专题极限与导数(理)

1、专题8：极限与导数（理）一、考点回顾1.数学归纳法是证明关于自然数n(改为“与自然数n有关”)的命题的一种方法，在高中数学中有着非常重要的用途，是高考命题的热点内容之一.2.函数极限和数列极限仍然以选择题或填空题为主，主要考查基本计算，有时也在解答题的最后一问出现，中等或偏易的难度（文科不要求函数的极限）.3.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.4.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式问题等，是（

2、改为“已成为”）高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用5.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值.二、经典例题剖析考点一：数学归纳法满足Sn.求a,a,a，猜想a的通项公2a例1：设正数数列的前n项和Snna12n123nn式，并用数学归纳法证明；设bn1aann1b，数列n的前n项和为Tn，求limT.na解析：（1）由题设可求a1,a3,a5，猜想数列

3、123n的通项公式为：a2n1nN*，下面用数学归纳法证明：n当n1时，显然成立；假设当nk时，猜想成立，即a2k1，那么当nk1时，k22由Sk1a12a12k1,Skk22112a1244ak1Sk1a12a12Sk1kkak1k1化简可得：ak12ak22ak12a0，即akk1aakk1a20，kak1a或akk1a2，又a0，aknk1a2，即kak12k122k11，所以，当nk1时，猜想成立.1/17由、可知，对一切nN*，有a2n1.n，则baa2n1n122n12n1（2）由a2n1，bnnnn111111n11所以limTlim1n2n.Tbbbn12n1n11111111

4、112335572n12n122n1112n12答案：（1）证明见解析；（2）12点评：归纳、猜想、证明这一解题模式，是解决数列问题的常用方法，在证明过程中，要注意由nk到nk+1时，归纳假设的合理运用；另外，注意裂项项消法求和及常用的数列极限.考点二：数列的极限na例4：已知数列n满足a10,a1,aa2nn1a2n2,求lima.n解析：由aann1a2n2,得2anan12an1an22，数列aann1为常数列.2，a212a，数列a是32n133n2aa2,2aa21nn1n2公比为,首项为的等比数列.，a23332，12221n1na332nn221n12答案：3，liman23.a

5、点评：本题主要考查特殊数列通项公式的求解和数列的极限.难点在于求出数列的n通项公式.考点三：函数的极限和连续性2/17例5：设fx02xbx0,x0,试确定b的值，使limfx存在.12xx0,x0解析：limfxlim2xbb，limfxlim12x2，x0 x0 x0 x0当且仅当b2时，有limfxlimfxx0 x0所以，当b2时，原函数极限存在.答案：b2点评：函数在某点处存在极限与函数在该点处连续的概念不同.存在极限只要求在该点.处的左右极限相等；而在该点连续则还要求左右极限的值同时等于函数在该点处的函数值11xx0fxx0例6：设续.,xabx,，（1）求fx；（2）求a的值使f

6、x在x0处连（解析：1）当x0时，x0fx1x1x；当x0时，x0，fxabx.x1x1x0 x0所以，fxabx,.（2）limfxlimx0 x011x111limlimx011xx011x2，limfxa.因为x0，此时limfxf0.fx在x0处连续，则ax01122x；（2）ax0 xabx,答案：（1）f1x1,x012.点评：本题主要考查函数连续的概念，应和上一题进行对比考点四：导数的概念及其运算4x2,x10例3：用定义求y5在点x10处的导数.16x80,x103/17解析：分别求出limy在x10处的左右极限，x0 x410 x2x216xx2lim5limlim16x16

7、ylimx0 x44x0 x0554x0 xx5limlimx0 x01610 x28016108016xlimx0 xx16limyyylimlimx0 xx0 xx0 x16，即y|x1016.答案：16点评：导数的定义给出了求导的最基本的方法，如果用求导公式、法则都无法求导时，就要考虑用定义法去求导，本题是分段函数在分界点处的导数，只能用定义法去求，这时要.注意，只有当左、右导数都存在且相等时，函数在这点的导数才是存在的考点五：函数的最值与极值例2：求函数f(x)ln(1x)14x2在0,2上的最大值和最小值.解析：在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得f(x)11x,1x

