九年级数学培优教程整理篇(全)

1、 第1讲二次根式的性质和运算考点方法破译. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典考题赏板【例1】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. Ja2 1Bj C.而 D.历【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子.B中含分母，C、D含开方数4、9,故选A.【变式题组】 TOC o 1-5 h z .（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 1WB. 8C6D. 2Ja2 b2

2、 ；Jx ；Jx2 xy ；J27 abe ,最简二次根式是（）A.，B.，C.， D,，【例2】（黔东南）方程4x 8 JX_y_m 0 ,当y0时，m的取值范围是（）A. 0m 2C. mv 2D. m0,故选 C.【变式题组】.（宁波）若实数x、y满足Jx 2 （y 向 。，则xy的值是. TOC o 1-5 h z .（荆门）若jx_7（xy）2,则 xy 的值为（）A. - 1B.1C.2D. 3 x 3 ,、， 一.（鄂州）使代数式 ”上 有意义的x的取值范围是（）x 4A. x3B. x3C. x4D. x3 且 xw4.（怀化）a 2 Vb-3 （e 4）2 0,则 abc=.

3、例3 下列二次根式中，与 J24是同类二次根式的是（）A,而 B,而 C. V48D. 754【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一D.1. A. 而 3近, B. 屈 不能化简；C.J48 4J3; D. 后 3J6,而J24 2，6 .故本题应选【变式题组】.如果最简二次根式 J3a8与J17 2a是同类二次根式，则 a=. TOC o 1-5 h z .在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. J3和 J18B 君和 g C- J02b和 JOb2D. Ja1 和Ja1.已知最简二次根式b 病和J2ba 2是同类二次卞式，则a=

4、,b =【例4】下列计算正确的是（）a.而 6 72b. 78 72 4c. 727 3石d.（1 72）（1 72） 1ab【解法指导】正确运用二次根式的性质（jo）2而 7b(a0,b0)；b(b 0,a 0)a(a0)； Va2a进行化简计算,并能运用乘法公式进行计算a(a0)0(a 0); a(ab0, a+b=6 jab ,则 罩一b的值为( a . b日 B 2 c.Q D I【例5】已知xy0,化简二次根式xjT的正确结果为（A. 6 B. yl-yC.”【解法指导】先要判断出y0知x0, b0,且“（石 亚）3/（而 5jb），求2a 3b 回的值. a b . ab演练巩固反

5、馈提高 TOC o 1-5 h z 01 .若m 闻 4 ,则估计m的值所在的范围是（）A. 1 v mv 2 B. 2 m 3C. 3vmv4D. 4vmv502.（绵阳）已知 J2 n是正整数,则实数 n的最大值为（）A. 12 B. 11C. 8D. 303.（黄石）下列根式中，不是,最简二次根式的是（）a. b. 73c噌D. 7204.（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A. .2B. 6C. .8 D. . 1005.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.疝B. Jx2 3 C.虐D. Vab06.（常德）设a=20, b=（-3）2, c 芋, d （1） 1,则a、

6、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（）A. c avdvb B. bvdvavcC. a cvdvbD. bvcv avd07.（十堰）下列运算正确的是（）A.而也石B.6V2 而C.（也 1）2 3 1D. 552 32 5 308.如果把式子（1 a）J e根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A.1aB. Va_1C.品1D.41 a09.（徐州）如果式子 J（x 1）2 |x 2化简的Z果为2x3,则x的取值范围是（）A. x2C. 1x010.（怀化）函数y x 中自变量的取值范围是（湘西）对于任意不相等的两个数a, b,定义一种运算 a X b =、3 275 .那么 12

7、X4 =12.（荆州）先化简，再求值:a2 1a2 2a 1a3a13.（广州）先化简，再求值:(a , 3)( aa(a 6),其中 a培优升级奥赛检测01.（凉山州）已知一个正数的平方根是3x 2 和5x+6,则这个数是02.已知a、b是正整数，且满足 2（15a5 a1b5）是整数，则这样的有序数对（a, b）共有03.（全国竞赛）322a a a 2-3 a a04.（全国竞赛）1=，a是x的小数部分，b是x的小数部，则a3+ b3+ 3ab=.2 105.（重庆竞赛）已知x2 2 x2 25x 4 4 5x2 ,则 x2+ y2=06.（全国竞赛）已知a 2,276, a 展 2,那

