全等三角形典型例题

1、【典型例题】例1.（2008年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，ACDE，ACCE，ACDeqoac(,B)求证：ABCCDE分析：已知条件中具备ACCE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由ACDE得EACB，DACD，又因为ACDB，所以DB得到两个三角形全等的条件。解：ACDE，ACDD，BCAE又ACDB，BD在ABC和CDE中，ABCCDE评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导DACD，EACE解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。例2.（2008年浙江衢州）如图，ABCD（1）用直尺和圆规作C的平分线CP，C

2、P交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结eqoac(,AF)要使ACFAEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）分析：根据角平分线的作法，分三步得到C的平分线对于补充条件使ACFAEF，由于已具备公共边AFAF，ACFAEF，根据全等三角形判定方法和题目要求再补充一个角相等即可解：（1）作图略（2）AFCE，AFCAFB，CAFBAF（选一个即可）评析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，结合图形探索全等所需条件是解题关键例3.如图所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA

3、延长线上一点，AFeqoac(,AB)，已知ABEADF（eqoac(,1)）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使ABE变到ADF的位置（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论分析：根据平移、翻折、旋转的特点ABE经过旋转变到ADF的位置，因为平移后对应边平行，翻折后有一组对应边在同一直线上讨论BE与DF的关系要考虑它们之间的数量关系和位置关系，根据全等易得BEDF对应位置关系，需要延长BE交DF于G，观察证明DGB90解：（1）图中通过绕点A旋转eqoac(,90)，使ABE变到ADF的位置（2）延长BE交DF于G，ABEADF，BEDF，ABEADF又AEBDEG，DGBD

4、AB90BEDF评析：本题意在考查对平移、翻折、旋转的理解；合理猜想、探索、推理、论证能力也在考查之中例4.（2008年河南）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，ABAC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连接BQ、CP，则BQCP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQCP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQCP”仍然成立，请你就图给出证明分析：首先由旋转的特点得AQAP，又由QAPBAC，结合图形，利用角的差得QABPAC，又ABeqoac(,AC)，得

5、AQBAPC，从而BQCP而点P在ABC外部时，与点P在ABC内部时基本相同，只是在证QABPAC时利用角的和而不是差解：QAPBAC，QAPPABBACPAB，即QABPAC在QAB和PAC中，QABPAC，BQCP评析：分析已知条件，观察图形，培养“直觉”图形的意识，确认边、角之间的关系，尽快地找到解题的突破口例5.如图所示，已知ABC中，a5cm，b4cm，c3cm，B53，C37，请你从中选择适当的数据画一个三角形，使之与ABC全等，把你所能画的三角形全部画出来，不写画法，并在所画出的三角形中标出你选用到的数据，并说明符合条件的三角形可有多少种不同的画法？分析：利用SSS、AAS等方法

6、画三角形与已知ABC全等时，同学们不够熟练，为此不妨利用三角形内角和为180，从而可知A90，在具体画图时可先画出A90后仍选用SSS、AAS等方案画图为宜，即在所画出的图形中仍只标明B、C的度数即可解：要画出与ABC全等的三角形，可由题设中所给出的五个数据中任选三个得十种不同的画法，其中有四种画法不符合SAS、SSS、ASA、AAS，故有六种画法符合要求（1）利用“SSS”，即a5cm，b4cm，c3cm；（2）利用“SAS”，即a5cm，c3cm，B53；（3）利用“SAS”，即a5cm，b4cm，C37；（4）利用“AAS”，即c3cm，B53，C37；（5）利用“AAS”，即b4cm，

