2020年中考数学专题复习和训练开放性·存在性问题例析

1、eqoac(,在)ABCeqoac(,和)ADC中BACDAC2020年中考数学专题复习和训练：开放性存在性探究问题例析理由.解答：添加BACDAC.BDABDACAC3xx2（答案不唯一）编写：赵化中学郑宗平专题透析：初中数学的开放性存在性问题是近年来各地数学中考的热点；开放性主要包括条件开放、结论开放、条件结论开放以及思维方法探索等；存在性问题与函数特别是二次函数相结合的比较多，主要包括：一.函数图像中各类三角形的存在性，比如等腰三角形、直角三角形、全等三角形、，相似三角形的存在性等；二.函数图象中各类特殊四边形的存在性，比如：平行四边形、矩形、菱形以及正方形的存在性；开放性、存在性往往以

2、及其它题型穿插在一起.就自贡数学中考来看，从16-19年这4年的压轴题都涉及存在性问题；下面我精选了一部开放性存在性问题典例进行分析解答，有追踪练习，最后的巩固提升练习供选练，例习题共有100余道.典例精析：题目一.开放性问题典例例1.已知关于x的一元二次方程x1x4p2，p为实数.求证：方程有两个不相等的实数根；.P为何值时，方程有整数解.（直接写三个p值，不需要说明理由）略解：.将原方程化成一般形式为：x25x4p20.=52414p2=4p29p204p290，即0.所以原方程有两个不相等的实数根.当x1时，p2x1x40，解得p0；当x0时，p2x1x44，解得p2或p2；当P为0,2

3、,2，方程有整数解.eqoac(,)ABCeqoac(,)ADC（AAS）C点评：本题的可视为“条件开放性的问题”，添加符合题意的条件不止一种情况；本题这里选择的BACDAC，用“AAS”判定解决问题.例3.二次函数的图象的大致图象如图所示，请写出一个满足该图象可能的二次函数的解析式.解析：图象为抛物线，可设此二次函数的解析式为yax2bxca0由抛物线的开口方向可知：a0；y由抛物线交于y的正半轴可知：c0；由顶点在第二象限，对称轴在y轴的左侧，利用a,b有“左同右异”的符号规律可得：b0.Ox二次函数的解析式可能为：y12点评：本题的可视为“结论开放性的问题”，添加符合题意的结论不止一种情

4、况；就本题而言主要根据二次函数图象及其性质先确定二次函数各项系数的符号，然后就可以写出符合题意二次函数的解析式，在解析式的系数符号基础上适当考虑开口程度和交点离开原点的距离就是了.例4.对于两个二次函数y1,y2，满足y1y22x223x8；当xm时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3,；请你写出两个符合题意的二次函数y2的解析式.（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）解析：已知当xm时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3；故抛物线y2的顶点坐标为m,3.可设yxm232y2x223x8xm23，整理为：y1x223mxm点评：本题的问考查的一元二次方程根的判别

5、式，直接从判别式“”切入即可证明；本题的问可以视为“条件和结论都开放性的问题”，条件p不唯一，方程的整数解也不唯一；本问可以逆推解答，先把结论满足条件的整数解代入方程，然后再开平方求出p的值；当然x取整数时要注意满足x1x40，因为负数没有平方根.例2.如图，BD,请你添加一个条件（不得添加辅助线），使得ABCeqoac(,)ADC,并说明2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第1页（共34页）yy2x223x8121当xm时，二次函数y1的函数值为5.m2232mmm255.第2页（共34页）25.BCBD；故有yx23或y2x33.ACAD.整理：232mm0，解得：m3或m0.

6、22注：当二次项系数a要取不同的系数时（a2,a0），得到的m的值是不一样的，即对称轴若在上述中，其中两个作为条件，另外三个作为其推出的结论，这样组成一个命题，请用序号和“”连接写出至少两个正确的命题：.直线xm不一样，所以答案不唯一（“无穷个”）.点评：9.如图，在O中，半径OAOB,C、D为弧AB的三等分点，AB分别交AC本题的也可视为“结论开放性的问题”，符合题意的答案往往有多种情况；就本题而言当二次项系数a要取不同的系数时（a2,a0），得到的m的值是不一样的，所以答案不唯一.本OC、OD于点E、F，则下列结论：E.AOC30o;.CEDF;.AEO105o;.ACCDBD.FD题是采