8、么a、b、c的大小关系是（）a b v cB.b a cC. c b aD . c a b07.（武汉联赛）已知y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（.6 3B.C.而3D.08.（全国竞赛）已知非零实数a、b满足2a7(a 3)b2 4 2a,则 a+b 等于(B.C.D. 209.（全国竞赛）1712J2等于（5 4.2B.4.2 1C. 5D.10.已知2 , xy0(x0,y0),则3x xy5x 3X xy 4y的值为（）1B.一2C.D.11.已知4 .b-23/c3 c 5 ,求 a+ b+ c 的值.212.已知9 63与9 43的小数部分分别是 a和b,求ab-3a+ 4

9、b+8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点方法破译 TOC o 1-5 h z .会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.【例1】（河北竞赛）已知 JX 1=、又经典考题赏板 2 ,那么1 2 x / 2 x 的值等于 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document x3x 1 ，x9x 1【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用“m11 HYPERLINK l bookmark122 o Current Document 解：两边平

10、方得， x - 2 4, x - 2 xx HYPERLINK l bookmark124 o Current Document x2 9x 1 11x, 原式=、区上正 :511511,两边同乘以x 得，x21 -、,x 一表布或化简变形.21 2x , x 3x 1【变式题组】4 (0 a0, b0,且 ja（ja 4而）3而（J? 2而），求2a 3b 岸b 的值. a b . ab例3 （四川）已知:_1_a -= (0a1）,求代数式x2 x 6x 3x2 2xxx工.a【解法指导】x-2x2-4 x为整体，把1 一 人:平方,移项用含a的代数式表示x-2, x2-4x,注意0v a

11、v 1的制约.解：平方得,x2 4x1 -a 2 ) . x 2 a a4 2, a4x 4 a22,，化简原式=(x 3)(x 2) x(x 2) gx2x24x4x(a1)2 aa)a2 2(-a)a【变式题组】4.（武汉）已知,2 1求代数式2x 45(x 2x 2)的值.5.（五羊杯竞赛）已知 m 1 72, n 1 衣，且(7m2 14ma)(3n2 6n 7) 8 ,则a的值等于(A. 5B. 5C. 9D. 9【例4】（全国竞赛）如图，点A、C都在函数y3 3 ,一(xx0）的图像上，点B、D都在x轴上，且使得 OAB、 BCD都是等边三角形，则点 D的坐标为 .【解法指导】解：

12、如图，分别过点 A、C作x轴的垂线，垂足分别为 E、F.设OE=a , BF=b,则 AE=/3a, CF=V3b,所以，点A、（2a+b，73b）,所以石a,解得、.3b（2a b） 3.3.3J6、. 3因此，点D的坐标为（2j6,0）【变式题组】6.（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题C的坐标为（a,在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如2一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:行 丫373 1535,3,3,333.3 1（一）.6（二）3 1,3 1、,3 1V3 1 ；（三） 2以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简:3 13 1.3 2 13131,31（1）请你

13、用不同的方法化简近卜3 1/1；3 125/（四）参照（三）试得:参照（四）试得:11（2）化简：1,3 1,5,3 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 2_.5. 3 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 11;（要有简化过程）;（要有简化过程）1,2n 1【例5】（五羊杯竞赛）设a、b、c、d为正实数，ab,c d,bo ad,有一个三角形的三边长分别为7a2c2,.b2 d2 , （b a）2 （d c）2 ,求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积（为什么？），Ja2

14、c2的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的本式计算转化为几何问题加以解决解：如图，作长方形 ABCD,使AB=b-a, AD=c,延长DA至E,使DE=d,延长DC至F,使DF = b,连 结 EF、 FB、 EB ,贝U BF = Va2 c2 , EF = Vb2 d2 ,b -E BE= ba)2(dc)2 ,从而知 BEF 就是题设的三角形，而字bef=S长方形 abcd + Smcf + $ abe字def = (b- a) c+ _ (d - c)( b a) 一211,、一 bd= - (bc- ad)【变式题组】7.（北京竞赛）已知a、b均为正

15、数，且a+b=2,求,b2 1演练巩固反馈提高,2,那么代数式2X2X2y-值为2y02 .设 a 1,则 3a312a26a12 =(A.24B. 25C.4.7 10D. 4 1203.（天津）计算（.3 1）200120002( .3 1)2( 3i)1999200104.（北京竞赛）若有理数X、y、z满足或1.9Jz 2 - (x y z),则(x yz)05.（北京竞赛）正数m、n 满足 m 4jmn4而4n 3 0,则加斯8、m 2、n 200206.（河南竞赛）若 x .3则 x3(2（1 2j3）x网5的值是（）A.B. 4C. 6D. 807.已知实数a满足2000,a 20