8、2令11x21x0,化简为x2x20,解得x2（舍），x1.当120 x1时,f(x)0,f(x)单调递增；当1x2时,f(x)0,f(x)单调递减.所以f(1)ln21为函数f(x)的极大值.4又因为f(0)0,f(2)ln310,f(1)f(2),所以函数f(x)在0,2上的最小值为f(0)0，函数f(x)在0,2上的最大值为f(1)ln214.答案：最小值为f(0)0，最大值为f(1)ln214.点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.考点六：导数的应用例7：如果函数yfx的导函数的图象如图所示，给出下列判断：4/17函数yf

9、x在区间3,内单调递增；12函数yfx在区间1,3内单调递减；2函数yfx在区间4,5内单调递增；当x2时，函数yfx有极小值；当x1时，函数yfx有极大值；2则上述判断中正确的是_.解析：由导函数图像可知，当x,2时，fx0，所以fx在,2上为减函数，同理可知：fx在2,4上为减函数.fx在2,2和4,上为增函数.所以可以排除和，是正确的.又由于函数fx在x2的左侧递增，右侧递减，所以x2时，函数有极大值；在x11左右两侧函数的导数均为正数，所以x不是函数的极值点，22由于g(x)的图象是对称轴为x,从而排除和.答案：.点评：本题主要考查函数的单调性和极值与导数的关系，属于逆向思维的题目例8

10、：已知向量a(x2,x1),b(1x,t),若函数f(x)ab在区间1,1上是增函数，求t的取值范围.解析：解法1：依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,则f(x)3x22xt.，若f(x)在(1,1)上是增函数,则在(1,1)上可设f(x)0.f(x)0t3x22x,在区间(1,1)上恒成立,考虑函数g(x)3x22x,135/17开口向上的抛物线，故要使t3x22x在区间（1，1）上恒成立tg(1),即t5.而当t5时,f(x)在(1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(1,1)上是增函数.故t的取值范围是t5.解法2：依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,f(

11、x)3x22xt.，若f(x)在(1,1)上是增函数,则在(1,1)上可设f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当f(1)t10,且f(1)t50时，f(x)在(1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(1,1)上是增函数.，故t的取值范围是t5.答案：t5点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.例9：（07年海南理科）设函数f(x)ln(xa)x2，（1）若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2解析：（1）f(

12、x)132x，依题意有f(1)0，故axa2f(x)的定义域为，当x1时，f(x)0；当1x12x23x1(2x1)(x1)从而f(x)33xx2233221时，f(x)0；当x时，f(x)022f(x)分别在区间，1，单调增加，在区间1，单调减少从而，311222（2）f(x)的定义域为(a，)，f(x)2x22ax1xa方程2x22ax10的判别式4a286/17若0，即2a2，在f(x)的定义域内f(x)0，故f(x)的极值若0，则a2或a2若a2，x(2，)，f(x)(2x1)2x2222当x时，f(x)0，当x2，222，时，f(x)0，所以f(x)无极值若a2，x(2，)，f(x)

13、(2x1)2x20，f(x)也无极值若0，即a02或a2，则2x22ax1有两个不同的实根22x1aa22aa22，x222当a2时，xa，xa，从而f(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极12值当a2时，xa，xa，f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值12判别方法知f(x)在xx，xx取得极值12综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，)f(x)的极值之和为1ef(x)f(x)ln(xa)x2ln(xa)x2lna211ln2ln1211223答案：（1）a；（2）见详解.2.点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用三、方法总结与2008年

14、高考预测（分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结）（一）方法总结1.极限的概念和运算法则是微积分中最重要的工具，也是学好导数的基础.它是历年高考的重点考查内容，多与分类讨论相结合.通常与数列结合的题目要多一些，解答时要求先求出数列的通项公式或是前n项和公式再求极限.求函数的极限时，经常要用到常见函数的极限及两个重要极限（解决函数极限的小题时可用洛毕达法则）.通过恒等变形用函数极限的四则运算法则求相关函数的极限，或利用初等函数在其定义域内每一点处的极限值等于该点函数值求函数的极限或利用函数的极限判定函数在给定点处的连续性.归纳法也是本章常见的考查点，一定要注意用数学归纳法解题

