4-3-1不规则图形的面积.题库教师版

1、不规则图形的面积目M匹 例题精讲本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的 方法，包括平移、旋转、害U补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的 观察能力、动手操作能力、综合运用能力.【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？（单位：厘米）图1图2【解析】（方法一）采用分割法，可给原图分成两个长方形,（图1或图2）两个长方形的总面积就是所求的面积.图1的面积是:4 (9 3) 9 375 （平方厘米）.图2的面积是:(9 4) 3 9 4 75(平方厘米).（方法二）采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形（图

2、3）,就成了一个面积是：（4 9） （9 3） 156（平方厘米）的大长方形.因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积（4 9） （9 3） 9 9 75（平方厘米）.【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积（单位：米）【解析】这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形;20404040303030303030_2020图一图图三方法一：如图一， 30 40 20 （30 40） 1200 1400 2600（平方米）【巩固】如右图所示， 所示（

3、单位:方法二：如图二，20 30 40 （20 30） 600 2000 2600（平方米）方法三：如图三，（40 30） （20 30） 30 30 3500 900 2600（平方米）ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图图中的 ABEFGD是由一个长方形 厘米），求ABEFGD的周长和面积.【解析】方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD的周长和面积可以求出.而正方形的边长 GC DC DG AB DG 10 4 6（厘米），长方形白宽 BE CE 10 6 4（厘米），所求图形的周长 10 2 6 2 4 4 40（厘米） 面积 S长方形ABCD SO形

4、CEFG 10 4 6 6 76 （平方厘米）方法二：可以将线段 GF、DG向外平移，得一个新的图形ABEH ,因为DG HF , GF DH ,所以图形ABEH的周长就是图形ABEFGD的周长.而 AB BE 10（厘米），所以图形 ABEH是边长为10厘米的正方形.所求图形的周长 正方形ABEH的周长 10 4 40（厘米） 面积 S正方形ABEH 七方形DGFH 10 10 6 476（平方厘米）【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长.【巩固】【解析】方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积

5、增 加了，在计算时应减去增加的面积.把切去的角补出来，它的一条直角边长 6 3 3,斜边等于5 ,1所以另一直角边为 4,所以矩形的长为 4 4 8,五边形面积6 8 - 4 3 42 .220厘【例2】（第三届”华杯赛口试试题”）这是一个楼梯的截面图，高 280厘米，每级台阶的宽和高都是米.问，此楼梯截面的面积是多少？【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米.宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍.所以楼梯截面面积为（280 300） 2 42000（平方厘米）.【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米.这楼梯的截面积是多少平方厘米?【解析

6、】先求出大三角形的两条直角边都是20 8 160（厘米），因此大三角形的面积为160 160 2 12800（平方厘米）；8个小三角形的面积为 20 20 2 8 1600（平方厘米）；因此这楼 梯的截面积为12800 1600 14400（平方厘米）.【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽 2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是 多少？I.2 口rr n十 IL2.【解析】 方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：（16 2） 2 （8 2） 2 7 3 21 （平方米）方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把

7、剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：16 8 （2 16 8 2 2 2） 4 （128 44） 4 21 （平方米）方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积, 再求出其中每一小块菜地的面积.如图所示：(16 2) (8 2) 4 84 4 21(平方米)【例4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加2 1平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3 2 2 1 9 24（平方厘米）

8、.【例5】下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为（20 5 20） 8 2 140 （平方厘米）.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积BF【解析】阴影部分是一个高为 3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形 ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形 DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10 3 7（厘米），面积为（7 1

9、0） 2 2 17（厘米2）.所以，阴影部分的面积是 17平方厘米。【例6】如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A点出发，沿最短路线（图中虚线）走，走过88米到达B点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？【解析】 从图中可以看出，李大伯每走1米，就能喷洒（2 1 ）2平方米田地，李大伯一共走了88米，所以这块田地的面积是 2 88 176（平方米）.）右图中甲的（第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛面积比乙的面积大平方厘米.6厘米4厘米【解析】甲的面积 白色三角形的

