从数学史的角度去看中学概率统计的教学(已发表)

1、第 28 卷第 11期 2009 年 11 月 数学教学研究从数学史的角度去看中学概率统计的教学李 艳1 史战红21.甘肃省兰州市第六十五中学 7300702.西北师范大学数学与信息科学学院 730070摘 要：在中学数学概率统计部分的教学中应注重数学史的讲解，在课堂教学中渗透数学史知识可以促进学生对概率的理解以及让学生体会现实生活中统计的应用、培养学生的学习兴趣、坚定学生学好数学的信念。关键词：数学史；概率统计；教学中图分类号：G633.6目前，我国正处在教育改革试行阶段，全日制义务教育数学课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观

2、察、猜测、推理与交流等数学活动。针对新课程改革标准，在中学数学的教学中我们应重视数学史的运用。作为现阶段在中学中刚开始涉及的概率统计内容的教学，可以结合数学史知识,促进学生对概率的理解以及让学生体会现实生活中统计的应用，从而提高学生理解和应用不确定性数学的能力。 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，人们要认识数学概念、数学思想和方法的发展过程，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为指导。 概率论与数理统计也有其自身不断发展和完善的历史，在中学概率统计教学中运用数学史有助于学生理解数学知识之间的联系和不确定性数学特有的思想方法以提高学生的数学应用和创新能力。1通过讲解概率的起源

3、,促进学生对概率的理解概率知识应是一个公民必备的知识，是构成学生素质的重要组成部分，现实生活中，我们常常可以听到这样一些说法：“购买彩票，我只想碰碰运气，反正中奖与不中奖的可能性都是50”。人们在长期实践中，已总结出描述随机现象统计规律性的方法，即用“可能性”这一概念来描述随机现象发生可能性的大小，其数值表现就是概率。早期刺激数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求，那时的概率论工作者的贡献在于他们善于从具体的赌博问题中，看到它们的背景，并致力于把他们的研究成果从实际问题中抽象出来，上升为理论，使概率论成为一门有坚实社会基础，应用日益广泛的学科。早期概率论研究，有不少赌博问题，赌博者梅

4、尔曾向数学家巴斯卡请教过一个著名的“分赌本”问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算谁赢，但在一人赢a（s）局，另一人赢b(s)局的情况下，赌博被迫停止，问此时赌本应怎样分才合理？”，巴斯卡将自己的解法写信告诉数学家费尔玛，后来惠更斯参加了他们的讨论，并将解法写进了他1657年出版的著作论赌博中的计算，该著作被认为是最早的概率论论著。其实，现在教材中的概率的古典定义是拉普拉斯于1812年给出的，它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形。 “概率与统计”的内容与现实生活联系密切，我们应该结合具体案例组织教学。在教学中，我们可结合“赌金分配”问题,体会古典概率的模型特征

5、，加深学生对定义的理解。现举该问题的一个简单情形:甲、乙二人赌博，各出赌注30 元，共60 元，每局甲、乙胜的机会均等，都是，约定:谁先胜满3 局则他赢得全部赌注60 元，现已赌完3 局，甲2 胜1 负，而因故中断赌博，问这60 元赌注该如何分给二人，才算公平？对这个问题，初看觉得应按2 :1 分配，即甲得40 元，乙得20 元。但正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何？ 其实，至多再赌2 局即可分出胜负，这2 局有4 种可能结果:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。 前3 种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为31 ,故赌注的公平分配应按31 的比例，即

6、甲得45 元，乙得15元。教材中概率的古典定义要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数和总的试验次数之比，在试验次数很大时，它的值将稳定在一个常数附近。越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率。事实上，这就是概率论中的“贝努力大数定理”。我们将这个定义也称为概率的统计定义，这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以也称为概率的频率定义。这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性。教学中要让学生自己动手操作抛掷硬币的统计实验，让学生自己去体验、思考与探

7、索，调动学生积极性，引发学生的数学思考，并参照历史上著名科学家大数次地投掷硬币的结果，进一步感受频率概率的大数次实验要求以及概率统计的随机性和统计规律性。由下表容易看出，当投掷次数较少时频率的波动较大，当投掷次数增大时频率呈现稳定性，即出现正面的频率在0.5 附近摆动, 而逐渐稳定于0.5。实验者投掷次数出现正面的次数正面出现的频率德 摩根(De Morgan)204810610.5181蒲丰(Buffon)404020480.5069费勒(Feller)1000049790.4979皮尔逊(Pearson)1200060190.5016皮尔逊(Pearson)24000120120.5005