7、用正推和逆推“两头凑”的办法求得m的值，从而准确写出符合题意二次函数y2的解其中正确的结论是（填序号）.OBABOeqoac(,)DCO.C3.如图，已知ABC和线段EF，EFBC；若以EF为一边在平面内求作一点D,连接DE、DF后使DEFABC；40有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的析式.追踪练习：1.五条线段的长度分别为：2,4,5,6,7，用其中三条线段组成三角形，写出能组成三角形的线段的数据至少3组：.ABO2.如图，已知ABCD,结合图请再添加一个条件，使之能判定DABCEFD则符合条件的点D在本平面内有处.（填数字）2A14.如图，已知12,结合图请再添加一个条件，使之能判定

8、BECABCeqoac(,)ADC.A10.在矩形ABCD中，AB5,BC12,点A在B中，如果D与B相交，且点B在D内，那么D的半径长可以等于.（只需写出一个符合要求的数）11.已知二元一次方程x2y7，写出两个该方程的正整数解：.12.写出一个有一个根为1的一元二次方程：.13.已知关于x一元二次方程ax2bx1a,b的值:a=,b=.14.已知关于x一元二次方程x25xc0有两个不相等的实数根,且两根之积为正数；若c是整数。则c=.15.已知不等式组122xx15.如图，Deqoac(,为)ABC的边AC上的一点，过点D画一条直线与DABC的另一边交于点E.使ABCeqoac(,)ADE

9、,这样的直线BC2x1x1，写出两个满足该不等式组的整数解；.可以画条.（填数字）AED16.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过一、二、四象限，写出一个满足该条件的一次6.如图，已知ABCD,点E为边AD上的任意一点，过点EG函数的解析式：.y数的解析式：.Ox8.如图，在O中：A.AB是O的直径；O2xm1x3，作对角线AC的平行线，交BC的延长线于F,交DC于点G;BCF请写出相似三角形两对：.AD7.如图，已知ABCD的对角线AC,BD交于点O;请结合图Oeqoac(,形在)ABCD基础上添加一个条件，使之能定四边形ABCD是BC菱形.CEB.AB弦CD;D.AB平分弦CD（弦CD

10、不是直径）；2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第3页（共34页）17.二次函数的图象的大致图象如图所示，请写出满足该图像一个可能的二次函18.一二次函数的图象过坐标原点。且在其对称轴的左侧图象的y随x的增大而增大；请写出一个满足条件的二次函数的解析式：.19.写出一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数y12当x3时，y随x的增大而减小.”成为随机事件.第4页（共34页）22.先化简代数式13m22m1m24，再从2m2中选一个恰当的整数作为m的20.已知点A2,1通过旋转可以得到点B1,2；请叙述一下旋转方式：.21.有下列三个多项式：A2m23mnn2;Bm2mn;C3

11、m23mn.请你从中选两个多项式进行加减运算并对结果进行因式分解.m2值代入求值.23.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是0,3，点B在x轴上，将AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF，点O,B的对应点分别是点E,F.若点B的坐标是4,0，请在图中画出AEF，并写出点E,F的坐标；.当点F在x轴上方，试写出符合条件的B的坐标.yA25.在ABC中，ABAC,BAC90o，CD、BE分别为ABC的中线，AFCD，AGBE,分别交CD、BE的延长线于点F、G，试问：.AF与AG相等吗？为什么？.当BAC90o时，其余条件不变，猜想AFAG(用“”,“=”或“”,“=”或“”填空)；.通过本题，你

12、可以得到结论：等腰三角形的顶点到两腰中线所在直线的距离.请以BAC90o时来证明此结论（见图）.AFGDEBC26.如图OAB为直角三角形，OAB90o,O60o,OB10,一动点P沿射线OA运动（不与O重合），连接BP，设APx，OPB的面积为y.当P运动到使PBOB时，求此时AP的值；.设中P点的位置为P点，当P点在点O与点P之间运动时（不与O,P重合）请你判断BOxOPB的形状（按角分类）变化的情况，并说明理由；.写出当OPB为锐角三角形时，y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.P(P)24.已知ABC纸片.如图甲，将ABC纸片折叠，使C落在三角形的内部，求证：ADCBEC2C;

13、.如图乙，将ABC纸片折叠，使C落在三角形的外部，中的结论还成立吗？若不成立，写出ADC、BEC、C之间的数量关系，并证明.AO60BAAC27.问题探究：CDDCCBEBE图甲图乙2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第5页（共34页）【提出问题】.如图1，在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN.求证：ABCACN【类比探究】.如图2，在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，中的结论ABCACN还成立吗？【拓展延伸】.如图3，在等腰三角形ABC中，BABC,点M是BC上