10、面积（8 6） 2 24（平方厘米）,乙的面积 白色三角形的面积（8 4） 2 16（平方厘米），所以，甲的面积乙的面积 24 16 8（平方厘米）例8 右图中，矩形 ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形 ABF比三角形EDF的面积大9平方 厘米，求ED的长.【解析】EC （4 6 9） 6 2 5（厘米），ED EC DC 1 （厘米）.如图所示，CA AB 4厘米，4ABE比4CDE的面积小2平方厘米，求 CD的长为多少厘米?【解析】 连接BC两点，由4ABE比4CDE的面积小2平方厘米,根据差不变原则可得2SACDESA ABESACDESA CBESAABESACBESACD

11、BS/XABC由于SA ABC4 4 2 8 （平方厘米） ,所以SACDB8 2 10,所以 CD 10 2 4 5（厘米）【巩固】如图，平行四边形 ABCD种，BC 10cm,直角三角形 ECB的边EC 8cm,已知阴影部分的总面 积比三角形EFG的面积大10cm2 ,求平行四边形 ABCD的面积.【解析】三角形面积底高2.SYABCDSVABFSB形 FBCGSVEFG10S弟形 FBCG2、SY ABCDSVEBC1010 8 2 10 50（ cm）【例9】如图，ABCD是7 4的长方形,DEFG是10 2的长方形，求 VBCO与VEFO的面积差.【解析】如右图所示，我们把 VBCO

12、与VEFO同时补上阴影部分，则它们的差是不变的，即有:SVbCOSVEFO（SVBCO% 影）（S/EFO S 阴影）SVBHFSWCEFHSVbcoSVEFO（4 2）（10 7） 2 （10 7）2 3本题还可以按照下面添加辅助线的方法去解答，可以让学生自己试试看.【例10】有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为 60米，长不变，那么它的面积比原来增加 2720平方米，原来的长和宽各是多少米？【解析】根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为 （2720 680） （60 50） 340 （米），宽为 680 3

13、40 50 52 （米）.W一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？3【解析】长方形宽减少2米，面积减少24平方米.说明长方形长：24 2 12（米）.长方形长减少3米，面积减少24平方米.说明长方形宽：24 3 8（米）.所以这个长方形的面积为：12 8 96（平方米）.【例11】一块长方形铁板，长 15分米，宽12分米，如果长和宽各减少 2分米，面积比原来减少多少平 方分米？【解析】【例12】（方法一）如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用原长方形的面积减去空白部分的面积.即： 15 12 （15 2） （12 2

14、） 180 130 50（平方分米）.（方法二）也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积.一个长方形，如果长减少 5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少 66平方厘米，这时剩下的部 分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？225 l【解析】如图，正方形的边长是（66 2 5） （5 2） 8（厘米），长方形面积为8 8 66 130（平方厘米）.【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去5cm,宽边剪去2cm后（如图），得到的正方形面积比原长方形面积少2 31cm .求原长方形纸片的面积.通过对图形进行分割，可以发现C的长与宽分别是5cm和2cm,则它的面积是5 2 10（ cm2）,那2么

15、A B的面积是31 10 21（ cm ）,如给B移到A的旁边，则知正万形的边长：（cm）,正万形的22面积是3 3 9（ cm2）,原长方形的面积是 31 9 40（ cm2）.【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面积？6厘米6厘米6厘米6厘米由画图可知：阴影部分的面积就是120平方厘米，它可以分割成两个相等的长方形和一个边长是厘米的正方形.两个长方形的面积和是：120 6 6 84 （平方厘米），一个长方形的面积是：84 2 42（平方厘米），长方形的长是：42 6 7（厘米），这个长度也是原正方

16、形的边长，原正方 形的面积是：7 7 49（平方厘米）.【例13】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽 8分米的长方形（如图），面积就比原来正方形减少181平方分米.原正方形的边长是多少分米?【解析】对于较复杂的几何问题，如果题目条件之间的关系在图形中反映的不是那么具体、明确，而图形结构提供的信息也较模糊，这时就可考虑通过对图形进行变换一一进行“重组”对本题而言，根据图形特征，我们把阴影部分 A、B、C剪切下来，并把剪切下的三个小长方形拼 合起来，如图所示：AB55 CABCD A 8这个拼接起来的 图形就是题目中“面 积比原来正方形减少 的181平方分米”.再在右下角补