8、2.结合概率的发展历史,培养学生学习概率的兴趣十八世纪，概率论发展很快，几乎所有初等概率的内容都是在这一期间形成的，在此期间，人们把随机现象视为一种特殊的变量-随机变量。随机变量的引入，使得概率论的研究得到了一个大的飞跃。在整个十八世纪和十九世纪初，概率论风行一时，但是由于一些学者过分夸大它的作用，使概率论的发展走了一段弯路。譬如有些人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去，结果遭到了失败。又如法国数学家拉普拉斯和波阿松这两位对概率论做出过重大贡献的数学家，也曾错误地宣传过将概率论用到“伦理科学”上去，拉普拉斯认为“大部分我们的审判都建立在证人证词的概率上，所以把它们加以计算

9、是一件很重要的事情。”他认为法院根据一定多数作判决是对的，因为这相当于判决问题正确的概率。这种理论与实际差距很大，根本原因在于：证人的证词不一定都是正确的，各法官所代表的各阶层利益不可能完全一致，法官的表态受多种因素的干扰，不可能相互独立。拉普拉斯于1812年出版了他的经典著作分析概率论，他是严密地、系统地奠定概率论基础的第一人。后来，法国数学家波阿松通过研究，发现了概率论中占重要地位的一个分布波阿松分布；德国数学家高斯对正态分布进行了深入的研究，并将其应用于射击和误差理论。从十九世纪八十年代起，英国生物学家高尔顿和皮尔逊建立了“变异” 、“相关”、“回归”等概念，并将概率论应用于进化论和生物

10、学研究。进入二十世纪以来，概率论已经发展成了一支严谨的数学分支。概率论来源于实践，扎根于实际问题之中，具有强烈的生命力，在工农业生产以及其它人类活动中有着广泛的应用。在社会科学的不少领域中，概率论作为一种认识问题的思想方法，也得到了较为广泛的应用。在进行概率部分的教学过程中，我们通过结合概率的发展历史，让学生深刻体会学习概率知识的重要性，激发学生学习概率的学习兴趣，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，并引导学生探索新的数学领域以及比较前沿的数学知识。3.联系生活与实践,让学生理解统计的思想方法目前，中学数学“概率与统计”内容主要有：简单随机事件及其发生

11、的概率；收集、整理和描述数据，包括简单抽样、记录调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断。它是中学数学新课程的重要组成部分,它研究随机现象的统计规律性,具有独特的概念、方法和理论。在教学中，我们力争让学生做到：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑。在统计内容的教学中，一要强调统计思想，二要强调学生的活动，突出数据处理的基本过程。我们应注意联系实际生活，在具体的探究情境中有步骤有

12、计划地完成一定内容的统计和做出判断和决策，初步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，会用简单的统计图表表示统计的结果，能够根据统计图表提出一些简单的问题，初步经历用统计的方法解决问题的过程，让学生感受统计结果对决策的意义和作用，体会数学与生活之间的联系，并初步建立统计观念。并引导学生了解数据和随机现象，体会统计方法的意义，建立其随机思想。随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性, 强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系. 必然性通过偶然性表现出来, 偶然性背后总是隐藏着必然性,大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面. 随机思想正是通过对这种偶然

13、性的研究去发现其背后的必然性即统计规律性,并通过这种必然性去认识和把握随机现象.4.通过概率统计的发展历史，坚定学生学好数学的信念数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的功能。概率与统计与我们的生活联系非常紧密，要了解现实生活中的一些常见问题如居民的生活状况、学生的身体健康状况以及交通情况等，都应当先做调查研究、收集数据，通过分析收集到的数据作出相应的判断。在概率统计内容的学习过程中，引导学生体会数据中蕴涵的信息，体验数据是随机的和有规律的，对于数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。通过对于数据的简单分析，让学生感受数据所蕴涵的信息，体会运用数据进行表达与交流的作用，进一步体会数学的价值。通过概率统计的发展历史，让学生明白数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要