15、时的步骤.2.导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关7/17函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象.要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法.应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景.（二）2008年高考预测函数极限和数列极限仍然以选择或填空题为主，有时会在解答题的最后一问出现难度中等或偏易.（文科生对函数极限不做要求）.导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义.也可以解答题的形式出现，即以导

16、数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用.四、强化训练（要求选择填空解答兼有并留有解答空间，便于用户直接应用）（一）选择题x211.已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）42A1B2C3D42.已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时（）Af(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Df(x)0，g(x)03.下列函数在x处连续的是（）f(x)1x1(x0)(x0)

17、f(x)lnx1(x0)1(x0)xf(x)f(x)0(x0)x4.已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是（）1,2(,3)(6,)3,6D.(,1)(2,)8/175.函数yx33x3在,上的最小值是（）3522A.898B.1C.338D.5A1B.0CD.11232n12n6.lim()的值为（）nn1n1n1n1n1127.设p:f(x)exlnx2x2mx1在(0，)内单调递增，q:m5，则p是q的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件8.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象

18、如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A1个B2个yyf(x)9.已知fx2,x1C3个D4个2x3,x1a，下面结论正确的是（）bOxAfx在x1处连续Bfx5Climfx2x1Dlimfx5x110.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（）A(335，)B(，2)C(，)D(2，3)222211.函数fx在点x1和x2处的极限值都是0，而在点x2处不连2n（A）11(xa)(xb)xc续，则不等式f(x)0的解集为（）A（2，1）B（，2）（2，+）C（2，1）（2，+）D（，2）（1，2）3n2n(1)n(3n2n)12.若数列a的通项公式是a，n1,2,

19、，则nnlim(aaa)等于（）12n171925（B）（C）（D）24242424（二）填空题9/17x21axb)0，则a_1_，b_1_.13.若lim(x1x14.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y12x2，则,0)，其中N为正整数，设S表示ABC外接圆的f(1)f(1)2215.已知点A(0,),B(0,),C(4nn2nnn面积，则limS=.n（16.已知函数y=f（x）在R上处处可导，f（0）=0，当x0时，xfx）0.给出下列四个判断：f（2）f（1）；y=f（x）不可能是奇函数；存在区间a，a，使得当x、xa,a时,f(12xxf(x)f(x)12

20、)1222成立；y=xf（x）在R上单调递增.判断正确的序号是_.（请填上所有判断正确的序号）（三）解答题17.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经0过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（）x的值；0（）a,b,c的值.18.已知函数f(x)xax2b在x1处取得极值2.（）若P(x,y)为函数f(x)ax图象上任意一点，直线L与f(x)x2bx2b（）求函数f(x)的解析式；（）当m满足什么条件时，f(x)在区间(m,2m1)为增函数；00图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围.ax的19.已知函数h(x)13x2ax21,g(x)6lnxm

21、（）若yh(x)在(1,)单调递减，求a的取值范围.（）当a=4时，设f(x)h(x)，是否存在实数m，使得y=f(x)的图象yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.10/1720.已知函数fx1x1xeax.21.设x,x是fxax3x2xa,bR,a0的两个极值点，fx的导函数是32（）设a0，讨论yfx的单调性；（）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围.b112yfx（）如果x2x4，求证：f23；12（）如果x2,xx2，求b的取值范围；121（）如果a2，且xx2,xx,x时，函数gxfx2xx21122值为ha，求ha的最大值.的

22、最小e|x|（其中e为自然对数的底数）22.已知函数f(x)1x21（）判断f(x)的奇偶性；（）在(,0)上求函数f(x)的极值；1（）用数学归纳法证明：当x0时，对任意正整数n都有f()n!x2nx解析答案：（一）选择题：1.A2.B3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.D10.B11.C12.C(二)填空题：13.a1，b114.315.416.（三）解答题：17.解法一：（）由图像可知，在,1上fx0，在1,2上fx0，在2,上fx0故f(x)在（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减，11/17得12a4bc0,解得a2,b9,c12.abc5,因此fx在x1处取得极大值，

