西南交大曲线积分与曲面积分习题解答

1、习题1011计算下列对弧长的曲线积分（1），其中L为圆周解：L可表示为：，故（2），其中L为圆周，直线及x轴在第一象限所围成的扇形的整个边界曲线解：，：，；：，；：，（3），L为抛物线上介于与之间的一段弧解：（4），其中L为对数螺线（，）解：，（5），其中L为摆线一拱，即L：，（，）解：（6），其中L：解：，；：，；：，；：，；（7），其中C为锥面螺线，（）解：（8），其中C为空间圆弧：解：，；：，2求圆柱面介于及的侧面积解：C：，3求两个底面半径相等的直交圆柱面：，（）所围立体的表面积解：，：，；：，所以4设曲线L：，（，），其线密度，求其质量。解：令令，则所以所以5设均匀曲线弧C：，（），

2、求它的重心坐标解：，6设有螺旋弹簧一圈的方程为，（），其上线密度，求它关于z轴的转动惯量和重心坐标解：7设有一空间曲线C，其上分布的线密度为（在C上连续），在C外有一单位质量的质点位于，试写出C对单位质点的引力的计算公式。解：习题1021把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中L为：（1）从点沿抛物线到点（2）从点沿上半圆周（）到点解：（1）因为，所以切向量可取，切向量的方向余弦为，所以，所以（2）因为，所以切向量可取切向量的方向余弦为，所以2把第二类曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中C为：（1）从点到点的直线段解：切向量的方向余弦为：，所以，（2）从点经过圆弧到点的弧段解：因为，所以切向量可

3、取为：切向量的方向余弦为：，所以，3计算下列对坐标的曲线积分（1），其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向绕行）；解：；：令，则：（2），其中为到的直线段解：，（3），L为从点到点的上半椭圆周解：（4），其中L是以为顶点的正方形边界，沿逆时针方向解：；：；：（5），其中C为定向闭折线，各点分别为解：；：（6），C为椭圆周且从z轴正方向看去，C取顺时针方向解：令，则：C：，（7），其中C为球面与三个坐标轴正半轴的交点及坐标面的交线构成的球面三角形的正向边界（即C的方向与球面外侧的法向量满足右手定则）解：；：；：4计算，其中L（1）抛物线上从点到点的一段弧解：（

4、2）从点到点的直线段弧解：L：（3）曲线，上从点到点的一段弧解：L：，5设一平面力场的场力大小与作用点到原点的距离成正比（比例系数为k），方向垂直于作用点与原点的连线，并且与y轴正向的夹角不大于，试求一质点沿着以AB为直径的右下半个圆周，从点移到点时场力所做的功解：作用力的方向向量可取为：所以作用力的方向余弦为：，所以，L：所以6证明，其中为平面光滑曲线L的长度。证明：设L起点与终点之间的距离为d，两点之间的连线与x轴、y轴的夹角为（）则有习题1031用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积（1）椭圆：解：令，则L：，（2）星形线：解：2用格林公式计算下列曲线积分（1），其中L为圆周，取逆时针

5、方向解：令：，则：，；（2），其中L为闭区域D：，的正向边界解：（3），其中L为星形线（）所围区域的正向边界解：所以（4），L为圆周，与直线，在第一象限所围区域的正向边界解：令：，则：，；3计算曲线积分（1），其中L为圆周取逆时针方向解：，作圆周：并取逆时针方向，则在以和为边界的区域D内有所以令：，则（2），其中L是以为中心，半径为（，）的圆周，取逆时针方向解：，当时：当时，作：取逆时针方向则在以和为边界的区域内有所以令：，则：4证明下列曲线积分在平面上与路径无关，并计算积分之值（1）解：，因为：，所以与路径无关（2）解：因为：，所以与路径无关（3）解：，因为：，所以与路径无关5用适当的方法计

6、算下列曲线积分（1），其中L是在圆周上由点到点的一段弧解：因为，所以与路径无关所以（2），其中L为圆周上从点依逆时针方向到点的弧段解：设：；：则由、为边界的区域为D：，所以 所以（3），L是在半圆周上从点到点的一段弧解：令，则当时，所以当时，与路径无关令，所以（4），其中L为从点到点的直线段解：当时，所以当时，与路径无关6验证下列在整个平面上是某函数的全微分（即求微分式的原函数），并求的一个表达式（1）解：因为，所以在整个平面上是某函数的全微分（2）解：因为，所以在整个平面上是某函数的全微分（3）解：因为，所以在整个平面上是某函数的全微分7解下列全微分方程（1）解：因为所以所以解为：（2）解：

