中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

1、第 页共21页与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tanZBOC=m，则m的取值范围是.引例2：如图，在边长为1的等边0AB中，以边AB为直径作0D，以0为圆心0A长为半径作00,C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交00于点E,BC=a，AC=b，求ab的最大值.引例3：如图，ZBAC=60，半径长为1的圆0与ZBAC的两边相切，P为圆0上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）.A.3B.6C.疸D.3、

2、込A一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点0、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目

3、的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（ZDAE=60），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略直观感觉，画出图形；特殊位置，比较结果；理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图，A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的OA切x轴于点

4、B,P(m,n)为OA上的一个动点，请探索n+m的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点，且AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是如图，00的直径为4,C为00上一个定点，ZABC=30，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为，例三、正弦定理如图，AABC中，ZBAC=60,ZA

5、BC=45,AB=2-2,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作00分别交AB,AC于E,F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值ABDC如图，定长弦CD在以AB为直径的00上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP丄AB于点P,若CD=3,AB=8，则PM长度的最大值是.MB第3页共21页例四、柯西不等式、配方法1.如图，已知半径为2的00与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C,PC与00交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x（2VxV4）,则当x二时，PDCD的值最大，且最大值是为00外接于CDE，贝900半径的最小值为

6、（A.4B.疸3迈2).D.2如图，线段AB=4,C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边ACD和等边BCE，3.在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画00,P是00上一动点，且P在第一象限内，过点P作00的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是J、厂1卩B例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在RtAABC中，ZC=90,AC=6,BC=8,D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值.A、COEB2.如图，RtAABC中，ZC=90,ZA=30,AB=4，以AC上的一点0为圆心0A为半径作00,若0

7、0与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是第 页共21页如图，OO的半径为2,点O到直线1的距离为3,点P是直线1上的一个动点，PQ切OO于点Q,则PQ的最小值为()A.B.C.3D.2例五、其他知识的综合运用1.(2015济南)抛物线y=ax2+bx+4(aMO)过点A(1,-1),B(5,-1),与y轴交于占C八、求抛物线的函数表达式；如图1,连接CB,以CB为边作口CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且口CBPQ的面积为30,求点P的坐标；如图2,OO1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点(不与点A,E重合)，ZMBN为直角，边

8、BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.2.(2013秋相城区校级期末)如图，已知A、B是OO与x轴的两个交点，OO的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点.判断直线PE与OO的位置关系并说明理由；求线段CD长的最小值；若E点的纵坐标为m,则m的范围为.【题型训练】如图，已知直线l与00相离，0A丄l于点A,0A=5,0A与00相交于点P,AB与00相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在00上存在点0，使4QAC是以AC为底边的等腰三角形，则00的半径r的取值范围为._已知：如图，RtAABC中，ZB=90,ZA

9、=30,BC=6cm，点0从A点出发，沿AB以每秒0)时，以0点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点，过E作EG丄DE交射线BC于G.若点G在线段BC上，则t的取值范围；若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围.如图，0M,0N的半径分别为2cm,4cm，圆心距MN=10cm.P为0M上的任意一点，Q为0N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为Q，当P、Q在两圆上任意运动时，tanZa的最大值为().(A)以D为圆心1为半径作0D,).(A)4如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,0为矩形ABCD的中心，P为0D上的一个动点，连接AP、0P，则A0P面积的最

10、大值为(D)如图，在RtAABC中，ZC=90。，AC=8,BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是().A.19424B.C.5D.4-2如图，在等腰RtAABC中，ZC=90AC=BC=4,D是AB的中点，点E在AB边上运动(点E不与点A重合)，过A、D、E三点作00,00交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，7.如图，A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),0C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是0C上的一个动点，线段DA与y轴交于点已，则4ABE面积的最小值是().A.2B.1C.2亍D.228.如图，已知A、B两点

11、的坐标分别为（-2,0）、（O,1）,0C的圆心坐标为（0,-1）,半径为1,D是OC上的一个动点，射线AD与y轴交于点E,贝ABE面积的最大值是（）.A.3B.11C.10D.4TOC o 1-5 h z9如图，等腰RtAABC中，ZACB=90,AC=BC=4,0C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切00于点Q,贝y切线长PQ长度的最小值为（）A.叮7B.142C.3D.4如图ZBAC=60。，半径长1的00与ZBAC的两边相切，P为00上一动点，以P为圆心，PA长为半径的0P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的范围为.在直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点卩（m,