17、上小方形 D,它 的宽为5分米，因为它的长等于“正 方形的边长减去小长方形 C的长”， 所以小长方形D的长为8分米.通过上面分析可知，这个拼合起来的长方形A B C D 的面积是（181 8 5）,长是原来正方形的边长，宽是（8 5）分米.这样就可以求出原来正方形的边长.拼合起来的长方形面积为：181 8 5 181 40 221（平方分米）.原来正方形的边长是：221 （8 5） 221 13 17 （分米）.这道题中”将剪下的面积拼起来”这个思想非常有用.有时剪下的几块形状之间差异很大，但它们拼起来却能形成很规则的图形.【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了 72平方厘米

18、，又把宽剪去 5厘米，这时面积又减少了 60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？【解析】依题意：宽=72 8 9（厘米），长 8 60 5 12（厘米），即长是：12 8 20（厘米），因此，原来长方形纸片的面积是：20 9 180（平方厘米）.【巩固】（希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽 11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形,所得图形的面积比原正方形减少301平方分米.原正方形的边长是 分米.11【解析】把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301 11 7 378平方分米，这个长方形的长等于原正方形

19、的边长，宽为 11 7 18分米, 所以原正方形边长为：378 18 21分米.34平方厘米，求阴影部分的面积.【例14如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大10cm18cm【解析】(方法一)首先根据条件可求得长方形面积为：18 10 180( cm2)一方面，观察图形可知：长方形的面积 阴影部分面积 空白部分面积 180cm2另一方面，根据条件可知：阴影部分的面积空白部分面积34cm2所以，就可以根据”和差问题”的规律求出阴影部分的面积为：，一 一、 一 一 ，2(180+34) 2=107 (cm ).(方法二)我们还可以从另一种角度来思考，考虑条件”阴影部分面积比空白部分面

20、积大34平方厘米”中多出的部分.为了把34cm2的这个条件在图中明确地刻画出来，我们按下图的方式进行分割：显然，右图中的阴影长方形的面积就等于34平方厘米.这样，就把题目中的文字条件与它在图形中的对应关系搞清楚了.由此不难求出阴影长方形的宽等于：34 10 3.4(cm).那么三角形 A的底为：18 3.4 14.6cm),所以它的面积为：14,6 10 2 73( cm2)则阴影部分的面积为：34 73 107(cm2).【例15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的 2 ;再把左7下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的 (答案用分数表

21、示).【解析】2甲图阴影部分面积占原纸片面积的-，可以设原纸片的长为 7,说明阴影长方形的宽为2,原纸片7的空白部分为边长为 5的正方形，即原纸片的宽为5,左下角折叠的三角形打开为边长2的正方形,则乙图中阴影部分的面积为(5 2) 2 6,而原纸片的面积为 7 5 35,所以乙图中阴影部分面积占原纸片面积的.35【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍.已知阴影部分面积之和为 1,则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？22 1【解析】折叠后图形的面积为原来图形面积的2 ,所以由于重叠而消失的面积等于原来面积的1 （ g，1右图中空白三角形的面积为原来图形面积的-，所以未重叠的

22、阴影部分面积之和也等于原来图形面3一 1积的-，即与重叠部分面积相等，所以重叠部分（即空白部分）的面积是1 .3【巩固】如图，一张长方形纸片，长 7厘米，宽5厘米.把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未 盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？7【解析】阴影部分的宽是7 5 2 （厘米），长是5 2 3（厘米），面积是2 3 6（平方厘米）.【例16 如图，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方 厘米？【解析】观察图形，可以看出图中小正方形中的阴影图形与它对面的空白三

23、角形是对称的，利用对称的技巧 对图形进行变换，把分散的条件集中，把复杂的图形转化为简单的图形.这样一来，发现阴影部分 的面积等于中间正方形的面积，而中间部分的面积等于大正方形面积的一半.也可以连结小正方形中心与顶点，发现阴影部分的面积等于中间正方形的面积，等于大正方形面积 的一半.所以，所求的面积为10 10 2 50（平方厘米）.【例17如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积?【解析】如图，由长方形的对称性知 A与B面积相等，C与D面积相等.从而阴影部分面积与F面积相等,为 6 4 24.【例18】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第