16、01a ,那么a 20002的值是（）A. 1999B. 2000C. 2001D. 200208.设 a J1003 廊7,.1001.999c 2J1000 ,则a、b、c之间的大小关系是（A. a b cC. c a0)的图象上，P1OA1,P2A1A2, P3A2A3, PnAn-1 An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在x轴上.求Pl的坐标；求 yi+y2+y3+yi0的值.第4讲根的判别式及根与系数的关系考点方法破译.掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；.理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值经典考题赏

17、板【例1】（成都）若关于x的一元二次方程 错误！未找到引用源。有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k-1B.错误！未找到引用源。C.k1D.错误！未找到引用源。【解法指导】由题意得错误！未找到引用源。k h 0,选 a【变式题组】）C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。.（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（A.错误!未找到引用源。B.错误！未找到引用源。 TOC o 1-5 h z .（潍坊）关于x的方程错误！未找到引用源。 有实数根，则整数 a的最大值是（）A. 6B.7C.8D.9【例2】（荆州）关于x的方程错误！未找到引用源。只有一解（相同解算一解），则a的

18、值为（）A. a=0B.a=2C.a=1D.a=0 或 a=2【解法指导】 本题考查方程的有关知识，关于x的方程错误！未找到引用源。只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时a=0;该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，错误！未找到引用源。，解得a=2.故选D.错误！未找到引用源。【变式题组】.（成都）设错误！未找到引用源。是一元二次方程 错误！未找到引用源。的两个实数根，则错误！未找到引用源。 的值为. （ 南通 ） 设 错误 ! 未找到引用源。 是一元二次方程错误 ! 未找到引用源。 的两个实数根， 则 错误 ! 未找到引用源。则 a=【例3】（包头）关于x的一元二次方程 错

19、误！未找到引用源。的两个实数根分别是 错误！未找到引用源。，且 错误 ! 未找到引用源。=7, 则 错误 ! 未找到引用源。 的值是（ ） TOC o 1-5 h z A 1B.12C.13D.25【 解法指导 】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足 错误 ！ 未找到引用源。.由题意知：错误 ！未找到引用源。又错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。,而当 m=5 时，原方程的判别式错误 ！ 未找到引用源。 ,此时方程无解， 错误 ！ 未找到引用源。 不合题意舍去.错误！未找到引用源。,故选C.【 变式题组 】 （潍坊）已知关于x 的一元二次方程错误 ！ 未

20、找到引用源。 的两个实数根是错误 ！ 未找到引用源。 ,则 k 的值是（）A 8B.-7C.6D.5 （鄂州）设错误！未找到引用源。是关于 x 的一元二次方程错误 ！未找到引用源。 的两实根，当 a 为何值时，错误 ！未找到引用源。 有最小值？最小值是多少？【例4】 （兰州）已知关于x的一元二次方程错误!未找到引用源。.如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；如果此方程的两个实数根为 错误 ！未找到引用源。,且满足错误 ！未找到引用源。 ,求 a 的值 .【解法指导】 解：（1）错误！未找到引用源。.方程有两个不相等的实数根，错误！未找到引用源。.（2）由题意得： 错误 ！ 未找到引

21、用源。错误 ！ 未找到引用源。【 变式题组 】 （绵阳 ） 已知关于 x 的一元二次方程x2 + 2 （ k 1） x + k2 1 = 0 有两个不相等的实数根（ 1）求实数 k 的取值范围； （ 2） 0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.【例5】 （中山）已知关于 x的方程错误！未找到引用源。.1）求证: 方程有两个不相等的实数根.2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解 .解法指导 】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把错误 ！ 未找到引用源。 化为完全平方加正常数的形(1)证明：因为 4Em 2)2 4(2m 1) = (m

22、 2)2 4所以无论m取何值时，A。，所以方程有两个不相等的实数根.(2)解：因为方程的两根互为相反数，所以Xi X2 0,根据方程的根与系数的关系得m 2 0,解得m 2,所以原方程可化为x2 5 0,解得Xi 、/，X2展【变式题组】.(中山)已知一元二次方程 错误！未找到引用源。.(1)若方程有两个实数根， 求m的值；(2)若方程的两个实数根为 错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。，求m的值.例6 设实数s,t分别满足 错误!未找到引用源。，并且st月,求错误!未找到引用源。的值.【解法指导】本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次