23、所以x10（）f(x)3ax22bxc,fff由（1）0，（2）0，（1）5，3a2bc0,解法二：（）同解法一（）设f(x)m(x1)(x2)mx23mx2m,又f(x)3ax22bxc,b所以am3m,c2m32m3f(x)x3mx2|2mx,32由f(1)5，即m3m2m5,32得m6,所以a2,b9,c1218.（）f(x)a(bx2)(x2b)2a(b1)f(1)0(1b)2f(1)2a0由已知,21ba4b1f(x)4xx21（）f(x)4(1x2)(x21)20,得1x112/172m111m0）2m1mf(x)在(1,1)是增函数又f(x)在(m,2m1)上为增函数m1（）直线

24、I在P点的切线斜率kf(x)044x20(x21)2048x21(x21)200令t11,则0t1,k8t24t8(t)21x21420时,k,t1时,k42当t11minmax41k4）219.（）h(x)x22axx(x2a)1分）当a0时，2a0，在x(,2a),(0,)时，h(x)0.h(x)在(,2a)(0,)上单调递减，符合题意当a0时，2a0，h(x)0恒成立.h(x)(,)上单调递减，符合题意当a0时，2a0，在x(,0),(2a,)时，h(x)在(,0)(2a,)上单调递减则若h(x)在(1,)上单调递减，需2a1，即a11,0a22hx在1,单调减减，a的取值范围是(,综合

25、以上可知，若12（）函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.(x)x28x6lnxm6x28x62(x1)(x3)(x)2x8(x0)，xxx当x(0,1)时，(x)0,(x)是增函数；13/17当x(1,3)时，(x)0,(x)是减函数；当x(3,)时，(x)0,(x)是增函数；当x1，或x3时，(x)=0(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315，即7m156ln3(x)m6ln3150fx1xax1xaxee1xaxaeeax1x1x2当x充分接近0时，x0，当x充分大时，x0要使

26、x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须(x)m70极大值极小值所在存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为7,156ln3.20.（I）fx的定义域为,11,1x1x2eax1x2ax22a1x20（其中x1）恒成立，所以fx0ax22a0eax因为当0a2时，fx0在,01,上恒成立，所以fx在,11,上为增函数；当a2时，fx0在,00,11,上恒成立，所以fx在,11,上为增函数；t当a2时，ax22a0的解为：,t,11,（其中t12a）所以f(x)在各区间内的增减性如下表：,tt,tt区间,11,fx的符号+fx的单调性（II）

27、显然f01增函数减函数增函数增函数当0a2时，fx在区间0,1上是增函数，14/17f40216a4b301a（）解：由第（1）问知由xx0，两式相除得1xxab112即b14分ab1，x0,25分xx21x0，则x令函数x0 x2当x0,2时，bx21，即b7分2444b1,x2,0 xx2令函数x所以对任意x0,1都有fxf0；tt当a2时，f是fx在区间0,1上的最小值，即ff0，这与题目要求矛盾；若a0，fx在区间0,1上是增函数，所以对任意x0,1都有fxf0.综合、，a的取值范围为,221.（I）证明：fxax2b1x1x,x是方程fx0的两个根1分12f204a2b101由x2x4且a0得2分12132得4a2b0f24a2b114a2b333分b1xx21212xx1111xxxxxx1212121当0 x2时，由xx0 x0 xx2即xx211222121111111111xx2x22x在0,上是增函数111111当2x0时，x0 xx2即xx21212211111111xx21x0则同理可证x在,0上是增函数当x2,0时，bx21174综所述，b的取值范围是,1744（）解：fx0的两个根是x,x，可设fxaxxxx121210分gxaxx1xx22xx2axx2xx12aaxx,x12xx0,xx0又a2211