14、的任意一点（不含端点B、C），以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角AMNABC,连接CN.试探究ABC第6页（共34页）与ACN的数量关系，并说明理由.AANNAN30.分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个半圆、三个正方形、正三角形，其面积分别用S1,S2,S3表示。.请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明；.若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1,S2,S3表示，为使S1,S2,S3之间仍具有与(1)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结BMCBCMBM图1图2图3C论；.类比(1)、(2)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.S2CS

15、2CS2ABABS1，28.已知ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BMCN,直线BN与AM相交于Q点就下面给出的三种情况（如图、）先用量角器分别测量BQM的大小，然后猜测BQM等于多少度？并利用图证明你的结论NAAQAQNNQBMCBMCBCMCS3S3S3ABS1S131.如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分BAC交BC于点E,作EFAC于图图图F；写出图中与线段BE相等的线段，并选择一个加以证明.ADF给出以下三个条件：.ABAC;.DEAC;.DE与O相切.29.已知ABC，分别以AB,BC,CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE

16、、等边三角形.如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；.如图2，当ABCC中只有ACB60o时，请你证明SABC与SABD的和等于SBCE与SACF的和.DDAFAFBEC32.如图，在ABC中，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D,连结OD,A.请你从以上三个条件选取两个作为条件，另外一个作为结论，写出所有真命题；BCBC.选择中的一个真命题加以证明.OEEE图1图2BDC2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第7页（共34页）第8页（共34页）DcEbA.根据顶点坐标点为2,0，且经过点4,1，将抛物线11yxx11x244Ox1

17、，12y214Py=-1l点A的坐标为1,，点B的坐标为4,1;作出点B关于直线l对称点B,连接AB交4,3；设直线AB的解析式为ykxbk0，把A1,和B4,3代入烈成方程33.如图，AB是O的直径，CB,CE分别切O于点B,D，CE与BA的延长线交于点E，连结OC,OD.求证：OBCODC.已知DEa.AEb,BCc,请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算O半径r的一种方案：C.你选用的已知数是；.写出求解过程（结果用字母表示）aB34.如图，以等腰ABC的一腰AB为直径的O交BC于D，过D作DEAC于E.试证：DE是O的切线.问：.若点O在AB上向B移动，以O为圆心，以OB为半径的圆仍

18、交BC于D,DEAC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.3.如果ABAC5cm，sinA，那么圆心O在AB上什么位置时，O与AC相切？5AOEBDC35.如图1,AB是O的直径，AC是弦，直线EF和O相切于点C,ADEF于D.求证：DACBAC;.若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交O于G,C两点，若题中的其他条件不变，这时与DAC相等的角是哪一个？为什么?BBOOAA题目二.存在性问题典例注：存在性问题主要是与函数特别是二次函数相结合，类型很多。比如：函数中三角形的存在性问题就涉及直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等，函数中的特殊四边形的存在性问题涉及平行四边形、

19、矩形、菱形、正方形等，还有函数中面积最值、长度最值等等存在性问题；存在性问题大多要先假设存在，在假设的前提下进行推理论证，以获得问题的解决；由于篇幅有限，我在这里只略举其中几类例子进行解析，希望对同学们解答此类题有所帮助.例1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为2,0，且经过点4,1；如图，直线1yx与抛物线交于A,B两点，直线l为y1.4.求抛物线的解析式；.在l上是否存在一点P,使PAPB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由.y略解：BA设为顶点式后求得抛物线的解析式为：Oxlyx22，即yx2x1.y=-144y.联立直线AB和抛物线解析式得到：1BA解得：y

20、xx1y411B4直线l于点P,此时PAPB的值最小.根据轴对称的性质，结合B的坐标为4,1;和直线l:y1，可以求得B的坐标为14CDF组，可求得直线AB的解析式为y13当y1时，13EEGCDF图1图2412x3.4282812x31，解得;x13;P13,1.2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第9页（共34页）第10页（共34页）AC2BC2AB2,即AC2BC25225AACBC2ACBC25BCm526m25.点评：本题的问可视为“与距离最值相关存在性问题”，就本题而言主要是根据轴对称的性质，并结合“两点之间，线段最短”通过一次函数为桥梁使问题得以解决；还有一类距离最值

21、问题需要建立二次函数，并通过二次函数的最值解决存在性问题.利用数学建模建立二次函数来解决距离最值的存在性问题，本专题不再举例，另外有“最值”专题复习资料供同学们阅读.例2.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，.求S与x的函数关系式.如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？.能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不略解：.ACB90o2AC,BC的长是的方程x2m5x6m0的两个实数根.ACBCm5,ACBC62整理为：m22m0，解得：m2或