23、方程的两根，应用根与系数关系求值.解：swo,错误！未找到第一个等式可以变形为：错误！未找到引用源。，又stwi错误!未找到引用源。t是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有甘源。，即 st + 1 = 99s, t = 19s.错误！未找到引用源。演练巩固反馈提高01.(东营)若n (nwQ是关于x的方程错误！未找到引用源。的根，则m+n的值为A.1B.2C.-1D.-202.(株洲)定义：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)满足a b c 0 ,那么我们称这个方程为 “凤凰” 方程.已知ax2 bx c 0(a 0)是“凤凰”方程，且有两个相

24、等的实数根，则下列结论正确的是A. a cB. a bC. b cD. a b c03.(崇左)一元二次方程 错误！未找到引用源。 的一个根为-1 ,则另一个根为 .04.(贺州)已知关于x的二次方程x2 x m 0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围05.(上海)如果关于 x的方程x2 x k 0 ( k为常数)有两个相等的实数根，那么k1、06 .(泰安)关于x 的一元次方程22x (2k 1)x 2 k 0有实数根的取值范围07.(淄博)已知关于 x的方程x2 2(k 3)xk2 4k 1 0.(1)若这个方程有实数根，求(2)若这个方程有一个根为 1,k的取值范围;求k的值；上,0

25、9.(3)若以方程x2 2(k 3)x求满足条件的 m的最小值.08.已知关于x的二次方程(1)若方程有两个相等的实数根，求(2)若方程的两个实数根之积等于(孝感)已知关于 X的k2 4k 10的两个根为横坐标、 纵坐标的点恰在反比例函数错误!未找到引用源。m的值；错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的值.二次方程2(2 m 1)x m 0有两个实数根x1和x2.m -y 一的图象x(1)求实数m的取值范围;(2)当 xi22x20时，求m的值.10.(鄂州)关于x的方程kx2 (k 2)xk0有两个不相等的头数根4（1）求k的取值范围.（2）是否存在实数k,使方程的两个实数的倒数和等

26、于0*存在，求出k的值；若不存在，说明理由11.（北京）已知：关于 x的一元二次方程 mx2 （3m 2）x 2m 2 0（m 0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1 ,x2（其中x1x2） .若y是关于m的函数，且yx22x1,求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m的取值范围满足什么条件时，y w 2m.12.（淄博）已知 七发是方程x22x a0的两个实数根，且x1 2x2（1）求x, x2及a的值; TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark336 o Current Document

27、 32(2)求 x13x12x1 x2 的值.培优升级奥赛检测 HYPERLINK l bookmark269 o Current Document 2211.01.（全国联赛）设a2 1 3a, b2 1 3b,且a b,则代数式二的值为（）a bA 5.B7.C 9.D.11.02.（延边预赛）已知m是方程错误！未找到引用源。的一个根，则代数式错误！未找到引用源。的值等于（）A . 2016B.2017C.2018D.201903 .如果a、b都是质数，且 错误！未找到引用源。，那么错误！未找到引用源。 的值为（）A.错误!未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D错

28、误找到引用源。或204 （全国竞赛）已知实数错误 ! 未找到引用源。 ，且满足 错误 !未找到引用源。 的 值为（A 23B.-23C.-2D.-1305.（ 全国竞赛 ）设错误 ! 未找到引用源。 是关于 x 的方程 错误 ! 未找到引用源。 的两个实数根，则 错误 ! 未找到引 用源。 的最大值为 06已知 错误 ! 未找到引用源。 是方程 错误 ! 未找到引用源。 的两个实数根，则 错误 ! 未找到引用源。07.（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程错误!未找到引用源。的两个根记作错,则错误 !未找到引用源。 _08已知关于x 的方程： 错误!未找到引用源。.（1）

29、求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（ 2）若这个方程的两个实根为错误!未找到引用源。，满足 错误 !未找到引用源。,求 m 的值及相应的 错误 !未找到引用源。09 （全国竞赛） 设 m 是不小于 -1 的实数， 使得关于 x 的方程 错误 !未找到引用源。 有两个不相等的实数根错误 !未找到引用源。 ,（1）若错误 !未找到引用源。 ,求 m 的值；（ 2）求 错误 ! 未找到引用源。 的最大值 .第5讲一元二次方程的应用考点方法破译.能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；.会建立一元二次方程模型解实际应用题. 经典考题赏析【例1】（南平）有一人患了流感，经过两轮传染后共

