赵树源线性代数线性代数第1讲

1、线性代数第1讲下载网址：http:/应用数学.cn1第一章 行列式1.1 二阶,三阶行列式2(一) 二阶行列式a11a12a21a22-+3例1. 4例2. 设问: (1) 当l为何值时D=0 (2) 当l为何值时D05解: l2-3l=0, 则l=0, l=3.因此可得 当l=0或l=3时D=0,(2) 当l0且l3时D0.6(二) 三阶行列式7画线法记忆a11a12a13a21a22a23a31a32a33+-8例1.9例2. a,b满足什么条件时有解:若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.10例3. 的充分必要条件是什么?解:a2-10 当且仅当|a|1111.2 n阶行列式12(一

2、)排列与逆序由n个不同数码1,2,n 组成的有序数组 i1i2in, 称为一个n级排列.例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是一个5级排列.13定义 1.1 在一个n级排列i1i2in中, 如果有较大的数it排在较小的数is前面(is1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.21证: n级排列的总数为n(n-1)21=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个.设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所以得出

3、p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2个.用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三个22(二) n阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式:23(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的乘积可以表示为j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21)时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符号), 共为2!=2项.24三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素的乘积可以表示为j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.25(2) 每一项的

4、符号是, 当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数时取正号, 为奇数时取负号.根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.26定义1.2 用n2个元素aij(i,j=1,2,n)组成的记号称为n阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的代数和, 各项符号是: (接后)27当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇

5、排列则取负号. 因此, n阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为:(1.3)其中j1j2jn构成一个n级排列, 当取遍所有n级排列时, 则得到n阶行列式表示的代数和中所有的项.28一阶行列式|a|就是a.行列式有时简记为|aij|.由定理1.2可知: n阶行列式共有n!项, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各占一半.29例如, 四阶行列式所表示的代数和中有4!=24项.例如, a11a22a33a44项取正号, a14a23a31a42项取负号, a11a24a33a44不是D的一项.30例1. 计算n阶行列式的值, 其中aii0 (i=1,2,n).31解: D中各项

6、中不为零的项只有a11a22ann, 其它项均为零, 由于N(12n)=0, 因此这一项取正号, 得称这种形式的行列式为下三角行列式.32同理可得上三角行列式其中aii0 (i=1,2,n).33特殊情况:其中aii0 (i=1,2,n).这种行列式称为对角形行列式.34三角形行列式及对角形行列式的值, 均等于主对角线上元素的乘积. 这一结论在以后行列式计算中可直接应用.由行列式的定义不难得出: 一个行列式若有一行(或一列)中的元素皆为零, 则此行列式必为零.35定理1.3 n阶行列式D=|aij|的一般项可以记为(1.4)其中i1i2in与j1j2jn均为n级排列.36证: 由于i1i2in

7、与j1j2jn都是n级排列, 因此(1.4)式中的n个元素是取自D的不同的行不同的列.如果交换(1.4)式中的两个元素则其行标排列由i1isitin换为i1itisin, 逆序数奇偶性改变, 列标排列由j1jsjtjn换为j1jtjsjn,逆序数奇偶性也改变. 则对换后两下标排列逆序数之和的奇偶性则不改变.37即有所以交换(1.4)式中元素的位置, 其符号不改变. 这样我们总可以经过有限次交换(1.4)式中元素的位置, 使其行标i1i2in换为自然数顺序排列, 设此时列标排列变为k1k2kn, 则(1.4)式变为38例2. 若(-1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式|aij|的一项, 则i,j,k应为何值? 此时该项的符号是什么?解: 由行列式定义, 每一项中的元素取自不同行不同列, 故有j=3, 且有i=1时k=5, 或i=5时k=1.因此当i=1,j=3,k=5时, -a15a42a33a21a54为|aij|的一项.当i=5, j=3, k=1时, a55a42a33a21a14也是|aij|的一项.39例3 用行列式定义计算行列式解: 因第1列和第3行都只有一个元素不为0, 为寻找不为0的项, 划去相应元素的