12、n）是第一象限内一点，且AB=2,则mn的范围为.在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB丄AP于点P,则tanZABP二m，则m的取值范围是.在平面直角坐标系中，M（3,4）,P是以M为圆心，2为半径的0M上一动点，A（-1,0）、B（1,0）,连接PA、PB,贝PA2+PB2最大值.蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或

13、几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法；2.几何定理（公理）法；3.数形结合法等.注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.参考答案：引例1.解

14、：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切(即到C点)时，ZBOC最小，AC=2,0A=3,由勾股定理得：0C=,5,TZBOA=ZACO=90,.ZBOC+ZAOC=90,OAC烽，ZCAO+ZAOC=90,AZBOC=ZOAC,tanZBOC=tanZ随着C的移动，ZBOC越来越大，TC在第一象限，C不到x轴点，即ZBOC90,引例2.a+b2；原题：(2013武汉模拟)如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作OD,以O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交OO于点E,BC=a,AC=b._求证：AE=b+l3a；求a+b的最大值

15、；_若m是关于x的方程：x2+，.：3ax=b2+l3ab的一个根，求m的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】(1)首先连接BE,由厶OAB为等边三角形，可得ZAOB=60,又由圆周角定理，可求得ZE的度数，又由AB为OD的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；首先过点C作CH丄AB于H,在RtAABC中，BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+A2,即可求得答案；由x2+13ax=b2+l3ab，可得(x-b)(x+b+13a)=0,则可求得x的值，继而可求得m的取值范围.【解答】解：(1)连接BE,T

16、OAB为等边三角形,ZAOB=60,AZAEB=30,_AB为直径，ZACB=ZBCE=90,/BC=a,BE=2a,CE=亏a,/AC=b,AE=b+.禺；(2)过点C作CH丄AB于H,在RtAABC中，BC=a,AC=b,AB=1,二a2+b2=l.(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH1+2AD=1+AB=2,Aa+b2,故a+b的最大值为_(3)vx2+l3ax=b2+13ab,Ax2-b2+l3ax-13ab=0,.(x+b)(x-b)3a(x-b)=0,A(x-b)(x+b+iga)=0,Ax=b或x=-(b3a),当m=b时，m=b=ACVAB=

17、1,A0m1,当m=-(b+l3a)时，由(1)知AE=-m,又vABAE2AO=2,A1-m2,A-2m-1,Am的取值范围为0m1或-2m-1.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.引例3.解：连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF丄AC与F,连接AO,如图，vzBAC=60,AzDPE=120.vPE=PD,PM丄DE,AzEPM=60,AED=2EM=2EPsin60=EP=/PA.当P与A、O共线时，且在O点右侧时，OP直径最大.vOO与zBAC两边均相切，且z

18、BAC=60,AzOAF=30,OF=1,AAO=2,AP=2+1=3,ADE=：3PA=3：3.故答案为：D。虽沽(T【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出DE与AP之间的关系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题，难点在于找到DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、0、P三点共线时DE最大.引例3图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质.【专题】探究型.【分析】设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上，易得直线y=-x+k与y轴的交点坐标为(0,k),于是可判断当直线y=-x+k与OA在上方相切时，k的值最大；

19、直线y=-x+k与x轴交于点C,切OA于P,作PD丄x轴于D,AE丄PD于E,连接AB,如图，则C(k,0),利用直线y=-x+k的性质易得zPCD=45,贝仏PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB丄OB,AP丄PC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,所以四边形ABDEJ?x/?J?为矩形,zAPE=45,则DE=AB=1,PE=AP=:,所以PD=PE+DE=+1,然后在RtAPCD222中,利用PC=iEpD得到2+k=.W(+1),解得-1,从而得到n+m的最大值为卫-1.【解答】解：设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上，当x=0时,y=k,即直线y=

20、-x+k与y轴的交点坐标为(0,k),所以当直线y=-x+k与OA在上方相切时,k的值最大,直线y=-x+k与x轴交于点C,切OA于P,作PD丄x轴于D,AE丄PD于E,连接AB,如图，当y=0时，-x+k=0,解得x=k，则C(k,0),v直线y=-x+k为直线y=-x向上平移k个单位得到，:PCD=45,PCD为等腰直角三角形，vCP和OB为OA的切线，AB丄OB,APIPC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,四边形ABDE为矩形，ZAPE=45,DE=AB=1,vAPE为等腰直角三角形，PE=AP=,PD=PE+DE=+1,在RtAPCD中，222vPC=.：pPD,2+k=.：迈(+