30、有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人 数为（）A. 8 人 B. 9 人 C. 10 人 D. 11 人【解法指导】构建一元二次方程模型求解.设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为 x,患流感人数为x+1 ;第二轮被传染人数为 x（x+1）,所以1+x+x（x+1）=100 ,解得x=9.应选B.【变式题组】.（甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县 2010年4月份的房价平均每平方米为 3600元，比2008年同期的房价 平均每平方米上涨了 2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x,则关于x的方程为 . TOC o 1-5 h z .（襄樊）为了改善居民

31、住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到12. 1 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A. 9%B. 10% C. 11% D. 12%.（太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了 2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 .【例2】（黄石）三角形两边的长是 3和4,第三边的长是方程 x2 12x+35=0的根，则该三角形的周长为 （）A. 14 B. 12 C. 12或14 Do以上都不对【解法指导】方程x2 12x+35=0可化为（x - 7）（x 5）=0,解得x=7或x=5

32、 ,当x=7时，三边不能构成三角形,所以第三边的长只能取 5,该三角形的周长为 12.应选B.【变式题组】.（青海）方程x2 9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D.不能确定.（襄樊）如图，在平行四边形 ABCD中，AE上BC于E, AE=EB=EC=a ,且a是一元二次方程 x，2x 3=0的根,则平行四边形ABCD的周长是（）A、4 242B、12 6&C、2 2拒 D、12 6方或2 2显【例3】（莆田）已知。01和。02的半径分别是一元二次方程（x1）（x 2）=0的两根，且。1。2=2,则。01和。02的位

33、置关系是 .【解法指导】依题意，O Q和。Q的半径分别为1和2, lO1Q3, OO和。Q相交.【变式题组】.（兰州）两圆的圆心距为l,两圆的半径分别是方程x2 5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是（）A.外离 B.内切 C.相交D.外切.（江苏）某县2008年农民人均年收入为 7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元.设人均年收入的平均增长率为x,则可列方程.（庆阳）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部h-30m 分作为耕地.若耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为（）A、1 米 B、1. 5 米 C、2 米 D、2. 5米【例4】

34、（白银）在实数范围内定义运算“”，其法则为：ab=a2.（长沙）当m为何值时，关于z的一元二次方程 x24x+m 1 =0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多 - b2,求方程（43）x=24的解.【解法指导】解此类题要严格按照定义进行变换.解：. a b=a2 - b 2 -. （4 3） x=7 x=72-x 2. 72-x 2 =25. ，x=5.【变式题组】.（全国竞赛）对于实数u、v,定义一种运算”为: u Xv=uv+v,若关于x的方程x X （a Xx）= 一。有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 .【例5】（十堰）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）,用8

35、0m长的篱笆围一个矩形场地.（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 , （2）能否使所围矩形场地的面积为,，_8l0 m2 ,为什么？x）米.依题意，得【解法指导】解：（1）设所围矩形ABCM长AB为x米，则宽AD为-（80 x - - （80 一 x）=750，即 x 80 x+1500=0.解此方程，得 Xi=30, x2=50.墙的长度不超过 45m,X2=50不合题意，应舍去.当 x=30时，-（80 - x）= 1X（80 30）=25.所以，22当所围矩形长为 30m宽为25m时，能使矩形的面积为75002.（2）不能.因为由 x - 1 （80 一 x）=810,得 x2

36、80 x+1620=0.又b2-4ac=（ 80）2 4X 1 X 1620= - 800 .上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为810 m2.【变式题组】.（广东）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 ？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会 不会超过700台？巩固练习 反馈提高 ，1.（南通）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，

37、计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万 ？.(贵阳)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司 2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同。(1)该公司2006年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008年盈利多少万元？.(庆阳)某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元.从2006年到20

38、08年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：(1)该企业2007年盈利多少万元？(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？培优升级奥赛检测.(河南)已知X1、X2是关于x的一元二次方程 x26x+k=0的两个实数根，且 x12x22一x1一x2=115 .求k的值；(2)求x12+x22 +8的值.(临沂)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18. 59万元.(1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率；(2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少

39、万元？.(南宁)如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中 点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示横向甬道的面积为 平方米；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽.（厦门）某商店购进一种商品，单价 30元.试销中发现这种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售价 x（元）满足 关系：P=100-2x.若商店每天销售这种商品要获得 200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？.（庆阳）如图.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮

40、， 他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1米的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为 15米2的无盖长方体箱子， 且此长方体箱子的底面长比宽多 2米，现已知购买这 种铁皮每平方米需 20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱 ？.（益阳）如图， ABC 中，已知/ BAC=45 , AD，BC 于 D, BD=2 , DC=3 ,求 AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路。探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出 ABD、AACD的轴对称图形，D点的对称点为 E、F,延长EB、FC相交 于G点，证明四边形 A

41、EGF是正方形；（2）设AD=x ,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出 x的值.7.（全国竞赛）某校举行春季运动会时，能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人,就由若干个同学组成一个8列的长方形队列.如果原队列中增加120人，也能组成一个正方形队列.问原长方形队列有同学多少人第6讲一元二次方程的整数根考点方法破译.方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点内容，重点考查含参方程，一般要求参数的值；.基本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法， 经典考题赏析【例1(全国联赛)已知方程a2x2-(3a2-8a)x +2a2-13a +15 =0 (其中a是非负整数)，至少有

42、一个整数根，那么a=.【解法指导】本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用分解求根法.解：a=0时，贝U需2a2-13a +15 =0,矛盾.所以此时无整数解； aw0,分解得(ax +3 - 2a) (ax +5 -a) =0 .一八3,5 口 一八aw 0,解得 x1 2 , x2 1 .则a是3或5的约数，故a可取土 1, 3或 5.【变式题组】.(全国竞赛)已知关于 x的方程(a- 1)x2 +2x- a- 1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 个.(全国竞赛)设关于 x的二次方程(k2-6k +8) x2+ (2k2-6k-4) x+ k2 =4的两根都是整数，

43、求满足条件的所有实 数k的值.【例2】(全国竞赛)试确定一切有理数 r,使得关于石的方程rx2+(r+2)x+r -1 =0有且只有整数根.【解法指导】解：(1)若 r=0,本题需要分类讨论，分一次和二次两种情况.对于二次，可用消参法,一、-，x=1 ,原方程无整数根；t r 2/(2)当 rw0 时，X x2 1r 1xx 11 一，消去 r 得：4x1x2 2 x1 x2 1 7,得 r(2xi - 1) (2x2-1) =7,令 xi0,它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方 都是整数，因此它的判别式= (a+18)2 -224应该是一个完全平方数，设 (a+18)2- 2

44、24 =k2 (其整数),则(a +18)2 - k2= 224,即(a+18 +k) (a+18 -k) =224.显然 a+18 +k 与 a+18-k 的奇偶性相同,且a+18 + k 18,而 224 =112X 2 =56X4 =28 X8,所以a 18k112j a18k56,或a 18k2, a18k4,或 a 18 ka 18 k28,解得a8, k39,或 a55, k12,或 a26, k0,10,而a是正整数，所以只可能a 39,或 a 12,k 55, k 26.当a=39时，方程(l)即x2 +57x +56 =0 ,它的两根分别为1和56.此时原方程的三个根为1,

45、1, 56.当a= 12时，方程(1)即x2 +30 x +56 =0 ,它的两根分别为-2和-28.此时原方程的三个根为 1, 2, 28.【变式题组】c565.(全国联赛)设 a是正整数，二次函数 y=x2+(a+17)x+38 -a,反比例函数y=,如果两个函数图象的父点都是整x点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求a的值，【例5】（全国竞赛）关于 x, y的方程x2 +xy+2y2= 29的整数解（x, y）的组数为（）A.2组 B. 3组C.4组 D.无穷多组x2+xy+(2y2- 29)=0 .由于该方程有整数根，则判别式4 0,且是完全平方数.由 A =y2- 4 (2y2-29)

46、 = - 7y2 +1160,解得 y2w 116-16. 57.于【解法指导】本题可用判别式法.解：可将原方程视为关于算的二次方程，将其变形为2 y01491611610988534显然，只有y2=16时， =4是完全平方数，符合要求.当 y=4时，原方程为x2+4x +3 =0.此时xi = l, x2= 3;当 y= 4 时，原方程为 x2- 4x +3 =0 ,此时 x3 =1 , x4=3.所以，原方程的整数解为【变式题组】yi1, x,3, x21,x2 3,4；y2 4;y24; y24.x 2y 3a b6.（武汉）整数a使得关于x、y的方程组99对于每一个实数b总有实数解，求