7、B53，C37；（6）利用“ASA”，即B53，a5cm，C37评析：当题目要求在所给条件中选择进行作图时，可利用分类的思想进行讨论来作，因此其作图具有开放性这就要求思考问题要周密，分类要准确，做到不重不漏【方法总结】1.在探索三角形全等方法的时候，利用了一个非常重要的数学思想，就是分类讨论思想在讨论问题时，我们常常用分类的方法，分类要有标准，标准不同，分类的结果也不同在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不丢，不漏，不交叉2.全等三角形的几种识别方法都是采用直观感知，操作确认的方式得到的，这是数学发现的一种重要方法，就是由特殊事例推出一般结论的方法，在学习中，同学们要体会这种方法的

8、运用3.转化思想是数学中常见的一种思想方法，解题时运用转化思想，可将未知问题转化为已知问题，化复杂为简单【模拟试题】（答题时间：45分钟）一.选择题1.下列条件，不能使两三角形全等的是（）A.两边一角对应相等B.两角及其中一角的对边对应相等C.三边对应相等D.两边及其夹角对应相等2.如图所示，已知OAOB，OCOD，AD、BC相交于E，则图中全等三角形有（）A.2对B.3对C.4对D.5对3.（2008年成都）如图，在ABC与DEF中，已有条件ABeqoac(,DE)，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是（）A.BE，BCEFB.BCEF，ACDFC.AD，BED.AD，B

9、CEF4.如图所示，ABAC，AEAD，则ABDACE；BOECOD；点O在BAC的平分线上以上结论（）A.都正确B.都不正确C.只有一个正确D.只有一个不正确5.如图所示，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A、B间的距离，可延长AO至点C，使COAO，延长BO至点D，使DOeqoac(,BO)，则CODAOB，从而通过测量CD就可得A、B间的距离，其全等的根据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.如图所示，ABC是不等边三角形，DEBC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ABC全等，这样的三角形最多可以作出（）A.2个B.4个C.6个D.8个二.填空题7.已知AB

10、CDEF，A52，B31，ED10，则F_，AB_eqoac(,E)8.如图所示，BDAC，CEAB，垂足分别为D、，若ABDACE，则B_，BAD_，ADB_，AB_，AD_，BD_，如果BEOCDO，那么BOE_，DO_9.已知ABCDEF，BCEF6eqoac(,cm)，ABC的面积是18cm2，则EF边上的高是_cm10.（2008年海南）已知在ABC和eqoac(,A)1B1C1中，ABA1B1，AAeqoac(,1)，要使ABCeqoac(,A)1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_11.如图所示，已知：ABC中，ACBC，ACB90，l是过C的任意一条直线，ADl于D，B

11、El于E，且AD2厘米，BE5厘米，那么线段DE_厘米12.如图所示，已知点C是AOB平分线上的点，点P、P分别在OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号：_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC三.解答题13.（2008年济南）已知：如图，ABDE，ACDF，BECF求证：ABDE14.（2008年北京）已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧ABED，ABCE，BCED求证：ACCD15.已知：如图所示，D、A、E在一条直线上，ADCAEB，BAC40，D45求：（1）B的度数；（2）BMC的度数16.如图，若点C是A

12、B的中点，CDBE且CDBE，则D与E相等吗？小华的思考过程如下：CDBE1BACCB，1B，CDeqoac(,BE)ACDCBEACDCBEDE你能说明每一步的理由吗？17.如图所示，AD和BC相交于点O，BEAD，DFBC，BEDF，ABCCDA，那么ABCD吗？说明理由四.应用与探究题18.如图所示，小冰想测量一下他手中举起的等腰直角三角板的斜边BC是否水平，于是他采用如下行动，从BC的中点D处悬挂一物体，若自然下垂后刚好垂直通过A，则说明：（1）ADBC；（2）BC处于水平位置，请解释其中的几何道理19.在一次战役中，如图所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望为炸掉它需知我军阵地与碉堡的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他转过一个角度，保持刚才姿态，这时视线落在自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离（1）按这个战士的方法，找出教室或操场与你距离相等的两点，并通过测量加以验证（2）你能解释其中的道理吗？【试题答案】一.选择题1.A2.C3.D4.A