平面向量的数量积1

1、肀课 题蚈平面向量的数量积及运算律（ 1）莈课时安 排莂1螂主备人莇苏丽蒈审阅螃张庭伟膀个性化修订蒀知 识薇目 标膄1 平面向量的数量积及其几何意义；羂2平面向量数量积的重要性质及运算律；腿3 用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题；蚇4 向量垂直的条件薅能莀 力 目羈 标蚇1掌握平面向量的数量积及其几何意义；羆2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；肂3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题；羁4 掌握向量垂直的条件肃情 感袄目 标螀培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题蒄教

2、 学芁重 点薈平面向量的数量积定义羇羃教 学莇难 点肇平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用蒁教 学准 备莀多媒体蒂膃教 腿学 芆过 袃程薁袈芆芄莃羁莆蚅螁莈一、复习引入：膂 1 向量共线定理螀 2 平面向量基本定理：蒀 3 平面向量的坐标表示蒄袄 4 平面向量的坐标运算 蕿二、讲解新课：薀 1两个非零向量夹角的概念袅已知非零向量 与，作OA，OB ，则（ ）叫 与 的夹角莂说明：（1）当时， 与同向；薂（2）当时， 与反向；蚀（3）当 时， 与垂直，记 ；2芆（ 4）注意在两向量的夹角定义， 两向量必须是同起点的 范围 0 蒆肆蒃葿薆膂羀芇蚆180蝿 2平面向量数量积（内积

3、）的定义 ：已知两个非零向量 与，它 们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos 叫与的数量积，记作 a b，即有 ab = |a|b|cos ，蚇（ ） 并规定 0与任何向量的数量积为 0蒂 探究： 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别肀（ 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定薃衿（2）两个向量的数量积称为内积，写成 a b；今后要学到两个向量的外积 ab，而 a b是两个向量的数量的积， 书写时要严格区分 符号“ 蚂 在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替肈（3）在实数中，若a 0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中， 若a 0，且 ab=0

4、，不能推出 b=0 因为其中 cos 有可能为 04)已知实数 a、b、c(b 0)，则 ab=bc a=c 但是 ab = bc a = c羄学如右图：a b = |a|b|cos = |b|OA|，b c = |b|c|cos = |b|OA|罿 ab = bc 但 a c聿过袆莅程袂螈袅芅 (5)在实数中，有 (ab)c = a(b c)，但是(a b)c a(bc)显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与 a 共线的向 量，而一般 a 与 c 不共线袂 3投影”的概念 ：作图芀 袁 羅 羃 羂 薀 肅 莄 螄 荿 膅 螅 膁蚆定义： |b|cos 叫做向量 b在 a 方向上的投

5、影莄投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角 时投影为负值；当 为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为 |b|；当 = 180 时投影为 |b|蚁 4向量的数量积的几何意义：聿数量积 ab等于 a的长度与 b在a方向上投影 |b|cos 的乘积 肇 5两个向量的数量积的性质：肅设 a、b 为两个非零向量， e是与 b 同向的单位向量葿1 ea = ae =|a|cos腿2 a b a b = 0蒇3 当 a与 b同向时，ab = |a|b|；当 a与b反向时， ab = |a|b|薃 特别的 aa = |a|2或| a | a a蒂 4 cos =ab|a |b|膆艿

6、5 |a b| | a|b|袃 膀 莅 节 莁 罿薄三、讲解范例：芅例 1 判断正误，并简要说明理由芁00；0； 0 AB BA； ；若 0，则对任一非零 有； ，则与中至少有一个为 0；对任意向量 ， 都有（） （）； 与是两个单位向量，则 荿解：上述 8 个命题中只有正确；羅对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0 ；蚃肃螈袁膆蚃袃羁薇教莅蚂学肁羈过袃莁程膀膅薅膀芀薆螃对于：应有 0；羀对于： 由数量积定义有 cos ，这里是与的夹角，只有或 时，才 有 ；蒈对于：若非零向量 、 垂直，有 ； 对于：由 可知 可以都非零； 对于：若 与 共线，记 则（）（ ） （）， （ ） （）（）（

7、） 若与不共线，则 （） （） 评述： 这一类型题， 要求学生确实把握好数量积的定义、 性质、运 算律例 2 已知 ， ，当 ， ，与 的夹角是 60时，分别求 解：当 时，若 与同向，则它们的夹角 ， cos036 118； 若 与反向，则它们的夹角 180， cos18036（ -1） 18； 当 时，它们的夹角 90，；当 与的夹角是 60时，有1 cos60 36 92 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当 时，有 0或 180两种可能膃莀羇蚅羂莀课堂 小 结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定 义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问 题布置作业课后 反 思以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途 , , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen fr Studien, Forschung, zu kommerzi