定积分的背景教学设计省优质课

1、 / 7定积分的背景数学 王乃雪 江西高安二中【教学目标】知识目标通过曲边梯形的面积问题、 变速直线运动物体的路程问题、 变力 做功问题理解定积分概念的形成的基本思想， 初步了解、 感受定积分 的实际背景。能力目标通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤分析问题的方法，从而培养学生的逻辑思维能力；体会“以直代曲” ， “逼近”的思想，理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。. 情感目标对不同背景下的问题中蕴含的统一数学内涵的过程的揭示，认识到数学与生活的联系和数学在实用性方面的巨大力量， 进而对数学中蕴含的理性美产生发自内心的欣赏情感。【

2、教学重难点】教学重点了解以直代曲、 逼近的数学思想， 初步掌握求曲边梯形面积的步骤。教学难点曲边梯形的不足近似和过剩近似两种近似面积的求法。【教学过程】一、创设情境，引入新课介绍我国魏晋时期的数学家刘徽以及他的“割圆.术以刘徽（约公元225年一295年），山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之籥/ 一。他的杰作九章算术，是中国最宝贵的数学遗刘徽（约公元225年一29奔）产，影响、支配中国古代数学的发展1000余年，是东方数学的典范之一，与希腊欧几里得的几何原本所代表的古代 西方数学交相辉映。他对数学的主要贡献是创造十进小数、证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理；定义许多重

3、要数学概念解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题；创造了割圆术，运用极限观念计算圆面积和 圆周率。在右图中的圆内作内接正多边形，通、f过变量来改变正多边形的边数，用正多I 0 0边形面积来近似估计圆的面积。I/提问：圆内接正6边形圆内接正12边形.可以用正六边形的面积来表示圆的面积吗？可以用正12边形来表示吗？.要使用多边形的面积近似表示圆的面积更精确，应该怎么办？.用内接正多边形的面积来表示圆的面积， 怎么计算圆周率兀？割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。二、新课讲授曲边梯形的概念：由三条直线x轴、x=a、x=b和一条曲线y 围成的封闭图形，就叫做曲边梯形。提

4、问：我们知道多边形、圆形、扇形等规则图形的面积求法，那2 x怎么求曲边梯形的面积?探究一、求曲边梯形的面积问题1 :求由x轴、直线x=1和曲线y成图形的面积（一） 分割为了计算曲边梯形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形，如下 图所示。图1图2图3（二）近似代替提问：.我们将曲边梯形分割后，可以用图1或者图2中的小矩形的面 积和来代替由x轴、x=a、x=b和曲线y x2围成的图形的面积吗？.如果还有比较大的误差，我们可以怎么做使误差变小?.将区间0,1分的越细，误差越小吗?在图1和图2中不断增加小矩形的数量，得到的阴影部分的面积会越来越接近由X轴、直线x=1和曲线y x2 围成的面积，而图3中的

5、面积会越来越小， 直至无限接近于0.因此，只要区间分的够细 小，我们就可以用图1或者图2中的矩形的 面积来近似代替由x轴、x=a、x=b和曲线 y x2围成的图形的面积。下面以图1为例求不足近似的面积。把区间0, 1等分成n个小区间：0,-,-,-,LJ,*；n n n n n n TOC o 1-5 h z 每个区间长度为1,第i个小矩形的高度为（L）2,所以第i个小矩形 nn的面积为1（）20 n n求和S S1 S2Sn12/2012n。(0)2 (1)2()2(U)2n n nnn211(n 1) 3 (n 1)n(2n 1)n 6逼近（求极限）当分割无限变细，即n 时，S 3 1（n

6、 1）n（2n 1） 1 ,所以 n 63所求曲边梯形的面积为3。练习i:仿照上面求不足近似面积的方法求图2中由x轴、直线x=1和曲线y x2 成的图形的过剩近似面积探究二、变速运动的路程问题提问:.匀速直线运动路程公式是什么?.若以时间为横坐标，速度为纵坐标建立坐标系，那么路程可以用什么表示？.如果是变速直线运动，路程怎么求?问题2: 一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行 5s后停下，在这一过程中汽车的速度V是时间t的函数：v(t) t2 10t 25(0 t 5),请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 S。用横坐标表示时间，纵坐标表示速度，可以得到速度关于时间的函数图象如右图所示。提问：.仿照问题

7、1中的近似方法将时间区间0,55等分，得到的不 足近似面积和过剩近似面积分别怎么计算？将区间 0,510等分呢？.哪种分法得到的面积误差较小？，如果还要使误差更小，怎 么办？首先将滑行时间5等分，若用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是Si v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)；若用 v,v(2),v(3),v(4),v(5)近似表示各时间区间的平均速度，得到滑行距离是S1 v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m)。为了使误差更小，将滑行时间10等分，用类似的方法求得过剩近似值为 S2

8、v(0) v(0.5) v(1) v(1.5)v(4) v(4.5) 0.5 48.125(m)；不足近似值为 s2 v(0.5) v(1) v(1.5) v(2)v(4.5) v(5) 0.5 35.625(m)。按照这样的思路继续将时间分细，我们就会得到更精确的估计值，当小时间间隔长度趋于0时，这两种估计值就都趋于汽车滑行的 路程。方法归纳总结：求曲边梯形的面积分为以下几个步骤.将区间分割；.近似代替(一般用不足近似和过剩近似两种代替方法);.求近似面积和；.求极限，让n ,得到准确面积。练习2:由直线x=1,y=0和曲线y x3围成一个曲边 梯形，将区间0,14等分，则曲边梯形面积的近 似值(过剩近似)是( ).A B. g C. Md.经 1925627064三、小结求曲边梯形面积四步曲：.分割化整为零.近似代替以直代曲.求和积零为整.逼近刨光磨平四、作业：(思考题)一根弹性系数为0.4N/cm的弹簧, 其拉力随