7、因为所以所以解为：（3）解：因为所以所以解为：（4）解：因为所以所以解为：（5）解：所以解为：（6）解：所以解为8设在右半平面（）中有力场，其中k为常数，。证明：此力场中场力所做的功与所取路径无关证明：，所以故当时，力场所做的功与所取路径无关9设位于点的质点A对质点M的引力大小为，（常数），r为质点A与M之间的距离。质点M沿曲线自点运动到点，求此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功解：，所以在除点以外的区域，做功与路径无关所以10计算曲线积分，其中L为由点沿圆弧到点的有向弧段解：令，因为所以令，所以11计算曲线积分，其中L（1）闭区域的正向边界（2）圆周逆时针方向（3）从点沿曲线到点的弧段解

8、：（1）（2）取：；：；：；：则在以、为边界的区域内所以（3）取：；：；：；则在以、为边界的区域内所以所以所以12利用曲线积分与路径无关的条件，求待定参数与函数（1）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求解：，（2）求可微函数，使曲线积分在的开区域内与积分路径无关，已知。若，其中，求此曲线积分之值解：13证明的充分必要条件为其中L是单连通开域G内的一条简单闭曲线，在G内具有连续二阶偏导数。证明：充分条件：必要条件：在G内任取两点A、B，设、是G内从A到B两条任意的不同的分段光滑曲线则所以与路径无关故：，为动点，有因G为开域，故存在，使同理，所以即习题1041计算曲面积分，其中为：（1）锥面及平面

9、所围成闭区域的边界曲面解：可分为锥面和平面两部分（2）平面，所围立体的边界曲面解：可分为，六个平面部分，2计算下列曲面积分：（1），其中是平面在第一卦限部分解：（2），其中是锥面界于与之间的部分曲面解：（3），其中为锥面被柱面所截得的部分解：3计算下列曲面积分（1），其中为上半球面解：（2），其中为界于与（）之间的柱面：解：可分为界于与（）之间的柱面与界于与（）之间的柱面所以所以（3），其中为两个柱面与位于第一卦限的部分与三个坐标面所围成的区域的整个边界曲面解：可分为：，；：，；：，；：，；：，；所以：4计算所给曲面的质量（1）：（），其上的密度分布为；解：（2）半径为R的球面，其上点的面密度

10、与该点到球面的某一直径的距离相等解：设球面为：，面密度为：将球面分为：；：所以5八分之一球壳（，）的重心坐标，设面密度解：6求面密度为常数的均匀半球壳对于轴的转动惯量解：7求高为h的直立正圆锥面的形心位置解：设锥面为：，即在轴线上距底面为习题1051计算下列对坐标的曲面积分（1），其中是部分曲面的上侧解：，（2），其中为柱面被平面及所截下的在第一卦限内的部分的前侧解：（3），其中是由平面，所围空间区域的整个边界曲面的外侧解：将划分为：，；：，；：，；：，；所以（4），其中是抛物面介于平面及之间的部分曲面的下侧解：2把第二类曲面积分化为第一类曲面积分（1）是平面被柱面所截的部分，并取下侧；解：，

11、（2）为抛物面被平面所截的部分，并取左侧解：，3计算曲面积分其中为连续函数，是平面在第四卦限内的上侧解：，4计算，为锥面上满足，的那部分曲面的下侧解：，5计算，为柱面被平面，所截的部分的外侧解：将划分为：，；：，；所以：6计算，其中是曲面及两平面，（）所围立体边界曲面的外侧。解：将划分为：，；：，；：，；：，所以习题1061利用高斯公式计算下列曲面积分（1），其中是球面的外侧解：（2），其中为由曲面与所围立体的边界曲面的外侧解：（3），是以点，为顶点的四面体的表面的外侧解：（4），为柱面与平面，所围成的区域的边界面的外侧解：2计算下列曲面积分（1），是球面（）的上侧解：设是，的下侧，则与构成闭

12、曲面所以：（2），其中是曲线：，（）绕y轴旋转一周所成的旋转面，它的法向量与y轴正向夹角大于解：设是，的右侧，则与构成闭曲面所以：（3），为抛物面被平面所截下的部分的下侧解：设是，的下侧，则与构成闭曲面所以3计算，其中是椭球面（）与所围的闭曲面的外侧（，常数）解：令，则：，所以：4计算曲面积分，其中为由和所围成的半球区域的整个边界曲面的外侧解：5设具有连续导数数，计算曲面积分其中为锥面与两球面及所围立体表面的外侧解：6利用斯托克斯公式计算下列曲线积分，所有曲线从z轴的正向看去，均取逆时针方向（1），C为圆周，解：（2），C为椭圆，（，）解：所以（3），C是球面位于第一卦限那部分的边界解：其中可分为：，：，：，（4），C是圆周，解：7求下列向量场穿过曲面指定一侧的通量（1），为圆柱（