(数学)讲导数应用技术

1、第三讲导数的应用（解答）一内容提要1、三个微分中值定理：罗尔定理（用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）；拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示）。2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。3、极值、最值：极值的定义，求法（先求驻点及不可导点，再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式，根的唯性）；最值的求法与应用题。4、曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同给法）。5、泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法）及应用（证不等式；求极限等

2、）。6、函数作图与曲线的渐近线的求法。水平渐近线：铅垂渐近线：斜渐近线：则是水平渐近线。，则是铅垂渐近线。，则是斜渐近线。考试要求：中*理解罗尔（Rolle）定理拉格朗日(Lagrange)值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用*会用洛必达法则求极限*掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用*会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线*会描述简单函数的图形二常考知识点1、洛必达法则求极限2、利用导数确定函数的性质（单调性、极值

3、、凹凸性、拐点等），函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。3、求曲线的渐近线（水平、铅垂、斜渐近线）。4、利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。1/175、利用微分中值定理，证明函数属性。6、证明函数不等式（常数不等式也可转化为函数不等式证明）。三例题1与中值定理的相关题目例1设在上二阶可导，。证明（1）存在，使得。（2）存在，使得。证明不妨设有零点定理存在，则一定存在一定存在（2）在上使用ROLLE定理存在使得在上使用ROLLE定理存在使得例2设在0，1上可微，。证明存在，使得证明由，由积分中值定理令在即上满足ROLLE定理的条件，存在使得2/17例3在0，1上连续，在（0，1）内可导

4、，试证（1）存在，使得。（2）对任意的存在使得证明（1）令得。在上满足零点定理的条件，存在使即（2）令在上满足rolle定理的条件，存在例4使得即在0，1上连续，在（0，1）内可导，试证（1）存在，使得。（2）存在两个不同的，使得。证明（1）令得在上满足零点定理的条件，存在使即。（2）对函数得在上使用拉格朗日定理存在使所以例A设在（-1，1）内具有二阶连续导数，且3/17，试证：（1）（-1，1）内的任意，存在唯一的使得成立。（2）。证明因为在（-1，1）内具有二阶连续导数，所以有拉格朗日中值定理如果存在那么即所以（-1，1）内的任意成立。（2）有泰勒公式即有：与矛盾，存在唯一的使得介于0和之

5、间即从而即例B在上连续，在内可导，且。若存（1；在，证明：）在内（2）在内存在，使。证明（1）若存在，由于4/17（2）；令值定理的条件，故内存在，使得，则在上满足柯西中即2不等式的证明（结合单调性，极值等）例C证明证明令时，。即从而时，。例6：证明证明（1）令则时，（1）；（2）。5/17即时，；（2）令即从而即则例7.：证明时，。证明令在上满足拉格朗日中值定理，即有（其中即）当时，3、洛必达法则。例5：已知当求和解时，函数与为等价无穷小，所以。6/1719：已知当(A)(C)时，函数与是等价无穷小，则(B)(D)解例D求极限解因为所以原式=。法二：用泰勒公式，因为当时，所以原式7/17=例

6、E求极限解原式=例20：求极限解原式=其中原式=4、讨论方程根的存在情况（结合单调性，极值等）例F问方程解令有几个实根？的定义域为令得驻点故在处取得极大值8/17（1）时方程有2个实根（2）时方程有1个实根（3）时方程没有实根。例8.证明方程解令恰有两个实根。00极小值极大值，所以方程例9、给出方程解令恰有两个实根。，就的不同取值，讨论方程根的个数。的定义域为9/17令所以且时方程得驻点只有一个实根故在处取得极小值（1）时方程有2个实根（2）时方程有1个实根（3）时方程没有实根综上所述：（1）时方程有2个实根（2）（3）（4）时方程时方程时方程有1个实根没有实根只有一个实根5.单调性、曲线凹凸

7、性及拐点、函数的极值与最值例10.已知函数在其定义域内为单调的，求的取值范围。解函数在其定义域内为单调的，则10/17例11.设函数由确定，求曲线上凸的的取值范围。解，曲线上凸的，则x(t)3t230 x(t)t0 x(t)x(0)1所以x1例12：设函数yy(x)由方程ylnyxy0确定，试判断曲线yy(x)在点（1，1）附近的凹凸性。解对方程ylnyxy0求导，(lny1)y1y02(y)y(lny1)yy0y2(y)y(lny2)将2代入上式，得y(1)根据保号性曲线yy(x)在点（1，1）附近是凸的。1x1,y1,y(1)10.8例13求函数yxx在(0,)内的极值。解yexlnxxe

8、xe1xyexln(lnx1)0 xey0y0111所以函数yxx在x取得极小值()eee例：由不等式2x3可以得到x2-2ax+aO，则a的取值范围是（）A.a9/5B.a2C.Oa3D.a311/17例14f(x)二阶连续可导，f(0)0,limx0f(x)|x|1。则（）。Af(0)极大Bf(0)极小C(0,f(0)拐点D以上都不对。例15：设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)0。若g(x)=a是g(x)的极值，则0fg(x)在x取极大值的一个充分条件是（）0（A）f(a)0（B）f(a)0（C）f(a)0（D）f(a)02x)(fg(x)fg(x)g(x)(fg(x)fg(