22、m0（不合题意，舍去）能，请说明理由.略解：.根据题意花圃的宽AB为x米，其宽为243x米，a当m2时，x27x120，解得：x13,x24BCACBC4,AC33x8x3不合题意，舍去.x5.由问可知：S3x224x3x448.AC,即DC.若DC与BC是对应边时，则有DC.若DC与AC是对应边时，则有DCAC4解得：DCBC,即34.（见图）则根据矩形的面积公式可得：ADS243xx3x224xB.由条件可知;3x224x45C整理的：x28x150，解得：x15,x23.0243x1014AB的长是5米.2a30.假设在段BC的延长线上是存在点D，使得以D,A,C为顶点的三角形与ABC相

23、似AC3BC43解得：DC4；（见图）ACDC39经检验：9当DC4时，BAD是等腰三角形；当DC时，BAD是直角三角形，BAD90o.49AADC4或DC均符合题意；44当x4。S的值最大，最大值为48平方米.故能围成面积比45平方米更大的花圃，最大面积为48平方米.9故存在符合题意得点D,DC4或DC.BCDBCD点评：本题的问可视为“与面积最值相关存在性问题”，就本题而言根据题意并结合矩形的面积公式建立二次函数解决问题.利用数学建模建立二次函数来解决面积最值的存在性问题，通常还与平面直角坐标系的直线和抛物线结合在一起，以坐标进行联结转换，再以几何图形面积来建立二次函数解决问题.本专题不再

24、举例，另外有“最值”专题复习资料供同学们阅读.例3.已知，如图，RtABC中，ACB90o,AB5,两直角边AC,BC的长是关于x的方程x2m5x6m0的两个实数根.求m的值及AC,BC的长（BCAC）；.在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D,A,C为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由.2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第11页（共34页）点评：本题的问可视为“与相似三角形相关的存在性问题”，就本题而言根据题意先假设存在，然后推理解答，最后验证.这类题还经常把问题放在函数中来探讨，常与函数图象上的点的坐标与相似三角形的比例线段相连接，以建立

25、方程来解决问题.例4.如图，抛物线yax2bxca0与直线yx1相交于点A1,0,B4,m两点，且抛物线经过点C5,0.求抛物线的解析式；.点P是抛物线上的一个动点（不与点A,点B重合），过点P作直线PDx轴于点D,交直线AB于点E.当PE2ED,求点P的坐标；.是否存在点P使BEC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请第12页（共34页）说明理由.略解：y.先把B4,m代入yx1求得m5；PBC245250226由EBEC,BEBC,CBCE可得：EB2EC2,BE2BC2,CB2CE2以此建立方把A1,0，B4,5，C5,0代入yax2bxca0B列成方程组解得：a1,b

26、4,c5;E程解决问题.点评：4x5，Ex,x1，Dx,0.故yx24x5.A.设Px,x2ODCx本题的问可视为“与等腰三角形相关的存在性问题”，就本题而言根据题意先假设存在，然后分类讨论，推理解答，本来“一线（中垂线）两圆”可以定出5个点，最后验证有一点和已知两点共线，故只有4种.这类题通常把问题放在函数中来探讨，常与函数图象上的点的坐标并结合两点间的距离公式表示出三角形的边，分类建立方程来解决问题.,P2413,4138,P3413,4138,P40,5.3119.P,9a3b30b22kb3解得第一种情况：若点P在抛物线AB之间：PEx24x5x1x23x4，而EDx1PE2EDx23

27、x42x1整理：x2x20解得：x12,x21.E2,3或E1,0，而E1,0与点A重合，故舍去.此时P2,9.第二种情况：若点P在抛物线A左侧PEx1x24x5x23x4，而EDx1PE2EDx23x42x1整理：x2x20解同上.第三种情况：若点P在抛物线B右侧PEx1x24x5x23x4，而EDx1PE2EDx23x42x1整理：x25x60解得：x16,x21.E6,7或E1,0，而E1,0与点A重合，故舍去.此时P6,7.416注：先假设存在的基础上，分为：EBEC,BEBC,CBCE三种情况进行讨论.结合点B4,5，Ex,x1，C5,0利用两点间的距离公式可得：BE2x42x152

28、2x216x32EC2x52x1022x28x262020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第13页（共34页）例5.（自贡中考）如图，抛物线yax2bx3过A1,0、B3,0，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为2，点Pm,n是线段AD上的动点.求直线AD及抛物线的解析式；.过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？.在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.略解：.抛物线yax2bx3过A1,0、B3,0ab30a1解得:所以yx22

