信号处理原理：DTFT频谱的数值计算

1、DTFT频谱的数值计算如何计算其频谱中某些频率处的频谱密度值？这是因为要对信号进行数字处理，并保存频谱分析的结果，必须解决如何求解频谱中各频率点的频谱密度的问题。其次，有些信号只有观测值，没有解析式，不能在符号级求解频谱函数，只能用数值计算的方法，来求解频谱函数中的函数取值。 12CASE 1. 单个频率点上DTFT频谱密度函数值的计算CASE 2. 频率范围上均匀分布的N个DTFT谱密度值计算DTFT频谱的数值计算特殊的频率范围3法1：特殊区间 正好是一个奈氏区间，按前述方法一个周期内均匀分布的N点频谱值计算其物理过程是先有DTFT的连续谱，然后再在上面抽样有限长序列连续周期频谱N点频谱值（

2、函数图形或表达式）4法2：因端点实际上是固定的，所以可直接由序列值计算:一个周期内均匀分布的N点频谱值计算序列的DFT变换不必求得DTFT的连续谱，可由上式直接用样本值来计算有限长序列连续周期频谱N点频谱值数字序列与数字频谱的关系56序列长度为L，求其DTFT谱上区间上均匀分布的N个谱值由 直接计算的过程：序列DFT的定义与物理意义为了表示方便（因为 只与k有关）DFTDFT7DFT的矩阵表示时域L点频域N点8N与L是什么关系呢？有关系也没有关系！从理论上讲，DFT变换中的N与L相互之间是可以独立确定的。L是数据记录中时域样本的数目，它可能是无限的；而N则是对DTFT进行抽样时的频率点的数目。

3、通常，在讨论和使用DFT（特别是编程实现）时，一般会令LN。既然L与N没有什么必然的联系，那么，为什么设它们相等？有什么考虑？ 9NL: 频域点数N取得比序列的长度L要大在序列尾部补任意数目的零，新序列与旧序列的DFT结果一样序列补零与回绕DTFT相等，DFT就相等要是在前面补零呢？N与L什么关系？10序列补零与回绕在序列前面补零相当于序列被右移N与L什么关系？11序列补零与回绕在序列前面补零相当于序列被右移N与L什么关系？12序列补零与回绕在序列前面补零相当于序列被右移N与L什么关系？13序列补零与回绕在序列前面补零相当于序列被右移要是序列左移呢？N与L什么关系？使用定义推导14序列补零与回

4、绕序列左移D个单位0 新的序列零点（起点）使用DFT的定义进行推导（不过，使用与DTFT的关系更简便）新序列右移D个单位就还原成了原序列N与L什么关系？15N=L即，只有在N=L时，才能从X(k)求出计算X(k)的序列x(n)来。II L是实际待处理的数据长度，不可更改；而N则只是数字处理设备中的算法参数，由设计人员在使用时设定III 若NL，则数值计算相当于在序列后面补了零，虽不影响DFT结果的正确性，但因补充的零值参与了DFT的计算，所以会浪费计算资源。结论：为方便， N = L 折叠回绕Length = LLength = NLength = NIDFTDFTDFTN与L什么关系？27D

5、FT频谱的特点离散的：显然，因为它是对DTFT频谱的抽样周期的：显然，因为它来自周期的DTFT频谱由计算公式也易证明之实序列的DFT频谱是共轭对称的：关于原点共轭对称关于N/2点共轭对称（N是偶数）28DFT是线性变换：帕斯瓦尔定理 （根据IDFT定义证明）DFT变换的性质29奇偶虚实性奇对称和偶对称序列:奇函数的DFT是奇函数；偶函数的DFT是偶函数。 实序列:实偶函数的DFT是实偶函数；实奇函数的DFT是虚奇函数。 实函数的DFT，实部是偶函数，虚部是奇函数；模是偶函数，相位是奇函数。虚序列:虚偶函数的DFT是虚偶函数；虚奇函数的DFT是实奇函数。 虚函数的DFT，实部是奇函数，虚部是偶函

6、数；模是偶函数，而相位是奇函数。 DFT变换的性质30DFT变换的性质31反褶与共轭时域频域反褶反褶共轭共轭反褶共轭反褶共轭这些性质可以直接利用DFT的定义（计算公式），结合复数关于共轭的性质即可得到证明。 DFT变换的性质32频移对称性DFT变换的性质33时移特性：DFT变换的性质34时移特性：DFT变换的性质35时移特性：DFT变换的性质36DFT是对DTFT频谱的抽样（一个周期上均匀分布的N个点）时移特性：DFT变换的性质37DFT是对DTFT频谱的抽样（一个周期上均匀分布的N个点）时移特性：DFT变换的性质38DFT是对DTFT频谱的抽样（一个周期上均匀分布的N个点）时移特性：若不用D

7、TFT与DFT的关系, 如何推导此特性呢?DFT变换的性质39DFT变换的性质 时移特性根据回绕序列的DFT与原序列DFT的关系来推导此特性40DFT变换的性质 时移特性根据回绕序列的DFT与原序列DFT的关系来推导此特性41DFT变换的性质 时移特性根据回绕序列的DFT与原序列DFT的关系来推导此特性42DFT变换的性质 时移特性根据回绕序列的DFT与原序列DFT的关系来推导此特性43DFT变换的性质 时移特性44DFT变换的性质 时移特性45DFT变换的性质 时移特性46DFT变换的性质 时移特性47时域卷积序列x(n)与y(n)的卷积满足下面的关系 DFT变换的性质 卷积定理时域卷积频域

8、乘积频域乘积时域卷积 ?x(n): L1y(n): L2x(n)*y(n): L1+L2-1N != L1 != L248DFT变换的性质 卷积定理49DFT变换的性质 卷积定理50DFT变换的性质 卷积定理51能不能直接用信号来表示结果呢?或: 如何计算卷积结果的回绕呢？DFT变换的性质 卷积定理52DFT变换的性质 卷积定理53DFT变换的性质 卷积定理54DFT变换的性质 卷积定理55DFT变换的性质 卷积定理56又碰到了信号的回绕DFT变换的性质 卷积定理57回绕一个移位序列相当于循环移位DFT变换的性质 卷积定理58频域卷积也是一种卷积! 为了突出新“卷积”与“旧”卷积的不同, 同时

9、也为了突出它们之间的相同, 称过去传统的卷积为线卷积,而称此“新卷积”为序列的圆周卷积，简称圆卷积。反褶循环移位相乘相加编程实现容易DFT变换的性质 卷积定理60直接计算DFT的复杂度为O(N2)计算DFT的计算量：每算一个X(k)，需要N次复数乘法，N-1次加法。因此，N点DFT需要N*N次复数乘法，N(N-1)次复数加法。尽管预先算好并保存旋转因子 可以节省部分运算，但按定义式直接编程求DFT的运算量仍然很大。自学：计算DFT的快速算法 - FFT611. W具有周期性2. W具有对称性N点DFT运算可以分解为两组N/2点DFT运算，然后再取和。经过周期性与对称性简化之后,容易发现DFT运算中存在着不必要的重复计算,避免这种重复,是简化运算的关键.DFT的复杂度与点数N有关！特别说明：FFT是DFT的快速算法，不是新的变换方法。其算法基础是：W的两个性质。FFT的原理62FFT的原理63注意G(k)与H(k)的周期是N/2FFT的原理64于是，N点X(k)可用N/2点的G(k)和H(k)来计算：FFT的原理65GHN/2-DFTN-DFTXN/2N/2+-复数加法次数复数乘法次数IDFT同样可用FFT实现，算法复杂度相同。NFFT的原理66实序列DFT