47、整数 a的值.xy b2 2a2 3b 4演练巩固反馈提高.（全国竞赛）关于 x、y,的方程x2+y2= 208 （x-y）的所有正整数解为 .若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程x2-（m+2）x+4m =0的根，求m及三角形三边长.已知方程ax2-（a-3）x+a-2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值. 113a .（全国联赛）设 a是正整数，如果一次函数 y =2x2+（2a +23）x+10 - 7a和反比函数）y 的图象有公共整x点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共点.（全国竞赛）已知 p、q都是质数，且使得关于 x的二次方程x2-

48、（8p - l0q）x +5pq =0至少有一个正整数根，求所 有的质数对（p, q） .培优升级奥赛检测.（全国竞赛）已知 a、b都是正整数，试问关于 x的方程x2 - abx+1 （a +b）=0是否有两个整数解？如果有，请把它2们求出来；如果没有，请给出证明.(全国竞赛)(1)是否存在正整数 m、n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)设k (k3)是给定的正整数，是否存在正整数 m, n,使得 m (m+k) =n(n+1)?.(全国竞赛)如图所示，O 。的直径的长是关于 x的二次方程x2+2 (k-2) x十k=0 (k是整数)的最大整数根. P 是。外一点，过点 P作。的切线PA

49、和割线PBC,其中A为切点，点 B, C是直线PBC与。的交点.若 PA, PB, PC的长都是正整数，且 PB的长不是合数，求 PA2+ PB2+ PC2的值.(全国联赛)设整数 a、b、c (ab c)为三角形的三边长，满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.(全国联赛)已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过两点 P(l, a), Q(2, l0a).(1)如果a、b、c都是整数，且 cb8a,求a、b、c的值；(2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于石的方程 x2+ bx - c=0的两 个

50、根都是整数，求 ABC的面积.第7讲旋转和旋转变换（二）考点方法破译.掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转 中心所连线段所成的角都等于旋转角；2,会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；能利用旋转性质进行开放探究。经典考题赏板【例1】（咸宁）如图，在 RtABC中，AB=AC D E是斜边BC /DAE=45,将 ADC绕点A顺时针旋转 900后，得到 AFB,连 结论：CD AEg AEF； ABEs ACQ BE+DC=D E bE+dC=dE其中正确的是（）A. B. C. D. 【解法指导】本题解题可利用旋转的性质切入解：

51、由旋转性质知， /FAD=Z FBC=9C0,且 AF=AD -/ DAE=45, FAE=45,由 AF=AD Z FAE=Z DAE AE=AD 得AE、 AEF7,正确；由勾股定理得 BL+BEFU,将BF=DC FE=DER入彳导,bE+dC=dE正确；且知不正 确；若/ AFA / ADC则不正确，故本题选 B【变式题组】1.如图，在等腰 RtABC的斜边 AB上取两点 M N,使/ MCN=4$记AM=m,MN=x,BN=d,U以线段x、m n为边 长的三角形的形状是（）A .锐角三角形 B .直角三角形C.钝角三角形 D.随x、m、n的变化而改变第】题图例2图第2题图【例2 （孝

52、感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB=90, / B=90, AB=1,则 B1 点的坐标为（）011.AO暇 O点顺时针旋转 90 ,得 AOB。已知/A .33(2万)c. (2,1101.1113【解法指导】 根据旋转的性质得/ AOB=30 , OB=OB=v3 ,过B作BH垂直丫轴于H。可得BH=-,则B1点的坐标为（上3,3）,本题选A。2 2【变式题组】1.（）如图，将边长为 12008次，点P依次落在点 P1, 标为例3 （邵阳）如图将RtABC其中 / B=340, / C=9C0）绕那么旋转角最小等于（）的正三角形OAPgX轴正方向连续B, P3,P2008的位

53、置,则点 B008的翻转横坐按顺时针方向旋转到 ABC的位置，使得点 C、A, B在同一条直线上, 【解法指导】 可以选择/ BAB为旋转角，由三角形外角和定理得/ 【变式题组】BAB=340+90=1240,应选区3.（津州）如图， OA喊点O逆时针旋转800得到 OCD若/ A=110, / D=40则/ a的度数是（.（陕西）如图，/ AOB=90, / B=300在AB上，则旋转角a的大小可以是（）A . 300 B. 450 C. 600 D.900.（株洲）如图是“大西洋公约组织” AbB可以看作是由 AOB绕点。顺时针旋转a角度得至IJ的,标志的主体部分（平面图）若点A1它是由四