24、三个、第四个、第五个正方形.求第五个正方形的面积？【解析】第一个正方形的面积是20 20 400（平方厘米），第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半.依次类推，第五个正方形的面积为：400 2 2 2 2 25（平方厘米）.【巩固】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛决赛）如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形（阴影部分）的周长是8,那么最大的正方形的边长是 .4 2 2 2 2 64（平方厘米），【解析】 最小正舜瑕的面积是 2 2 4（平方厘米），最大的正方形的面积是那么最大的正方形的边长是8厘米.【巩固】图中有 6个正方形，较小的正方形都由较大的正方形

25、的4边中点连接而成.已知最大的正方形的边长为16厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？【解析】我们先来寻求图形面积变化的规律.观察右图，连接大正方形对边中点，则把大正方形分成了4个小正方形，每个小正方形被边EH、HG、FG、EF分成了面积相等的三角形.由此可知：正方形EFGH的面积正方形ABCD面积2由此可以推出：相邻两个正方形，每个较小正方形的面积是较大正方形面积的一半，因此，最小正方形的面积为：16 16 2 2 2 2 2 8（平方厘米）【例19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米?【解析】图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形

26、面积的一半.22 2 11 (平方厘米)【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm,在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为26cmS S 阴 128 2 64( cm )如图右所示，此时外面正方形面积为64,图中S阴64 2 2 16(cm2)所以，图中阴影部分总面积为：S阴S阴64 16 80(cm2).【例21】(2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36,则十字中央的小正方形面积为 . ,最小的正方形的边长为多少厘米？【解析】如右图所示，把 A、B、C依次放到X、Y、2则D的面积为26 10 1

27、0 4 1(cm).2D所处的小正方形的面积为 1 4 4( cm ).Z的位置.故小正方形的边长为 2cm.【例20】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形.求图中阴影部分的面积？【解析】如下图左所示，S阴4sl.2.S 阴 16 16 2 128 (cm).2如下图中所不，此时斜放的正万形面积为128cm , S S阴.【解析】 题目稀2S白部分可以组成一个如右图的正方形，正方形面积为100 36 64,右图中的正方形边长2为8,正中央正万形中的直角边长为 10 8 2,所以S正22 2 .【例22】下图大小两个正方形有

28、一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【解析】用A表示两个正方形重合部分的面积，用B表示除重合部分外大正方形的面积，用C表示除重合部分外小正方形的面积.据题意，要求（B C）是多少平方厘米，即求（B A） （C A）的面积，（B A） = 6 6 36 （平方厘米），C A 3 3 9 （平方厘米），因此36 9 27 （平方厘米）就是所 求的两块没有重合的阴影部分面积差.【巩固】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【解析】灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为 7的正方

29、形，它们的总面积是 112 72 1 70;类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是2295106 .由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于170 106 64 .【例23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上.这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？【解析】如右图添加辅助线割补，如果甲的面积为4份量，则甲与乙白重合部分是1份量.同理，如果乙的面积为4份量，则乙与丙白重合部分是 1份量.所以这三个正方形覆盖面积是:10 10 8866

30、664884 175（平方厘米）.【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分（右图表示已经摆好的5张）.地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？【解析】由例题可知每个重合部分都等于正方形纸片面积4 ,而总共有（20。个重合部分，所以所求面积为 10 10 20 10 10 4 19 1525（平方厘米）.【例24】有2个大小不同的正方形 A和B.如下左图所示的那样，在将 B正方形的对角线的交点与 A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的1 .求A

31、与B的边长之比.如果当9按下右图那样，将 A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？【解析】以B正方形为中心，将整体图形放大后，如右上图所示.图中，由于A和B均为正方形，所以可认为画阴影的两个三角形是以 B的对角线的交点为中心转过 90所形成的.因此，所求的 A与B所重 合部分的面积，只要让B的对角线的交点与 A的一个顶点相重合，则不管什么情况下，该面积均为B 正方形面积的1 .这样，A的面积的1与B的面积的二相等，故A与B的面积之比为9:4.因为二494者均为正方形，所以其边长之比为3: 2 .1,一，如果A的对角线的交点与 B的一个顶点相重合的话，所重合部分的面积仍为A的面积的1