29、x3点D的横坐标为2当x2时，y222234433D2,3设直线AD的解析式为ykxbA1,0、D2,3kb0k1所以yx1b1.点Pm,n，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q.点P和点Q的横坐标相等.当xm时代入yx1得：ym1；则点Pm,m1.当xm时代入yx22x3得：ym22m3.则点Qm,m22m3.PQm1m22m3即lm1m22m3第14页（共34页）a10当m15,ba3；是否存在整数别以PQ为边和对角线讨论）的R整点坐标情况有：R2,1、R2,5、R2,1m1m22m3时，lm1m22m3；整理lm2m21212时，l有最大值；即此时线段PQ最长.在平面内存在整点（横、纵

30、坐标都为整数）R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形.整点R坐标分别为：2,1、2,5、0,3、2,1.因为Pm,n是线段AD上的动点，计算出A1,0、D2,3，从而确定点P横纵坐标的变化范围进行整点坐标的分类讨论（根据解析式和点D的坐标，点P、Q也应为整点）.11.当P1,2时，Q11,4；以P、D、Q1作为定点，能使点R与它们构成平行四边（分别以PQ为边和对角线讨论）的R整点坐标情况有：R12,1、R22,5、R30,3（见分析示意图）.22.当P0,1时，Q10,3；以P、D、Q2作为定点，能使点R与它们构成平行四边（分456（见分析示意图）.注：当P点与A、D重合时，点Q点也

31、同时会相应的与A、D重合时，该四边形不存在.分别是ABC的A,B,C的对边，C90o,且cosB3m，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由.2.若抛物线yx212mx64m与x轴交于两点Ax1,0,Bx2,0（x1,x2,x10），2它的对称轴交于x轴于点Nx3,0；若A,B两点距离不大于6.求m的取值范围；.当AB5,求抛物线的解析式；.试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点0,1或过点B和点N能作圆与y轴切于点0,1;若存在,找出满足条件的m的值。若不存在，试说明理由.综上所述，满足条件的整点

32、R的坐标有2,1、2,5、0,3、2,1.yyyOxBOAxR1R4P2CR2R5点评：原图4，求经过P、C、A三点的抛物线的函数解析的坐标；如果不存在,请说明理由.yBAxBAOR6P1PDR3DQ2DQQ1图图本题的问可视为“与特殊四边形相关的存在性问题”，也是要先假设存在，抓住以P、Q、D、R为顶点的四边形顶点有3个动点，也是本问的难点所在，结合解析式和其中一个顶点是定点且为整点，把动点中的P、Q也视为“定点”，在此基础上讨论就比较容易破题了.也是要以点的坐标并结合两点间的距离公式来计算出四边形的对边或对角线，然后抓住两组对边相等，两对角线互相平分来判断.追踪练习：1.若关于x的一元二次

33、方程x23m1xm29m200有两个实数根，又已知a,b,c2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第15页（共34页）3.已知A8,0、B0,6、C0,2三点，连接AB,点P是线段AB上一动点，直线l经过点C和点P，交x轴于点E.当PBPC时，求点P的坐标；.设直线l与x轴所夹的锐角为，且tan5式；.在中的抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使PQQCC最短？如果存在，请求出点QBPOEAxC4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15,OA比OC大2,点E为BC的中点，以OE为直径的O交x轴于点D,过D作DFEA.交AE于点F.求OA、OC的长及点O的坐标；.求证：DF为O

34、的切线；第16页（共34页）yy“.小明在解答本题时，发现AOE是等腰三角形，由此他断定：直线BC上一定存在除点E外的点Peqoac(,使)AOP也是等腰三角形，且点P一定在O外”；你同意他的看法吗？请说明理由.yCEBOFODAx5.如图，点Am,6,Bn,1在反比例函数的图象上，ADx轴于点D,BCx轴于点7.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc过A,B,C三点，点A的坐标是3,0点C的坐标是0,3，动点P在抛物线上.b=，c=，点B的坐标为；（直接写结果）.是否存在点P,使得ACP是以边AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.过点动

35、点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF;当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.备用图OAD,DC5.求m,n的值并写出反比例函数的解析式；备用图.连接AB,在线段DC是否存在一点E,使ABE的面积等于5，若存在，求出点E的坐标；备用图B备用图xBOAx8.已知抛物线yax13a0的图象与y轴交于点A0,2，顶点为B.若不存在，请说明理由.yABODCx6.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”.两条抛物线C1：y3x26x1与C2：y2x2mxn的顶点相同是“友好抛物线”.求抛物线C2的解析式；.点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动