21、1),解得k=.迈-1,.n+m的最大值为迈-1.2迸3BT)0【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决本题的关键是确定直线y=-x+k与OA相切时n+m的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点点,ME”.在厶CEM中，于-1WCM升1,27即pWCM违.故答案是:1.解：作AB的中点E,连接EM、CE.在直角ABC中，AB=；占匚+巳匚2=2=5,2.(1)2耳CD4朽；2+2、卫；变式题：(2011邯郸一模)如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，OO的直径AB=5

22、,4AB的不同侧有定点C和动点P,tanZCAB-.其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.当PC=时，CQ与OO相切；此时CQ=.当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长.备用图【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；（2）当点P运动到与点C关于A

23、B对称时，如图1所示，此时CP丄AB于D,由AB为圆O的直径，得到ZACB为直角，在直角三角形ACB中，由tanZCAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求,也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tanZCPB的值，由CP的长即可求出CQ；（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE丄PC于点E，由P是弧AB的中点，得到ZPCB=45,得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由ZCP

24、B=ZCAB，得到tanZCPB=tanZCAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长.【解答】解：（1）当CP过圆心O,即CP为圆O的直径时，CQ与OO相切，理由为：PC丄CQ，PC为圆O的直径，CQ为圆O的切线，此时PC=5；vzCAB=ZCPQ，tanZCAB=tanZCPQ暑，tanZCPQ=，则CQ型；故答案为：5；3CP5333（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP丄AB于D，图1PC=2Cd25在RtAPCQ中，ZPCQ=90,ZCPQ=ZCAB(3)当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE丄PC于点E,P是弧

25、AB的中点，ZPCB=45,CE=BE=2、又乙CPB=ZCAB,tanZCPB=tanZCAB二暑,PE=BE丄PE3tanZCPB42PC=CE+PE=2，迈+=上22由(2)得，CQ令C=l；2.【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.例三、正弦定理解：由垂线段的性质可知，当AD为氐ABC的边BC上的高时，直径AD最短，_如图，连接OE,OF，过O点作OH丄EF,垂足为H，/在RtAADB中，ZABC=45，AB=2.2AD=BD=2,即此时圆的半径为1,由圆周角定理可知ZEOHZEOF=ZB

26、AC=60,在2RtAEOH中，EH=OEsinZEOH=lxj；,由垂径定理可知EF=2EH=l3,故答案为：匚3.例三2答图【考点】垂径定理；三角形中位线定理.【分析】当CDIIAB时，PM长最大，连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC，求出OC长即可.【解答】解：法：如图：当CDIIAB时，PM长最大，连接OM,OC,CDIIAB,CP丄CD,CP丄AB,vM为CD中点，OM过O,OM丄CD,ZOMC=ZPCD=ZCPO=9O,四边形CPOM是矩形，PM=OC,vOO直径AB=8,半径OC=4,即卩PM=4,故答案为：4.法：连接CO,MO,根据ZCPO=ZCM0=90,所以C

27、,M,O,P,四点共圆，且CO为直径.连接PM,则PM为OE的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大.即PMmaF4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度.例四、柯西不等式、配方法1.过O作OE丄PD,垂足为E,PD是OO的弦，OE丄PD,二PE=ED,又:ZCEO=ZECA=ZOAC=90,四边形OACE为矩形，二CE=OA=2，又PC=x,PE=ED=PC-CE=x-2,PD=2(x-2),CD=PC-PD=x-2(x-2)=x-2x+4=4-x,PDCD=2(x-2)(4-x)=

28、-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2,2VxV4,当x=3时,解：如图，分别作ZA与ZB角平分线，交点为P.ACD和厶BCE都是等边三角形，.AP与BP为CD、CE垂直平分线.又圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点.连接OC.若半径OC最短，则OC丄AB.又ZOAC=ZOBC=30,AB=4,OA=OB,AC=BC=2,在直角AOC中，OC=ACtanZOAC=2xtan30=.故选：B.3解：（1）线段AB长度的最小值为4,理由如下：连接OP,AB切OO于P,0P丄AB,取AB的中点C,AB=2OC；当OC=OP时，OC最短,即AB最短，此时AB=