32、 .但是由4于B的面积是A的面积的4,所以重合部分的面积应为 B的面积的-.94 9 16【例25】有一个正方形水池（图中阴影部分），在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米,求水池的边长?480 4 8 15（米）.由此求得【解析】 将图分割：这样就得到四个面积相等的长方形.可求得长方形的长:水池的边长：15 8 7（米）.【巩固】一块长方形草坪（图中阴影部分）长是宽的2倍，它的四周围的总面积是 34平方米的1米宽的小路.求 草坪的面积是多少平方米？【解析】如图分块，SA 1 1 1（平方米）.那么 2Sb 2Sc 34 4 Sa 30（平方米）.Sb Sc 15（平方米）.

33、因为B、C的宽都是1米.于是B的长与C的长和是15米.又因为B的长是C的长的2倍.所以B的长为15 3 2 10（米），C的长为15 3 5（米）.草坪的面积是10 5 50（平方米）.【例26】（2008年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛）如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池.水池长8米、宽3米.水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺.恰好铺【解析】【例2例了若干圈，共用了 152块方砖，那么共铺了圈.水池水池的面积是8 3 24,铺完之后水池加上地砖的面积是176 16 11.由于每铺一圈都会是边长增加2 ,所以铺了 8 2 4（圈）.用四个相同的长方形拼成一个面

34、积为2 .100cm的大正万形，每个长万形的周长是多少平万厘米?引导学生思考所求题目的关键是什么.本题的关键是找长方形的长和宽.根据10 10 100知这个大正方形的边长是10cm,即长加宽是10cm长方形的周长是:10 2 20 ( cm ).如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形, 小正方形的面积是 36平方分米，求一个小长方形的面积及周长.大正方形的面积是100平方分米,【例28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是一个长方形的面积为：（100 36） 4 16（平方分米），长方形的长加宽为大正方形的边长，所以周长为10 2 20（分米）100平方分米，小正

35、方形的面积是16平方【解析】长方形的面积是（100 16） 4 21（平方分米）.因为100 10 10, 16 4 4.所以大正方形的边长是10分米，小正方形的边长为 4分米，那么长方形的短边是（10 4） 2 3 （分米）.【巩固】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为 厘米，宽 厘米.【解析】 大正方形襁限是 20厘米，小正方形边长是 2厘米，所以长方形宽为 （20 2 2 9（厘米），长为 20 9 11（厘米）.【例29】街心花园里有一个

36、正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（如图），如果甬道的面积是12平方米,那么中间花坛的面积是多少平方米？【解析】把甬道的部分分成四个同样大的长方形， 每个长方形的面积是12 4 3（平方米）.因为水泥路宽1米, 所以小长方形长是 3 1 3 （米），而正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，即 2米，中间花坛 的面积是：（3 1） （3 1） 4（平方米）.【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为 300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？【解析】要想求出花园的面积，必须知道小正方形的边长或大正方形的面积，所以解题关键就在于根据水池的面积求出小正方形边长或大正方形的

37、面积（或边长）方法一：如图所示，水池中四个小正方形的面积为：5 5 4 100（平方米），水池中四个长方形面积为：300 100 200（平方米）一个长方形面积为：200 4 50（平方米），长方形的长即花园边长为：50 5 10（米），花园面积为：10 10 100（平方米），综合算式为：（300 5 5 4） 4 5 200 4 5 10（米），10 10 100 （平方米）.方法二：将水池面积进行适当的分割，不难求出正方形花园的边长.如图所示，将环带形水池切割成四个面积相等的长方形，长方形的宽是 5米，长等于花园 的边长加5米，一个长方形的面积为：300 4 75（平方米），长方形白长为