36、点，过点A作APx轴,P为垂足，求APOP的最大值；.设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为1,4，问在C2的对称轴上是否存在点Q，CC备用图2.试确定a的值，并写出点B的坐标；.若一次函数的图象经过A,B两点，试写出一次函数的解析式；.试在x轴上求一点P,使PAB的周长取最小值；.若将抛物线平移mm0个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O,C,D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由.yy33OOx使线段QB绕点Q顺时针旋转90得到线段QB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由yyx备用图2020中考专题复习

37、和训练：开放性存在性问题例析第17页（共34页）2211x21O12321O123112A2A3B3B备用图第18页（共34页）x4的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图，抛物线与x轴交于A1,0,B3,0两点，与y轴交于点C0,3点，点D为抛物线的顶点，过B,C作直线BC.求抛物线和直线BC的解析式；.若点P为直线BC上一动点.是否存在点P，使得PAD为等腰三角形；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.yD.若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时四边形MANB的面积S及点

38、M的坐标；.在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y17yyCMBy174MBy174ABOxAOxAOx10.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2m，点A,C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线yax2bxc经过点A和点B,且12a5c0.求抛物线的解析式；.如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B沿BC边以备用图巩固提升练习：1.在多项式4a2的括号内填上一个单项式，使多项式能用“平方差公式”因式分解.，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取1cm/秒的速度向点C移动,那么：.移动开始后第t秒

39、时，设SPQ2cm2x212.在分式的分母（括号内）填上一个与分子有公因式的的二次三项式.形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.2xbxc0有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的b,c值范围；.当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P,B,Q,R为顶点的四边形是平行四边yy3.已知二元一次方程2xy11，写出两个该方程的正整数解：.4.写出一个两根互为倒数的一元二次方程：.5.已知关于x一元二次方程12OCxOCx的值:b=,c=.6.已知直线m：ykxk0的图象在第一象限内在直线y2x的右下面，请写出一个满足此条件直线m的解析式：.8.若一个一次函数的图象直线ykxb

40、k0与x轴夹角的锐角为，且tan210.对于抛物线yx2x2，下列结论：RRAPBAPB备用图11.（自贡中考）如图，已知直线AB与抛物线C：yax22xc相交于A1,0和点B2,3两点.求抛物线C的函数表达式；2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第19页（共34页）7.写出一个图象经过二、三、四象限一次函数的解析式：.3，写出一个满足此条件的一次函数的解析式.9.已知下列函数：.yx2；.yx2；.yx122；其中图象通过平移可以得到函数yx22x3的图象有（填序号）.152.抛物线的开口向下；.对称轴为直线x1；.顶点坐标为1,3；.当x1时，y随x的增大而减小.其中，正确有（

41、填序号）.第20页（共34页）.点E为CDB的内心.直线的解析式.11.已知一抛物线与y交于正半轴，且在对称轴的右侧，y随x的增大而减少；请写出一个满足此条件的抛物线的解析式.yC.ADOC;.FCFE;FDE12.一抛物线的大致图象如图所示，写一个满足此图象特征的抛物Ox线解析式.其中，正确有（填序号）.22.如图，AB为O的直径，C、D分别为半径OA、OB的的中AOB.AFFEEB;13.一个三角形有两边分别为3和7，第三边为奇数；则此三角形的周长为.y点，CFAB,DEAB；下列结论：.CFDE;FE14.如图，点A的坐标为1,1，点P为坐标轴上的动点；当OPA为等腰三角形时，则点P的坐

42、标为.OAx.AE2CF;ACODB.四边形CDEF为正方形.其中，正确有（填序号）.15.已知直线y2x上有一点A1,m，点P为坐标轴上的动点；当OPA为直角三角形，则点P的坐标为.16.在平面直角坐标系中，已知直线y2x，写出将直线y2x绕着坐标原点钻转90所得到的直线的解析式.ANDM17.如图，正方形ABCD的边长是2，BECE,MN1,线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM=eqoac(,时，)ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.BEC23.半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，则两条平行弦之间距离是；24.ABC是O的内接三角形，ABAC,BC16cm,点

