七升八数学暑假衔接

1、.七升八数学暑假讲义目录第一讲相交线与平行线的相关概念第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲直线相交时有关角的求法相交线与平行线中的拐角问题相交线与平行线中的折叠问题平面直角坐标系中的相关结论图形的平移及点的坐标的变化实数中分类讨论的数学思想实数中数形结合的数学思想实数中整体代入的数学思想方程组的解法（代入、加减）用二元一次方程组解应用题不等式的解及不等式的解集实际问题与一元一次不等式组抽样调查与频数分布直方图.第一讲：相交线与平行线的相关概念一、知识框架两条直线相交邻补角、对顶角对顶角相等垂线及性质点到直线的距离相交线两条直线被第三条直线所截同

2、位角、内错角、同旁内角判定平平行公理行线性质平移二、典型例题1.下列说法正确的有()对顶角相等;相等的角是对顶角;若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.ADA.1个B.2个C.3个D.4个BC2.如图所示,下列说法不正确的是()A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段.3.下列说法正确的有()在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;在平面内,有且

3、只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个F4一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，CD这两次拐弯的角度可能是（）ABEA.第一次向左拐30第二次向右拐30B.第一次向右拐50第二次向左拐130C.第一次向右拐50第二次向右拐130D.第一次向左拐50第二次向左拐13056如图,已知ABCD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72,则2=_.7如图,ABEFCD,EGBD,则图中与1相等的角(1除外)共有()A.6个B.5个C.4个D.3个8如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？l2l1Ol3.10

4、.如图所示,L1,L2,L3交于点O,1=2,3:1=8:1,求4的度数.(方程思想)l14321l2l311如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你证明所得的四个关系.ABABPABPPABCDCDCDCDP(1)(2)(3)(4)12如图，若AB/EF，C=90，求x+y-z度数.分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=90A1EB13已知：如图，BAPAPD180，12求证：EFFC2PD.第二讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为(x,0),即纵坐标为0;y轴上的点

5、的坐标为(0,y)，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征.设P(x,y)、P(x,y)111222P、P两点关于x轴对称xx，且yy;121212P、P两点关于y轴对称xx，且yy;121212P、P两点关于原点轴对称xx，且yy。1212123、距离（1）点A(x,y)到轴的距离：点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：A(x,0)、B(x,0)，则AB|xx|；A(0,y)、B(0,y)，则AB|yy|；ABABABAB二、典型例题1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy0,则点M的位置()A第二、第三象限B第三、第四象限C第二、第四象

6、限D第一、第四象限2点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）Ax轴正半轴上Bx轴负半轴上Cy轴正半轴上Dy轴负半轴上3已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）A（-1，-2）B（1，2）C（-1，2）D（-2，1）5如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第_象限，点Q（x-1，1-y）在第_象限6如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为（）.A(8，7)B(7，8)C(8，9)D(8，8)7在平

7、面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）A（3，7）B（5，3）C（7，3）D（8，2）8已知点P（x,x），则点P一定（）A在第一象限B在第一或第四象限C在x轴上方D不在x轴下方9三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A（2，2），（3，4），（1，7）B（-2，2），（4，3），（1，7）C（-2，2），（3，4），（1，7）D（2，-2），（3，3），（1，7）11若点P、Q的坐标是（

8、x1，y1（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（x1x2y1y22）”2，已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系4)12如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OA，则点A的坐标是（）3)4)(4，(3，(3，4)(4，3)分析：.13如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积解：做辅助线如图14如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（2，8），（11，6），（14，0），（0，0）（1）确定这个四边形

9、的面积，你是怎么做的?（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？.y15如图，已知A1(1,0)、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A7A6A10A3A2A5（2，-1），则点A2007的坐标为_.A4oA1A5xA8A9第三讲：二元一次方程组一、相关知识点1、二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整xy0 xy0y1y12x3y50y1的解你认为上面的解答过程哪个对？为什么？2x3y50y23x2y12x3y50中，得x2y50，2x3y50所以不是方程组.式方程称为二元

10、一次方程2、二元一次方程的标准式：axbyc0a0,b03、一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解4、二元一次方程组的定义：方程组中共有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组5、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解二、典型例题1下列方程组中，不是二元一次方程组的是（C）x1，xy1，xy1，yx，2有这样一道题目：判断x3，是否是方程组x2y50，的解？2x3y50小明的解答过程是：将x3，y1代入方程x2y50，等式成立所以x3，是方程组x2y50