29、4.故答案为：4.例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）求CE最小值，就是求半径OD的最小值。求征最小值，即为求半徑衽最小值.设託=工,则CE=?-y由相陨得；OE:0D=5:3.-=3,CE=S2J3OA0,.点P的坐标为(6,4).(3)连接AB、EB.vAE是圆的直径，:厶ABE=90.ZABE=ZMBN.又vZEAB=ZEMB,EAB-NMB.vA(1,-1),B(5,-1),点O的横坐标为3,将x=0代入抛物线的解析式得：y=4,点C的坐标为(0,4).设点O1的坐标为(3,m),v1C=OA,3(m-4)二：2(叶1)，解得:m=2,点O的坐标为(3,2),0宀=；护+4)2

30、二西，在只仏ABE中，由勾股定理得：BE=J人也，-AB=J(旳13)4匚6,点E的坐标为(5,5).AB=4,BE=6.vEAB-NMB,.NB=.当MB为直径时，MB最大，此时NB最大.MB=AE=2-13,ANB=313L_l【考点】圆的综合题.【专题】综合题.【分析】(1)连接OP,设CD与x轴交于点F.要证PE与QO相切，只需证ZOPE=90,只需证ZOPB+ZEPD=90,由OP=OB可得ZOPB=ZOBP=ZFBD,只需证ZEPD=ZEDP,只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题.连接OE,由于PE=CD,要求线段CD长的最小值，只需求PE长的

31、最小值，在RtAOPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可.设OO与y轴的正半轴的交点为Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1,由此就可得到m的范围.【解答】解：(1)直线PE与OO相切.证明：连接OP,设CD与x轴交于点F.TAB是OO的直径，乙APB=ZCPD=90.E为CD的中点，PE=CE=DE=1CD,ZEPD=ZEDP.TOP=OB,ZOPB=ZOBP=ZDBF.TZDBF+ZEDB=90,ZOPB+ZEPD=ZOPE=90,EP丄OP.TOP为OO的半径，PE是OO的切线.连接OE,TZOPE=9O,OP=1,PE2=

32、OE2-OP2=OE2-1./当OE丄CD时，OE=OF=2,此时OE最短，PE2最小值为3,即PE最小值为匚3,TPE*D,线段CD长的最小值为213.设OO与y轴的正半轴的交点为Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PE丄OP可得点E的纵坐标为1.T点P是圆上第一象限内的一个动点，.m的范围为mV1.【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第(2)小题的关键.【题型训练】1.解：连接OB.如图1,TAB切0O于B,OA丄AC,AZOBA

33、=ZOAC=90,AZOBP+ZABP=90,ZACP+ZAPC=90,VOP=OB,AZOBP=ZOPB,VZOPB=ZAPC,AZACP=ZABC,AAB=AC,作出线段AC的垂直平分线MN,作OE丄MN,如图2,AOEjACjAB2-丫2,又：圆O与直线MN有交点，化10?工r22r,即：100-r220,Ar5.TOA=1O,直线1与OO相离，_.rV10,2；艮rV10.故答案为:2l50)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EG丄DE交射线BC于G.若E与B不重合，问t为何值时，ABEG与氐DEG相似？问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当

34、t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？当点G在线段BC上(不包括端点B、C)时，求四边形CDEG的面积S(cm2)关于时间t(秒)的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定.【专题】综合题；压轴题；分类讨论.【分析】(1)连接OD,DF.那么OD丄AC，则ZAOD=60，ZAED=30.由于ZDEG=90，因此ZBEG=60，因此本题可分两种情况进行讨论：当ZEDG=60，ZDGE=30时，ZBGD=ZBGE+ZEGD=60.这样ZBGD和ZACB相等，那么G和C重合.当ZDGE=60时，可在直角厶AOD中，根据Z

35、A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于ZA=ZAED=30，那么AD=DE，可在直角厶DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DGAB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值.本题可先求出BG的表达式，然后令BGBC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围.由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用ABC的面积-AADE的面积-BEG的面积来求得.在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积.据此可求出S,t的函数关系式.根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值.【解答】解：(1)

36、连接OD，DF.VAC切00于点D,.0D丄AC.在RtOAD中，ZA=30,0A=T3t,0D=0F=t,AD=0AcosA.又VZFOD=90-30=60,ZAED=30,223+.AD=ED诗.VDE丄EG,ZBEG=60,BEG与厶DEG相似.VZB=ZGED=90,当ZEGD=30,CE=2BE=2(6：3-,BE=6.：3-t,VABEGsADEC,.里里,2CDDE=T则ZBGD=60=ZACB,此时G与C重合,3+3+DE=AD,CD=12-2212-2当ZEGD=60.ADG丄BC,DGAB.在RtADEG中，ZDEG=90,DE=,.DG=一3t.在RtABC中，ZA=30