38、75 5 15（米）, 花园边长为15 5 10（米），花园面积为10 10 100（平方米）.【巩固】有大、小两个长方形（如图），对应边的距离均为1cm,已知两个长方形之间部分的面积是16cm2且小长方形的长是宽的 2倍，求大长方形的面积.AB【解析】由于长方形之间的部分是不规则的，所以可以进行分割，这样分割后，A B的面积是216 2 8（ cm ）,则知小长方形的长与宽之和是8 111 6 （ cm ）,小长方形的宽是6 （2 D 2（ cm ）,长是2 2 4（ cm ）,那么有大长方形的长是 6（ cm ）,宽是4（ cm ）,面积是4 6 24（ cm2）.【例30】已知大正方形比

39、小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米.问大、小正方形面积各是多少？4采用分割法：图B面积为:4(96 16) 2 40(平方厘4 4 16（平方厘米），图A或图D的面积为:米），图C的边长为：40 4 10（厘米），所以图C的面积为：10 10 100（平方厘米）大正方形的面积为：100 96 196（平方厘米）.C B【巩固】两个正方形的面积相差9cm2,边长相差1cm.求两个正方形的面积和.【解析】如果把这两个正方形重合在一起，则知相差的面积是：ABC 9（cm2） , C 1cm2 ,推知22A B 4cm，小正万形（阴影部分）的边长为4cm ,则阴影正万形的面

40、积是 4 4 16（ cm ）,大正22万形的面积是16 9 25（ cm ）,面积之和是41cm .20厘米，面积相【巩固】（第四届小数报数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差差55平方厘米.小正方形的面积是多少平方厘米?【解析】 大正方形的边长比小正方形的边长多20 4 5 （厘米）.将下图下方的阴影部分移至右方，形成面积为55平方厘米的长方形，这长方形的长为55 5 11 （厘米），即两个正方形边长的和是11厘米，而大正方形的边长小正方形的边长 5厘米，所以小正方形的边长是（115） 2 3 （厘米），小正方形的面积是 3 3 9 （平方厘米）.【例31】在一个正方形中放

41、入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形（如图），如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们可以把图经过旋转后变成图这样我们就 可以根据我们学过的知识来解决这道题了.八条虚线的长度正好是大小两个正方形的周长差，空白 处即为两个正方形的面积差，所以虚线长为：16 8 2（厘米）从图中可以看出上、下、左、右四个长方形的面积相等为：（96 2 2 4） 4 20（平方厘米），所以小正方的边长为：20 2 10（厘米）， 即小正方形的面积为：10 10 100（平方厘米）方法二：本题还可以将里面的正

42、方形移到一角上来计算，由右图可知虚线长度为：16 4 4（厘米）所以小正方形的面积为： 4 4 16（平方厘米）白色长方形的面积为：（96 16） 2 40（平方厘米）， 所以小正方形的边长为： 40 4 10（厘米），正方形的面积为：10 10 100（平方厘米）.【例3例用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形, 平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？长方形纸片面积分别为44平方厘米与28【解析】44 2816,所以 a 4, b 28 47 ,原正方形面积为7 7 49（平方厘米）.【例33】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上修建这个花坛需要占地多少平方米？3米宽的草

43、坪，草坪的面积为300平方米，那么【解析】（法1）：要求正方形花坛的面积，就要先求正方形花坛的边长.将环形小路进行分割，得到四个面积相同的小长方形（如图1）.由于小路的面积已知，那么每一块小长方形的面积为：300 4 75（平方米）.由题意知，小长方形的宽为3米，于是长方形的长为：75 3 25（米）.那么正方形花坛的边长为：25 3 22（米）.所以正方形花坛的面积为：22 22 484（平方米）.（法2）：若我们将环形小路用另外一种方法分割（如图2）,阴影部分是四个面积相等且边长为3的小正方形，它们的面积和为：3 3 4 36（平方米）.从环形小路的面积中减掉这四块阴影部分的面积后剩下的又

44、是四块相等的长方形，每块长方形的面积为：（300 36） 4 66（平方米）.长方形的长为:66 3 22 （米），即为正方形花坛的边长，所以正方形花坛的面积为：22 22 484（平方米）.【巩固】有大、小两个长方形 （右图），对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积.【解析】如图，由于已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，而4个角上的小正方形面积均为 1平方厘米，所以划分出来的四个新长方形的面积之和为16 4 12平方厘米，这四个新长方形的宽均为1厘米，长则分别为原来的小长方形的四条边，所以原来的小长方形的长、宽之