11、，的解小颖的解答过程是：将x3，y1分别代入方程x2y50和x3，x2y50，.3若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（）Ak=-4Bk=4Ck=-3Dk=36m3n104解方程组3m2n100方法一：（代入消元法）12方法二：（加减消元法）方法三：（整体代入法）3x25y130.95已知方程组的解是，则方程组的解3a5b30.9b1.2Ax8.32a3b13a8.32x23y113是（）x10.3x6.3x10.3BCDy1.2y2.2y2.2y0.2.y1345x6453xyx:y3:27解方程组3x5y38解三元一次方程组12xy1

12、x2z2y3x2yz8(1)(2)(3)分析：三元一次方程组消元转化消元二元一次方程组转化9字母系数的二元一次方程组（1）当a为何值时，方程组ax2y13xy3一元一次方程组有唯一的解x2y1（2）当m为何值时，方程组有无穷多解2xmy2.10一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1的度数为x，2的度数为y，则得到的方程组为Axy50，xy50，xy50，xy50，BCDxy180 xy180 xy90 xy9012A0.9x1.1y11为了改善住房条件，小奥的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方

13、米，两套楼房的房价相同第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍为了计算两套楼房的面积，小奥设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（）1.1x0.9y0.9x1.1y1.1x0.9yBCDyx24xy24xy24yx2412某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数不超过20千克20千克以上但不超40千克以上（千克）每千克价格6元过40千克5元4元（1）当0 x20，y40时，由题意可得：xy50张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？分析：由题意知，第一次

14、购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意0 x25，x14，解得6x5y264y36.xy50 x32（2）当040时，由题意可得：，解得(不合题意，6x4y264y18舍去)xy50（3）当20 x25时，则25yb，则a+cb+c（a-cb-c）。性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若ab且c0，则acbc。性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若ab且c0，则acb则（1）当xa时，则xa，即“大大取大”xbxa（2）当xbxa（3）当xb时，则xb，即“小小

15、取小”时，则bxa，即“大小小大取中间”xa（4）当时，则无解，即“大大小小取不了”xb二、典型例题：1下列关系不正确的是（）A若ab，则baB若ab，bc，则acC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd2已知xy且xy0，a为任意有理数，下列式子中正确的是（）AxyBa2xa2yCxayaDxy3下列判断不正确的是（）A若ab0，bc0，则ac0B若ab0，则11abC若a0，b0，则ab0D若ab，则b11abb4若不等式axb的解集是x，则a的范围是（）a.A、a0B、a0C、a0D、a05解关于x的不等式mx23m5x解：mx5x3m2m5x3m21当m5时，m50,则m5

16、x3m2m52当m5时，m50,则x3m2m56解关于x的不等式2axa1。解：2-a0，即a2时，xa12a2-a2时，xa12a2-a=0，即a=2时，不等式即0 x3，则m的取值范围是（）xm10关于x的不等式组3x2有四个整数解，则a的取值范围是（）4解：2x8x84x1Am3Bm3Cm3Dm3分析：2x3(x3)1xaA115115115115aBaCaDa424242421224a13，解得：1111已知关于x、y的方程组的解适合不等式2xy1，求a的取值范围.x8分析：不等式组可化为x24a所以5a42x2ya1xy2a1解法一：由方程组可得.3ya25a1x32xy15a1a2

17、133a13a的取值范围是a13。解法二：（1）+（2）：2x-y=3a由题意：3a1所以a1312解下列不等式（1）x5（2）x2解：（1）不等式解集为：524a5（2）不等式解集为x2或x2思考题：解下列含绝对值的不等式。（1）2x13（2）2x143.第四讲：一元一次不等式（组）的应用一、能力要求：1能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。2能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3能够用分类讨论思想解有关问题。4能利用不等式解决实际问题二、典型例题1m取什么样的负整数时，关于x