37、,BC=6,.AC=12,AB=6；3,：CD=12-普.DGAB,解得.答：当t为或时，BEG与AEGD相似；丄让M-:、ILVAC切00于点D,.0D丄AC.在RtOAD中，ZA=30,OA3t,?.ZAED=30,.DE丄EG,ZBEG=60.在RtABC中，ZB=90,ZA=30,BC=6,AB=6一3,BE=6：3-t.RtBEG中，ZBEG=60,BG=BEtan60=18-寻.当0W18-弓tW6,即善tW4时，点G在线段BC上；当18-舟6,即OVtV时，点G在线段BC的延长线上；过点D作DM丄AB于M.在RtADM中，/人=30,。“丄人。丄匚24.S=Saabc_Sued_

38、sbeg=33-蔦彳2-27：3t=等器)2+年(条V4).，最大值为罕【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点.3.D；4.解：当P点移动到平行于OA且与0D相切时，AAOP面积的最大，如图，VP是0D的切线，DP垂直与切线，延长PD交AC于M,则DM丄AC,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AC=:应e2+ec=5,OA气,.ZAMD=ZADC=90,ZDAM=ZCAD,.ADMsAACD,.世型,VAD=4,CD=3,CDAC121217AC=5,DM占，PM=PD+DM=1+=AOP的最大面积555PM)JU

39、L更【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；5.解：如图，设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD、CF、CD,则FD丄AB.?ZACB=90,AC=8,BC=6,AB=10,FC+FD=PQ,FC+FDCD,T当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，CD=BCACmAB=4.8.故选：B.6.2：2；7.解：若ABE的面积最小，则AD与OC相切，连接CD,则CD丄AD；RtAACD中，CD=1,AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2l2；-ac

40、d寺dCD=_迈;易证得AOEADC,=)2=l)24二SAabe=SaAOB-SAaoe=*2x2=2；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C.:乙AOC=ZADC=90,AC=AC,OC=CD,ARtAAOC竺RtAADC,AAD=AO=2,连接CD,设EF=x,ADE2=EFOE,vCF=1,aDE=,ACDE-AOE,.CD_CE,即1=益+1AOAE22%丘(k+2)解得弋，SBEXAOABE_2X(|+l+2)2故选:B.【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与OC相切时，ABE面积的最大.,._9.解：当PC丄AB

41、时，PQ的长最短.在直角ABC中,AB=理护+BC乙梓+4乙4迈,PC=*AB=2一2.TPQ是OC的切线，.CQ丄PQ,即/CQP=90,PQ=:讦故选A.【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当10.解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM,PD,可得F为ED的中点，TzBAC=60,AE=AD,二AED为等边三角形，AF为角平分线，即zFAD=30,在RtAAOM中，OM=1,zOAM=30,二OA=2,PD=PA=AO+OP=3，在RtAPDF中，zFDP=30,PD=3,PF二，根据勾股定理得：2FD=F於pp

42、乙孕，则DE=2FD=3亡.同理可得：DE的最小值为|3,33DE33。11.1mn5；12.0m1；13.解：设P(x,y),tPA2=(x+1)2+y2,PB2=(x-1)2+y2,PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2,TOP2=x2+y2,.PA2+PB2=2OP2+2，当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，OP的最大值为OM+PM=5+2=7,PA2+PB2最大值为100.【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大.附:1.如图，直线莖+4分别与x、y轴交于点A、B,以OB为直径作OM,OM与直线

43、AB的另一个交点为D.(1)求ZBAO的大小；(2)求点D的坐标；(3)过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：IQO-QDI的最大值.【考点】一次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出ZBAO的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；连接OD,过D作DE丄OA于点E,根据直径所对的圆周角是直角可得ZBDO=90,再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出OD,直角三角形两锐角互余求出ZDOE=60，然后解直角三角形求出OE、DE,再写出点D的坐标即可；根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时IQO-QDI=OD的值最大，然后求解即可.【解答】解：(1)T直线y=-x+4分别与x、y轴交于点A、B,心a当y=0时，-Bx+4=0，解得x=4寸E；当x=0时，y=4,aA(3，0),B(0,4).3aOA=4,OB=4,在RtAAOB中，vtanZBAO_B-,azBAO=30；OA433(2)连接OD,过D作DE丄OA于点E,vOB是OM的直径，aZBDO=ZADO=90,在RtAAOD中，vZBAO=30,aODOE=ODcosZDOE=2，二点D的坐标为(T3,DE=O