9、x)(g(x)fg(x)g(xx0fg(x)2|(fg(x)a(0a)xf(a)g(f(a)g()06曲线的渐近线（特别是斜渐近线）1例16曲线y(2x1)ex的斜渐近线方程为（）。解limy1lim(2x1)exx0 x0 x0是一条铅直渐近线y2x11(2t)et2alimlimex2blim(yax)lim1xxxxxt0t所以有一条斜渐近线为y2x1例17：曲线y1ln(1ex),渐近线的条数为（）x（A）0（B）1（C）2（D）3解limyx0limy0 x0是一条铅直渐近线y0是一条水平渐近线xy1xln1(ex)xex(1ex)ln1(ex)alimlimlim1xxxx2x2x

10、(1ex)blim(yax)0 xyx是一条斜渐近线。12/178结合函数的图形例18设f(x)的图形为：abcde则在区间(,a),(e,)上单调递增；在(a,e)上单调递减；极大值f(a)；极小值f(e)；曲线的上凸区间（(,b),(c,d)）；上凹区间（(d,),(b,c)）。解xbf(x)f(x)0(,b)f(x)bxc,dxf(x)f(x)0(b,c)f(x)cxdf(x)f(x)0(,b)f(x)f(a)0f(x)xaf(x)0 xaf(x)0f(c)0f(x)(b,c)bxcf(x)0cxdf(x)cxdf(x)0bxdf(x)f(e)0f(x)xef(x)0 xef(x)0练习

11、：1.求函数y(x1)e2arctanx的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。1x21x2x0,x解解ye2narctxanx1arctxax1(1)xe213/171xyy(,1)1极大值(1,0)0极小值(0,)函数y(x1)e2的单调区间为(,1)(1,0)(0,)arctanx极大值为y(1)2e4，极小值为y(0)e2xbyx1arctanxalimlime2exxx(1t)elim(yax)limxt021arctantte2eyx1(1t)earctanxlime21blim(yax)limalimxxt0 xxxt1arctan2t12所以渐近线为yex2e;yx22.当a

12、取下列哪个值时，函数fx2x39x212xa恰有两个不同的零点.（A）2（B）4（C）6（D）8解fx6x218x126(x23x2)6(x2)(x1)xyyx而且limfx(,1)1极大值f15a,limfxx(1,2)2极小值f24a(2,)所以a4or5时，函数fx2x39x212xa恰有两个不同的零点.xx3.x(0,)，证明sin2。0(xtan(x(0,)x(x)21x12证明令(x)sin(00),()0 x22xxxxxxcossincos(tan)22222x2x22214/17(x),x(0,)(x)()0 xxx(0,)，有sin。24.证明eabe2时，ln2bln2a

13、4(ba)。e22证明令f(x)lnx在区间a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，即有f(b)f(a)ln2bln2a2ln(ba)1当eabe2时，ln1,12ln2e2e2所以当eabe2时，ln2bln2a24(ba)(ba)。e2e225.求函数y(x5)x3的单调区间，并求这个函数对应曲线的拐点。23x2(x5)5(x2)2解yx31(x5)x3333x33xy0,x2y不存在，x05514yx3(x2)x33915x5(x5)10 x2593x493x4y0,x522所以函数y(x5)x3的单调区间为(,0),(0,2),(2,)函数y(x5)x的对应曲线的拐点为(5,15(5)3)

14、.。25x,y025x,y02322226.f(x)在0，1上连续，在（0，1）内可导，且满足f(1)3e1x2f(x)dx。证明130存在(0,1)，使得f()2f()。15/17证明由f(1)3e1x2f(x)dx，根据积分中值定理有：存在0,使得13130f(1)e1令(x)e12x2f()f(x)在,1上连续，可导，(1)()有罗尔定理知存在(0,1)，使得f()2f()。7.就k的不同值讨论方程x2sinxk在(0,)内根的个数，并证明结论。2解f(x)x2sinxkf(0)kf()k2xf(x)1cos022xarccos20 xarccosf(x)02arccosxf(x)022

15、2所以f(arccos)arccos1kmin即（1）k0方程xsinxk在(0,)内没有根222（2）arccos1k0方程xsinxk在(0,)内有两个实根222（3）karccos1方程xsinxk在(0,)内只有一个实根222（4）karccos1方程xsinxk在(0,)内没有根228.f(x)在任意x处满足xf3x(f)21ex，若f(x)0，x00Af(x)极大值。B。f(x)极小值。00C(x,f(x)为拐点。D。均不对。000，则19.求极限lim(x0 x22cotx)解（1）原式=limx02sinxx2cos2x1cos2x(cos2x1)x2lim2x0 x2sinx2x42cosx12x22x43o(x5)；x2(cos2x1)2x22x4o(x5)16/172原式=lim3x0 x42x4o(x5)2x423（2）原式=limx02sinxx2cos2xsinxxcosxsinxxcosxlim2x0 x2sinxxx3=2lim