18、的方程12x1m的解不小于3.分析：解方程组x2ya0分析：解方程得：x=2m+2由题意：2m+2-3，所以m-2.5符合条件的m值为-1，-22已知x、y满足x2yaxy2a120且x3y1，求a的取值范围.x5a2得xy2a10y3a1代入不等式，解得a123比较a23a1和a22a5的大小（作差法比大小）解：.a23a1a22a5a23a1a22a5a6（1）当a60,即a6时,a23a1a22a5（2）当a60,即a6时,a23a1a22a5（3）当a60,即a6时,a23a1a22a55k取怎样的整数时，方程组x04若方程组的解为x、y，且2k0此时，不满足y0（2）当k0时，由13

19、，得3kx6y9由2k，得3kxk2y4k由43，得34k26y4k9y4k9k26把y4k9k26代入2，得3x4k9kk263k8xk264y04k903k84k908934k取整数值为：k2,1,1,2。.6若2(a-3)2aax4分析：解不等式2(a-3)，求不等式x-a的解集352a20得：a37由ax4x-a得（a-5）x-a5ax420因为a所以a-55aa57阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.不等式x1x20的解的过程如下：解：根据题意，得x10eqoac(,1或)x10eqoac(,2)x20 x20解不等式组eqoac(,1)，得x2；解不等式组eqoac(,2)，得x

20、1所以原不等式的解为x2或x1请你按照上述方法求出不等式分析：典型错误解法：x2x50的解.由不等式x2x20 x200得：或x5x50 x50所以原不等式的解为x5或x2正确解法：由不等式x2x20 x200得：或x5x50 x50所以原不等式的解为x5或x28目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为y和y，请算一算，哪种对用户合算.式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元若每月通话时间为x12解：y580.

21、4xy0.6x12（1）若yy12则580.4x0.6x解得：x290所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。（2）若yy12则580.4x0.6x解得：x290所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。（3）若yy12则580.4x0.6x解得：x290所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。9某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60

22、元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称甲乙饮料名称AB20克30克40克20克20 x30100 x2800分析：（1）据题意得：40 x20100 x2800解不等式组，得20 x40因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。（2）由题意得：y2.6x2.8100 x.整理得：y0.2x280因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低10某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生

23、产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，家电名称空调器彩电冰箱才能使产值最高，最高产值是多少万元？工时（个）产值（万元/台）120.4130.3140.2解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台，设此时的产值为P万元。根据题意得：xyz360(1)111xy120(2)234x,y,z均为整数(4)0 x360,0y360,40z360(3)10z360由（1）和（2）知（5）把（5）代入（3）得：230360z360y3603z21xz2240z360解得：40z24013P0.4x0.3y0.2z0.4z0.3(360z)0.2

24、z1080.05z22要使P最大，只需z最小当z40时P最大1080.0540106(万元).此时x12z20（台）3y360z300（台）2答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？第五讲：与三角形有关的线段一、相关知识点1三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：ABC中，a+bc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：acb，bac，cba即有：三角形的两边之差小于第三边2高由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角

25、形的中线4角平分线三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线.二、典型例题（一）三边关系1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是()A.1a5B.2a6C.3a7D.4a62小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？分析：设第三根木棒的长度为x，则3x12（AB+AC）分析：因为BD+ADAB、CD+ADAC所以BD+AD+CD+ADAB+AC因为AD是BC边上的中线，BD=CD所以AD+BD12（AB+AC）A（二）三角形的高、中线与角平分线D1问题：（1）观察

26、图形，指出图中出现了哪些高线？2BC（2）图中存在哪些相等角？注意基本图形：双垂直图形.4如图，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A5B4C3D2分析：5如图，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，求CDF的度数。分析：CED=40+34=74所以CDF=746一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成AA面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。EF分析：BDEFCBDC.AAAEEFBFDCBDCBDEC7ABC中，A

27、BC、ACB的平分线相交于点O。A（1）若ABC=40，ACB=50，则BOC=。D（2）若ABC+ACB=116，则BOC=。（3）若A=76，则BOC=。（4）若BOC=120，则A=。（5）你能找出A与BOC之间的数量关系吗？B12C8已知:BE,CE分别为ABC的外角MBC,NCB的角平分线,求:E与A的关系分析：E=90-12A.9已知:BF为ABC的角平分线,CF为外角ACG的角平分线,求:F与A的关系分析：F=12A思考题：如图：ABC与ACG的平分线交于F1；F1BC与F1CG的平分线交于F2；如此下去,F2BC与F2CG的平分线交于F3；探究Fn与A的关系（n为自然数）.第六

