上海教育版数学高一上2.4《基本不等式及其应用》word教案2篇

1、2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：a2b22ab（a、bR）、ab2ab（a、b为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点两个基本不等式的知识发生过程

2、和证明；基本不等式的应用.难点基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计新课引入基本不等式1及其证明基本不等式1的图形解释图形引入基本不等式2基本不等式2的证明基本不等式的简单应用（探索）课堂小结作业布置（含课外思考）六、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32、a20（aR）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.二、新课讲授1、基本不等式1基本不等式1对于任意实数a和b，有a2（1）基本不等式1的证明b22ab，当且仅当ab时等号成立.证明：因为a2b22abab20，所以a2b22ab.0.当ab时，ab

3、当ab时，ab220.所以，当且仅当ab时，a2b22ab的等号成立.（2）基本不等式1的几何解释解释1边长为a的正方形面积与边长为b的正方形面积之和大于等于以a、b为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当ab时等号成立）AED已知正方形ABCD，分别在边AD、边DC上取点E、F，使得DEDF.分别过点E、F作EGBC、FHAB，垂足为G、H.EG和HF交于点M.由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积剩余部分的面积，当且仅当点E移至AD中点时等号成立.aMHFbBGC解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a、b、c分别表示

4、勾、股、弦，那么，c2bab表示“弦图”中两块“朱实”的面积，ba表示“中黄实”a中黄实的面积.于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c为边长的正方形“弦实”的面积，即朱实“弦图”的现代数学图示c2ba22abb22aba22aba2b2这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c为边长的正方形“弦实”的面积四块“朱实”的面积即，a2b22ab（当且仅当ab时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O，D是半圆上任一点，AB是直径.DCO过D作DCAB，垂足为C.显然有线段OD的长度大于等于垂线段DC的长度.AabB设ACa，CBb，请用a、

5、b来表示上述这个不等关系.（即且仅当ab时等号成立.）ab2ab，当基本不等式2对于任意正数a、b，有ab2ab，当且仅当ab时等号成立.我们把ab2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式ab0，所以abab.证明：因为ab2abab0.当ab时，ab0.当ab时，2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明2222所以，当且仅当ab时，abab的等号成立.2另证：因为a、b为正数，所以a、b均存在.ab2由基本不等式1，得22ab，当且仅当ab时等号成立.即ab2ab，当且仅当ab时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负

6、数a、b，有abab，当且仅当ab时等号成立.2例1已知ab0，求证：ba2，并指出等号成立的条件.ab证明：因为ab0，所以a、b同号，并有0，0.baab所以，bababa22.当且仅当，即ab0时等号成立.ababab说明1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若ab0，则代数式baba的取值范围是什么？（2，当且仅当ababab0时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？猜想：由几何画板电脑演示得出.A中点C折点MB解：设矩形的长、宽分别AaMbMB为a、b（a、bR）矩形面积Sab，正方形面积S且abm（定值

7、），则同样周长的正方形的边长为ab22ab2.ab，又由不等式的性质得ab，即SS.由基本不等式2，得abab2222由题意，abm（定值），所以S（定值）.当且仅当ab，即矩m2m224形为正方形时，矩形的面积最大.说明当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若0 x1时，有x1x11，当且仅当x时等号成立.（事实上，由4211yx1xx2xx（0 x1），得0y22411，当且仅当x时等42号成立.）三、课堂小结略四、作业布置1、练习2.4（1）2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系

8、？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是基本不等式及其应用的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察猜测归纳证明”的探索流程，让学生通过

9、观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.2.4（2）基本不等式及其应用一、教学目标设计1、进一步掌握两个基本不等式：a

10、2b22ab（a、bR）、ab2ab（a、b为任意正数）2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.3、进一步理解代换的数学方法.二、教学重点及难点基本不等式的简单应用.三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用（几何问题）基本不等式的应用（代数证明）拓广引申课堂小结作业布置（含课外思考）四、教学过程设计一、复习基本不等式1对于任意实数a和b，有a2b22ab，当且仅当ab时等号成立.基本不等式2对于任意正数a、b，有ab2ab，当且仅当ab时等号成立.我们把ab2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的

11、算术平均数不小于它们的几何平均数.说明复习过程中需强调三点：1、两个基本不等式各自适用的范围.2、两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.二、新课讲授（2）几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.例3在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？解：设矩形的长、宽分别为a、b（a、bR）且abm（定值），则同样面积的正方形的边长为ab.矩形周长C2ab，正方形周长C4ab.由基本不等式2，得abab，又由不等式的性质得2ab4ab，即CC.2由题意，abm（定值），所以C4m（

12、定值）.当且仅当ab，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.说明当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.例如，若x0时，x12，当且仅当x1时等号成立.（一方面当x0时，有x2，当且仅当x1时等号成立.另一方面当x0时，有x2，即x11xxx1x2，当且仅当x1时等号成立.）两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.（2）代数证明例4求证：对于任意实数a、b、c，有a2b2c2abbcca，当且仅当abc时等号成立证明：由基本不等式1，得a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac

13、，把上述三个式子的两边分别相加，得2a2b2c22abbcca，即ccaa2b2c2abb，当且仅当abc时等号成立.另证：a2b2c2abbcca12a22b22c22ab2bc2ca21ab2bc2ac20.2即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时等号成立.例5均值不等式链1122设a、bR，则2aba2b2abab（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当ab时等号成立.证明：（1）由a、bR，得11ab21112abab11abab，当且仅当ab时等号成立（2）abab2，当且仅当ab时等号成立，已证.（3）由a2b22ab2a2abb22a2b2ab2242aba2b22a

14、b24ab2.所以，当a、bR时，有aba2b222，当且仅当ab时等号成立.1122ab，当且仅当ab时等号成立.综合（1）、（2）、（3）得，当a、bR时，有且仅当ab时等号成立.说明事实上当a、bR时，有：ab222aba2b2abab，当a2b2abab222.ab2abab24abab，当且仅当ab时等号b证明：由a22成立.22由a2b22ab2a2b2ab2a2b2ab2242aba2b22ab24ab2.即，a2b2abab222.不等式a2b2ab22等号成立当且仅当ab.不等式abab等号成立当且仅当ab0.22不等式a2b2ab22等号成立当且仅当ab0.例6甲、乙两人同

15、时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为a，后一半时间的行走速度为b；乙用速度a走完前半段路程，用速度b走完后半段路程；问：谁先到达B地？t11b1tab。Bt解：设A、两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t、，则Sa12SSt2221t22tabt2t。ab41ab41ba因此211111abSabvSa1b11t22v2t111t22abab2ab所以，当ab时，tt，甲、乙两人同时到达B地；当ab时，tt，甲先到B2121地。另解：设A、B两地的距离为S，甲、乙两人用时分别为t、t，平均速度分别为v、v，1212则tt21SSS12vv。121121因而，当ab时，vv，甲、乙两人同时到达B地；当ab时，vv，甲先到1212B地。三、课堂小结略四、作业布置1、习题2.41、2、4、72、思考题均值不等式链的几何解释.五、教学设计说明本堂课是基本不等式及其应用的第二节课，在学生掌握两个基本不等式的前提下，介绍了基本不等式的简单应用.从上堂课的最后一个几何问题入手，得出例3的结论，并在此基础上归纳出利用基本不等式求最值（最大值、最小值）的基本方法