43、O到BC的距离为6cm,则ABC的面积是；25.若O为ABC的外心，Cno，用no表示AOB为.26.OA,OB是O的半径，且互相垂直，延长OB到C，使BCOB,CD是O的切线，D为切点，则OAD的度数为.27.在a22abb2的“”内任意添上“+”或“-”符号后,写出一个其中代数式能够构成完全平方分解因式的；若将前面式子变式后“a22abb2”改为“a22abb2”后，在“”A18.如图，已知四边形ABCD,连接对角线AC,AEBD于点E,FD内任意添上“+”或“-”符号后，写出所有代数式能够构成完全平方来分解因式的.a22aCFBD于点F,AECF;请你添加一个条件，能证明知四边E形ABC

44、D是平行四边形.添加的条件是.BCA19.如图，在ABC中，EFeqoac(,为)ABC的中位线，D为BC边上EF一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连结DE、DF，O的要使四边形AEDF为平行四边形，则需要添加条件BDC（只需添加一个条件）28.已知3a1，请先化简a24值代入求值.a24a4a22a，再从3a1中选择一个合适的整数a20.如图，将等边ABC绕点C顺时针旋转120得到EDC,连接AD、BD，则下列结论：.ACAD;AD.BDAC;.四边形ACED是菱形.29.某校九年级两个班各为一遭受自然灾害的灾区捐款1800元.已知二班比一班人均捐款多4元，二班的人数比一班的人数少

45、10%.请你根据上述信息，就这两个班级“人数”或“人均捐款”提出一种用分式方程解决的问题，并写出解题过程.其中，正确有（填序号）.BCE21.如图，已知AB为O的直径，CD,CB为O的切线，D,B为切点，OC交O于点E,AE的延长线交BC于点F,连接AD,BD，给出以下结论：2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第21页（共34页）第22页（共34页）图图C剩下的正方形面积是原正方形面积的5.当BAC为多少度时，四边形FADE为矩形？EAHDAFD30.在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,3，点B在x轴上，将AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF,点O,B的对应点分别是点E,F.若点B

46、的坐标是4,0，请在图中画出AEF，并写出点E,F的坐标；.当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标.yABOx31.如图，在RtABC中，C90o,AB5cm,AC3cm；动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动；设运动时间为t秒.求BC边的长；.当ABP为直角三角形时，求t的值；.当ABP为等腰三角形时，求t的值.AAABPCBCBC备用图1备用图232.以ABC的三边在BC的同侧做等边EBC、等边FBA、等边DAC.判断四边形FADE的形状？F.当BAC为多少度时，四边形FADE不存在？A.当ABC满足什么条件时，四边形FADE为菱形？33.用剪刀将形如图所示的矩形

47、纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD中点用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图中的RtBCE就是图裁剪的MCD逆时针旋转拼成的一个图形.用这两部分纸片除了可以拼成图中的RtBCE外，还可以拼成一些四边形请你试一试，把拼好的四边形分别画在两个虚框内.如图，若利用这两部分纸片拼成的RtBCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b恰好是关于x的方程x2(m1)xm10的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积EAMDAMBCB34.如图，若要把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得到一四边形EFGH,试问能否使剪出的四边形EFGH为正方

48、形，如果能，怎样剪，才能使剩下的图形为正方形，且AE9，请说明理由.（写出证明和计算过程.）DHFBGC35.在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形；李同学按照取两组对边中点的方法这出菱形EFGH（见方案1），张同学沿矩形对角线折出CAEDAC,ACFACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李同学和张同学折法中，那种菱形的面积大？EGBC2020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第23页（共34页）DBFCBEC方案一方案二第24页（共34页）36.在ABC中，ACB是锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE.连接

49、EC.问题发现：.如果ABAC,BAC90o,当点D在线段BC上时（不与点B重合）；如图1，请你判断线AA(D)AEFEFPPDBQ段CE,BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）；拓展探究：.如果ABAC,BAC90o,当点D在线段BC的延长线上时，如图2.请判断中的结论是否仍然成立；如成立，请证明你的结论；问题解决：BBQCC(E)DFFC图1图2图3.如图3，如果ABAC,BAC90o,当点D在线段BC上运动；试探究：当锐角ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C,E重合除外）；此时作DFAD交线段CE于点F，AC32，线段CF的最大值是.EE38.已知E,F分别是

50、正方形ABCD的边BC,CD上的点，AF,DE相交于点G.当E,F分别为边BC,CD上的中点时，有：.AFDE;.AFDE成立.试探究下列问题：.如图1,若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点,且CEDF,上述结论、是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明.）.如图2.若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上。且CEDE,此时，上述结论、AAEA是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.如图3，在的基础上，连接AF和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论.AD

