得ab1与联立解得a21,或a21,，b21,b21,故logab12011B9、（本题满分16分）已知实数x,y,z满足：xyz，xyz1，x2y2z23.求实数x的取值范围.解析：令x1t，由xyz1得zty，代入x2y2z23得y2tyt2t10由方程有实根，得t24(t2t1)0，解得2t2。3由方程及yz可得yt44t3t2t44t3t2y，所以2，z2，又x1tt44t3t2，即23t44t3t2，解得t0，综上可得0t2，23即x1t1,5，所以实数x的取值范围为1,5

54、。332011B三、（本题满分50分）设实数a,b,c1，且满足abc2a22b22c2cacb4a4bc28，求abc的最大值.解析：由已知等式可得，a12b12c21a1b1c162令a/a1，b/b1，则aa/1，bb/1，则式等价于a/2b/221a/b/c16c2易知mina/,b/,c4.令la/b/c，则abc(a1)(b1)ca/b/cl。设f(x)(xa/)(xb/)(xc)x3lx2(a/b/b/cca/)xa/b/c，则f(4)2l216l32。当xmina/,b/,c时，由平均不等式得(xa/)(xb/)(xc)13xl3112127所以f(4)l3，从而2l216l3

55、212l3，整理得l318l227320，2727即l6l224l6240，所以l6。式中等号成立的条件是xa/xb/xc，即a/b/c，代入得a/b/c2，因此a3,b1,c2，l的最大值即abc的最大值为6。2010AB1、函数f(x)x5243x的值域为答案：3,3解析：易知f(x)的定义域是5,8，且f(x)在5,8上是增函数，从而可知f(x)的值域为3,3.2010AB2、已知函数y(acos2x3)sinx的最小值为3，则实数a的取值范围为答案：3a122解析：令sinxt，则原函数化为g(t)(at2a3)t，即g(t)at3(a3)t.由at3(a3)t3，at(t21)3(t

56、1)0，at(t1)3)0及t10知(t1)(at(t1)30即a(t2t)3.（1）当t0,1时（1）总成立；对0t1,0t2t2；对1t0,1t2t0.4从而可知3a1222010AB5、函数f(x)a2x3ax2（a0，且a1）在区间x1,1上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值为答案：14解析：令axy,则原函数化为g(y)y23y2,g(y)在(3,+)上是递增的.21当0a1时，ya,a1,g(y)maxa23a128a12a，1112所以g(y)min()232；224当a1时，ya1,a，g(y)maxa23a28a2，所以g(y)min2232121.41综上f(x)在x1

57、,1上的最小值为.42010AB9、（本题满分16分）已知函数f(x)ax3bx2cxd，（a0），当0 x1时，f/(x)1a的最大值。，求实数f(0)c,解析：解法一：f(x)3ax22bxc,由f(1)3abc,得24f(1)3a2bc3a2f(0)2f(1)4f(1).2所以3a2f(0)2f(1)4f(1)2f(0)2f(1)4f(1)8，22所以a8.又易知当f(x)8x34x2xm（m为常数）满足题设条件，所以a最大值33为8.3解法二：f(x)3ax22bxc.设g(x)f(x)1，则当0 x1时，0g(x)2.设z2x1，则xz1,1z1.2h(z)g(z1)3az23a2b

58、z3abc1.2424容易知道当1z时，0h(z)2,0h(z)2.从而当1z1时，10h(z)h(z)2，即03az23abc12，从而3a20,3az2448.bc12，由0z21知a443又易知当f(x)8x34x2xm（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为8.332010A11、（本题满分20分）证明：方程2x35x20恰有一个实根r，且存在唯一严格递增的正整数数列an，使得2ra1ra2ra3。5证明：令f(x)2x35x2，则f(x)6x250，所以f(x)是严格递增的.又f(0)20,f(1)30，故f(x)有唯一实数根r(0,1).所以2r35r20，即2r242r3rr4r

59、7r10.51故数列an3n2(n1,2,)是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列a1a2an和b1b2bn满足ra1ra2ra3rb1rb2rb32，去掉上面等式两边相同的项，有5rs1rs2rs3rt1rt2rt3，这里s1s2s3,t1t2t3，所有的si与tj都是不同的.不妨设s1t1，则rs1rs1rs2rt1rt2，1rt1s1rt2s1rr2111111，r112矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2009*1、函数f(x)x1，且x2答案：110解析：由题意得f(1)(x)f(x)f(99)(x)x.故f(99)(1)199x2f(n)(x)ffff(x)，则f(99)(

60、1)n个fx，f(2)(x)ff(x)x，1x212x21.102009*6、若关于x的方程lgkx2lg(x1)仅有一个实根，则实数k的取值范围为答案：k0或k4kx0 x10解析：由题意，方程等价于，当且仅当kx(x1)2kx0（1）；x10（2）；x2(2k)x10（3）对（3）由求根公式得x1,x21k2k24k（4）k22又4k0k0或k4(i)当k0时，由（3）得x1x2k20，所以x1x2同为负根。x1x210又由（4）知，x110，所以原方程有一个解x1。x210(ii)当k4时，原方程有一个解xk11.2(iii)当kx1x2k20 x2，不合题意。4时，由（3）得10，所以