45、和为12 1 2 6厘米.由于小长方形的长是宽的 2倍，所以长为4厘米，宽为2厘米.所以大长方形的长为 6厘米，宽 为4厘米，面积为6 4 24平方厘米.【巩固】一块长方形的草坪 （见图中阴影部分），长是宽的2倍，它的四周围的总面积是 34平方米的1米宽的 小路，求草坪的总面积是多少平方米？如图将图形分块Sa1 11,那么 2Sb 2Sc 34 1 4 30（平方米）Sb Sc 30 2 15（平方米），因为B和C的宽都是1米所以B和C的长和为：15 1 15（米），又 因为阴影部分长是宽的 2倍所以草坪的宽为：15 3 5（米）.长为：5 2 10（米），所以草坪的总面积为：10 5 50

46、（平方米）.【例34】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加 30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【解析】小正方形的面积为：30 30 900平方米.用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方 形的面积和，为：9900 900 9000平方米.而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方 形的面积为9000 2 4500平方米.长方形的宽为 30米，那么长为：4500 30 150米，这就是原 来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150 150 22500（平方米）.【例35】从一块正方形的玻璃板上锯

47、下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？0.50.50.5【解析】我们先按题目中的条件画出示意图（如图a）,我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为 5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图（如图b）.图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米.所以中间的小正方形的面积为0.5 0.5 0.25平方米，那么大正方形的面积为5 4 0.25 20.25平方米.因为4.5 4.5 20.25,所以大正方形的边长等于4.5米.所以

48、原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：（4.5 0.5） 2 2.5米，即原正方形的边长为 2.5米.又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.5 0.5 1.25平方米.【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽 木条面积是多少？1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6m2,问锯下的长方形【解析】所以，整个大正方形的面积是 那么，剩下的长方形木条的长 可得剩下的长方形木条的长为【巩固】从一块正方形木板锯下宽为 1米的一个木条以后,2剩下的面积是 空平方米.问锯下的木条面积是多18我们用构造“弦图”的方法，取同样

49、大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图）同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）.那么,阴影小正方形的面积 1 1 Km2）.1 4 6 25 5 5（ m2）,求得大正方形的边长为5m.宽 1,长宽 5 ,（5 D 2 3（m）,宽为（5 6 2 2（m） .所以，锯下的长方形木条面积是3 2 6（mj .少平方米?【解析】我们画出示意图（a）,则剩下的木块为图（b）,将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图（c）.图(a)图(b)图我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为1 ,所以图（c）中心

50、的小正方形边长为于是大正方形651152923223 ,232AEHK的面积为4所以AK长为一 ，长宽3,已知：长- 1范 一,得长13,于是锯去部分的木条的面积为艺mJ （平6266 2 122方米）.20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米.求【例36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是乙正方形的面积.【解析】如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的240厘米（见左下图）.A, B , C三部分之和就是ABC甲乙ABC甲乙乙方法一：把C割下，拼补到乙正方形的上面 （见右上图），这样A, B, C三块就合并成一个长 20厘 米的矩形，面积是

51、40厘米2,宽是40 20 2（厘米）.这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可 求出乙正方形的边长为（20 2） 2 9（厘米），从而乙正方形的面积为 9 9 81（厘米2）.方法二：连接正方形 A对角线（如右上图），将40平方厘米的图形分成面积相等的两个梯形，而梯形 的上下底之和恰好是 20厘米，所以梯形的高为 20 2 20 2（厘米），即两个正方形的边长差，由此 可求出乙正方形的边长为（20 2） 2 9（厘米），从而乙正方形的面积为 9 9 81（厘米2）.【例37】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差 田的面积是多少平方米？40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验【解

52、析】【例3例【解析】【例3例【解析】根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，回出示意图 （如图a）,将大正方形在小 正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形（如图b） .由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差 40 4 10米，即图b中的长方形的宽是10米.又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：220 10 22（米）.由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：（22 10） 2 6（米）.所以小正方形的面积为：6 6 36（平方米）.（第十二届“