51、ADADFBDCBCDBDC图1图2图3QGGMFGPBECEBCEBEA2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由.EAn时，EP与EQ满足的数量关系是什么？37.如图，一副直角三角板满足ABBC,ACDE,ABCDEF90o,EDF30o.操作1将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC上的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q;在旋转过程中，如图2，CEEA1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.操作2在旋转过程中，如图3，CE总结操作根据你以上的探究结果，试写出当CE其中m的取值范围是什么？2020中考专题复习和训练：开放

52、性存在性问题例析第25页（共34页）CFNF图1图2图339.如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DGAD,动点M从A点出发，以1个单位的速度沿着ACG的路线向G点匀速运动（M不与A,G重合）；设运动时间为x秒，连接BM并延长AG于点G.是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；.当点N在AD边上时，若BNHN交CDG的平分线于点H;求证;BNHN;.过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别E,F,矩形AEMF与ACG重叠部分的面积为第26页（共34页）S，求S的最大值.BC（提示：本问可先利用x12x2212和勾股定理转换成一个

53、含a,c的等式，然后用解方程的思想先探出a,c之间的关系）EHMAFNDG40.已知：MAN30o,O为边AN上的一点，以O为圆心，2为半径作O，交AN于D、E两点，设ADx.如图，当x取何值时，O与AM相切？.如图，当x取何值时，O与AM相交于B、C两点，且BOC90o.已知n为大于1的自然数，设二次函数的顶点为C,连接AC,BC,点A1,A2,，An1；把AC分成n等分，过各分点作x轴的平行线，分别交BC于点B1,B2,，Bn1；求线段A1B1,A2B2,，An1Bn1的和.（可用含n的式子表示）（根据题意可画出草图）343.如图，已知抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，且与x轴相交于点

54、A,B两点（B2点在A点的右侧），与y轴交于C点.MCM.求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；.若点P是抛物线上B,C两点之间的一个格点（不与B,C重合），则是否存在一点P，使ABDOENADOENPBC的面积最大，若存在，求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由.若M是抛物线上的任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N;当MN3，求M点的横坐标.yPCO3Dx41.如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90o，点C是AB上的一个动点（不与A、B重合），ODBC、OEAC，垂足分别为D、E.当BC1时，求线段OD的长；.在DOE中是否存在保持不变的边（角）？如果存在，请指出并求出其长

55、度（角度）如果AB44.如图，抛物线yax1x3a0与x轴相交于点A,B两点，抛物线上另一点C在x不存在，请说明理由.BD轴的下方，且使OCAOBC.求线段OC的长度；.设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点，求直线BM和抛物线的解析式；C.在问条件下，直线BC的下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大？EOA42.已知：关于x的二次函数ycax222bxca，其中a,b,c为一三角形的三边。且若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.yy.如果Ax,0,Bx,0是上述图象和x轴的两个交点，且满足x2x212，求a:b:c；OAOAMCPMC90o.求证：二次函数的图

56、象与x轴必有两个不同的交点；12122020中考专题复习和训练：开放性存在性问题例析第27页（共34页）第28页（共34页）BxBxCP备用图45.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc，与x轴交于A1,0,B3,0两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.求抛物线的解析式和直线AC的解析式；.请在y轴上找一点M,使BDM的周长最小，求出点M的坐标；.试探究：在抛物线上是否存在一点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标？若不存在，请说明理由.yyCC47.抛物线yax2bx3交x轴于点A1,0和点B3,0.求该抛物线的函数解析

57、式；.如图，改抛物线与y轴交于C,顶点为F,点D2,3在该抛物线上.求四边形ACFD的面积；（.点P是线段AB上的动点，点P不与A,B重合），过点P作PQx轴，交该抛物线于点Q,连接AQ,DQ;当AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标（选做）.yyFCDQABxABxOOAOBxAOPBx备用图46.已知抛物线yx2bxc与y轴交于A0,3，与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x1.求此抛物线的解析式以及点B的坐标；.动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动；当N点到达A点时，M,N同时停止运动；过动点

58、M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P,设运动时间为t秒.当t为何值时，四边形OMPN为矩形；.当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.yyPPAA图图48.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1，且抛物线经过A1,0,C0,3两点，与x轴交于点B.若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC所在直线的解析式；.抛物线的对称轴x1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；.在抛物线的对称轴x1上的是否存在点Neqoac(,，使)BNC为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点P的坐标？若不存在，请说明理由.在抛物线的对称轴x1上的是否存在点Peqoac(,，使)BPC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点P的坐标？若不存在，请说明理由.x=-1yx=-1yNQNQxBOABOAxMBxOMOBxx=1x