54、个完全相同的四边形 OABO成的,测彳导 AB=BC OA=OC OAL OC / ABC=36,贝U / OABt勺度数是（）ABC绕点A顺时针旋转900后，得到 ABC1,A . 1160B. 1170 C. 1180D, 1190【例4 （昆明）在 RtABC中，/ C=900, BC=4cm AC=3cm,把4如图所示，则点 B所走过的路径长为（A. 542cmB.5一 cm C.4）5-cm D. 5 cm2【解法指导】 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 15-25 HYPERLINK l bookmark267 o Current

55、Document 42【变式题组】占八、B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又 AB=5cm,所以路径长为应选C6.（丽水）把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MDM合，已知AB=AC=8cm将.cm2（结果精确到 ME畸点A （MD逆时针旋转600后如图（2）,两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是0.1,3 1.73).【例5】(南宁)已知ABJE平面坐标系中的位置如图所示。分别写出图中点 A和点C的坐标；画出 ABC绕点C按顺时针方向旋转 900后的 ABC1;求点A旋转到点A1所经过的路线长(结果保留 )【解法指导】解：(1) A (0, 4)、

56、C (3, 1) (2)图略AC=3j2,弧 AA190 3 2180【变式题组】1.(武汉)如图，已知 ABC的三个顶点分别为 A (-2, 3)、B (-6, 0)、C (-1。0)(1)请直接写出点 A关于Y轴对称的点的坐标；(2)将 ABC绕坐标原点O逆时针旋转90,画出图形，直接写出点B的对应点的坐标;(3)请直接写出：以 A、R C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。2.(齐齐哈尔)如图，在平面坐标系，(1)若将 ABC向右平移3个单位,ABC的顶点坐标为 A (-2, 3)、B (-3, 2)、C (-1, 1)。再向上平移 1个单位长度，请画出平移后的A1B1G(2)画出 A

57、BC绕原点旋转1800后得到的 ABC2； A1B1C1与4ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标： (4)顺次连结C C、C、C2所得到的图形是轴对称图形吗？的顶点坐标分P (0, 2)绕点 1800得点R, 则点P2010的坐【例6】(全国竞赛)如图在平面直角坐标系 xoy中，等腰梯形ABCD 别为 A (1, 1)、B (2, -1 ) , C (-2 , -1 )、D (-1 , 1), Y 轴上一点 A旋车专1800得到P1,点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转 点P3绕点D旋转1800得到P4,，重复操作依次得到 P1、P2、， 标是()A (2010, 2) B

58、、(2010, -2) C、(2012, -2) D. (0, 2)【解法指导】由已知可以得到，点P1、P2的坐标分别为(2,0),(2, -2),记P2(a2,b2),其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3(-4-a 2,-2-b2),P4(2+a 2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P 6(4+a2,b 2),令 P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标(4+a6,b2)即P10(4 X 2+a2,b 2),由于2010=4X 502+2,所以点 P2010的坐标为(2010,-2),本题应选B。【变式题组】.(东莞)如图，点 O是线段AD的中点，分别以

59、 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OA*口等边三 角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC,求/AEB的大小；(2)如图， OAB固定不动，保持OCD勺形状和大小不变，将4 OC璘点O旋转( OA*口OCM能重叠)，求/ AEB的大小。 .（衡阳）如图，圆心角都是 900的扇形 OABW扇形OCDft放在一起，连结 AC, BD （1）求证：AC=BD （2）32右图中阴影部分的面积TE - cm , OA=2cm求OC勺长。4演练巩固反馈提高01.（广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是（）1 一02.（黑龙江）如图，将4ABC沿DE折叠，使点A与B

60、C边上的中点F重合，下列结论中：EF/ AB且EF-AB ;21/ BAF=Z CAF; S 四边形 adf=，AF ?DE ；/ BDF+/ FEC=2Z BAC 正确的个数是（）2A . 1 B. 2 C. 3 D. 4R03.（扬州）如图， ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为 ABC内一点，将 ABP绕点A逆时针旋转后与 ABP重合，如果 AP=33那么线段PP1的长等于 .04.（达州）如图所示，边长为2的等边三角形木块， 沿水平线l滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为: （结果保留准确值）r8Th,第4题图第5题图05.（青岛）如图边长为 1的两个正方形互相重合，按住其中一