53、迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED的面积是48平方厘米,ABCD的面积是平方厘米.根据题意，有AD AF 48且AF 8 AD ,又AD、AF都是整数，于是根据尝试可得，AD 12厘米，AF 4厘米.所以Swabcd 12 12 144 （平方厘米）如图，一个正方形被分成 4个小长方形，它们的面积分别是1平方米、1平方米、平方米10510和2平方米.已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？5为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。.32 1大正方形的面积为 一-10 5 511 ,所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为103 2一:一3: 4 ,所

54、以 LG10 54.下面两个长方形的面积之比为,：工 75 10-,12，2:1 ,所以IG - .那么34 15LI 7 3 21,那么阴影小正万形的面积为552521 21 441【例40】已知这四个正长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形.方形的面积之和为 290平方厘米，那么长方形 ABCD的面积是多少平方厘米？【解析】从图形我们可以看出， AiB的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD周长的一半，可利用“扩”的思想，将左图转化为右图，那么正方形旧EG的面积就等于长方形 ABCD周长一半的以看出若以AiB和BCi为边能构成大正方形 AiBCi

55、Ei（如右下图所示），其中包含两个长方形和两个正 方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半.这样我们容易求出：大正方形AiBCiEi的边长为30 2 i5厘米，面积为：i5 i5 225平方厘米，正方形CDDG与正方形ADEAi的面积之和为：290 2 i45（平方厘米）.长方形ABCD与长方形EDDiEi的 面积相等.所以，长方形 ABCD的面积为：（225 I45） 2 40（平方厘米）.【巩固】（第四届华杯复赛试题）如图，长方形ABCD的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为68平方厘米，求长方形 ABCD的面积？2平万，即（16 2） 6

56、4（平万厘米），长万形ABCD与DFGH是完全一样的，而正万形IADH与DCEF 的和等于题目种已给的四个正方形面积的一半，所以长方形ABCD的面积为：（64 68 2） 2 15（平方厘米）.【例4U一条白色的正方形手帕，它的边长是I8厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是 2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？H L【解析】方法一：由于手帕边长是 I8厘米，所以手帕的面积是 I8 I8 324（平方厘米）.要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了.红色部分是四个长为I8厘米，宽为 2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4 I8 2 i44（平方厘米），但每个横红条与每个竖

57、红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了 2 2 4（平方厘米），因此两个横红条与两个竖红条共重叠 4 4 i6（平方厘米），所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为I44 I6 i28（平方厘米），所以这块白手帕白色部分的面积是324 I28 i96（平方厘米）方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的 左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示.这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分 的面积不变.这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即

58、14 14 196（平方厘米）【例42】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示.如果铺满这块地面共用 101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？ TOC o 1-5 h z 图1图2【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上（如图2）.在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形.大正方形的边长上能放 （101 1） 2 51 （块），白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：51 1 50（块），所以白色瓷砖共用了：50 50 2500（块）.【例43】7个完全相同的长方形

59、拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】由图可知，长方形的长是宽的 4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是 4厘米，故图中空白部分 的面积是4 4 2 32（平方厘米）.【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【解析】对长方形进行平移，如图可看出：长4个宽，长 2个宽 24.易求出宽为24 （4 2） 4（ cm）.长为：4 4 16（ cm）. 2 仝白部分面积为16 4 7 448（ cm ）.【例44】（第五届“祖冲之杯”数学邀请赛 ）如右图所示，在长方形 ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形（尺寸如图），

60、图中阴影部分的面积是 .【解析】由图中可以看出小长方形的长 3小长方形的宽 14,小长方形的长小长方形的宽6.第二式乘以3再与第一式相加得4小长方形的长14 6 3 32 .所以小长方形的长8，小长方形的宽2 ,小长方形的面积8 2 16,大长方形的面积14 （6 2 2） 140,阴影面积140 6 16 44 .【例45】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形.已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】 从图中可以看出5个长=3个长+3个宽，则得2个长=3个宽，所以长方形的长为：3 12 2 18（厘 米），阴影小正方形的边长=长-宽，边长是18 12 6