28、讲：与三角形有关的角一、相关定理（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180（二）三角形的外角性质定理：1三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和2三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n2)180多边形外角和定理：多边形的外角和为360二、典型例题问题1：如何证明三角形的内角和为180？.AEAFN12E2134BCBMOFCAEB1如图,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE的度数.DC分析：CDE=ADC-21=B+40-21=B+40-（1+C）21=401=20A2如图：在ABC中，CB，ADBC于D，

29、AE平分BAC求证：EAD1（CB）2BEDCEABCD.3已知：CE是ABC外角ACD的角平分线，CE交BA于E求证：BACB分析：问题2：如何证明n边形的内角和为(n2)180AAABEBMEBEMCMDCDCD4多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350，求多边形的边数。5科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A.6米B.8米C.12米D.不能确定.第八讲全等三角形.（一）知识要点1、全等三角形的有关概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应

30、顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。”“全等”用“”表示，读作“全等于，AD如ABCDEF。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如BCEF右图所示，ABC和DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作ABCDEF。其中AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，A与D，B与E，C与F是对应角。规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻

31、折型。（1）平移型：如下左图，若ABCDEF，则BC=EF。将DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。ADADBCEFBECF（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角1=2。.DCA1AA1O2CABEDBEDDBCBC（1）（2）（1）（2）（3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角A。知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。2、全等三角形的性质全等三角形的

32、对应边相等；全等三角形的对应角相等。知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据；（2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；。（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）（二）典型例题eqoac(,B)例1：若把ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到ADE，请写

33、出图中所有的对应边DECA.和对应角。规律方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。例2：如图，已知ABDACE。试说明BE=CD，DCO=EBO。DOECBA规律方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。例3：如图，ADFCBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，A

34、F并加以说明。DBEC.例4：如图，在ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，AD若ADBEDBEDC，则C的度数为（）BECA、150B、200C、250D、300DQEP例5：如图，ABE和ADC是ABC分别沿AB，AC边翻A折1800形成的，若1：2：3=28：5：3，则求的度B213C数。.例6：如图，已知ABEACD，1=2，B=C，指出其他的对应边和对应角。DA12BEC例7：如图，已知ABCDBE，ABCD，DE的延长线交AC于点F，那么DFAC吗？说明理由例8：如图，已知ABEACD且AB=AC，求证：(1)BAD=CAE;(2)BD=CE.（三）反馈练习1如图，ABCDCB

35、，若l与2是一组对应角，则其他的对应角有，对应边有，。2如图，ABCABC，且点B，B，C，C在同一直线上，则BB=_；若A=80，.则A=，BDC=。3如图，把ABC沿直线BC翻折180，得到DBC，则ABC与DBC的关系是。4如图，把ABC绕点A旋转一定的角度得到AED，那么ABCAED，其中对应边有，对应角有，。5（南通）已知：如图，OADOBC，且O=70，C=25，则AEB=。6如图，ABDACD，AB=AC，则BAD=，BD=，ADB=度7如图，若ABCEDC，且B=58，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则E=，BC=cm.8若ABCDEF，DEF的周长为32cm，DE=9

36、cm,EF=12cm，则AB=cm,BC=._cm，AC=cm.9如图，直角ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论中错误的是()A.ABCDEFB.DEF=90CAC=DFDEC=CF10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若ABCDEF，则A=D，AB=EF.其中正确的个数有()A.l个B.2个C3个D4个11如图所示，ABCAEF，AB=AE，B=E，则下列结论：AC=AF;FAB=EAB；EF=BC;EAB=FAC.其中正确结论的个数是()A.l个B.2个C.3个D.4

37、个12.如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为()A15B20C25D3013如图，ABCCDA，下列各组边中，不是对应边的是()AAB与DCB.AC与CA.C.AD与CBD.AD与DC14.如图，ABCADE，点B的对应点是点D若BAD=100，CAE=40，求BAE的度数第九讲全等三角形的判定（一）（一）知识要点1、三角形全等的判定方法一：SSS三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。书写格式：ACACBCBC在ABC和ABC中，ABABAABCBCABCABC（SSS）规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全

38、等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一.种思想方法。（二）典型例题例1.在ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线.求证：ABDACD例2已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEFACEBFD例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.求证:DF/CE.例4.如图，已知ABEACD，求证：l=2.例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM=CN，BM=DN.

39、求证：AMCN，BMDN例6.已知：如图，四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求证：A=C例7如图所示，AB=AEBC=ED，CF=FDAC=AD，求证：BAF=EAF.（三）练习：1如图，若AB=AC，BD=CD，B=62，则BAC=度2如图，已知AB=CD，AD=CB，还有条件，可判定ABCCDA，其依据是3如图，在ABD和ACE中，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若l=20，则2=4如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO=BO，CO=DO，AD=BC，则图中全等三角形有对5如图，已知AB=BCAD=CD，ABC=80，ADC=50，则A=，C=6如图，已知AB

40、=AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)ABDACD；(2)B=C;(3)AD平分BAC;(4)ADBC.其中正确的个数是()A1个B2个C.3个D.4个.7下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等其中正确说法的个数是()A.4个B3个C2个D1个8下列命题中正确的是()A有两条边对应相等的两个三角形全等B两个等边三角形全等C两个等腰直角三角形全等D三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，9如图，已知AB=AC，BD=CD求证：l=2.10.如图，在ABC中，AB=A

41、C，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：ABDACE.11.如图16，在ABC和DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M.(1)求证：ABCDCB；(2)过点C作CNBD，过点B作BN/AC，CN与BN交于点N，试判断线段NBC和NCB数量关系并证明你的结论第十讲全等三角形的判定（二）（一）知识要点1、三角形全等的判定方法二：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。.AAACAC书写格式：在ABC和ABC中，ABABAABCBCABCABC（SAS）知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。例1.如图所示，直线

42、AD、BE相交于点C，AC=DC，BC=EC.求证：AB=DEeqoac(,C)例2：如图，ADAE，ABAC，AD=AE，AB=AC。求证：ABDACEDABE.规律方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；例3：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE的两侧，ABED，AB=CE，BC=ED。求A证：AC=CDBCDE例4如图，已知AB=AC，AD=AE，1=2.求证：CE=BD.例5：如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D例6.如图，BE、CF分别是ABC的高

43、P是BE上一点。且BP=AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：APAQ.（三）练习1如图，已知l=2，AD=AC，则_，其依据是。.2如图，l=2，AB=AC，AE=AD，则ABD，依据是，由此还可得BD=。3如图，AC=AB，AD平分CAB，点E在AD上，则图中全等的三角形有_对，它们是。4（天门）如图，已知AE=CF，A=C，要使ADFCBE，还需添加一个条件：_（只需写一个）：5小明为了测量池塘对岸A，B两点间的距离，作了如下的操作（如图）取一能够到达A，B两点的点D;连接AD并延长AD于点E，使AD=ED连接BD并延长BD至C，使BD=CD;连接CE.那么要知道AB的长度，应

44、测量线段的长度6如图，已知ADBC于点D，BD=CD，点E在AD上；则图中全等三角形共有()A.l对B.2对C.3对D.4对.7如图有下列四个条件：BC=BC；AC=AC；ACA=BCB；AB=AB其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是()A.l个B。2个C.3个D.4个8下列命题中错误的是()A有两边对应相等的两个等腰三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等9下列条件中，可以判定ABC和ABC全等的是()A.BC=BA,BC=BA，B=BBA=B，AC=AB，AB=B

45、CC.A=A,AB=BC,AC=ACD.BC=BC,AC=AB,B=C10.如图，已知ABCD，AB=CD，BE=DF，则图中全等三角形的对数有()A3对B4对C5对D.6对11如图，点A，E，B，D在同一直线上，在ABC与DEF中，AB=DE,AC=DF,ACDF.(1)求证：ABCDEF;(2)你还可以得到的结论是（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）12.如图13，点C是AB的中点，CDBE，且CD=BE，求证：D=E.第十一讲全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

46、“ASA”）。书写格式：ABABBB在ABC和ABC中，AAABCABC（ASA）AABCBC.知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。书写格式：在ABC和ABC中，BBACACAAAABCBCABCABC（AAS）知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。(二)例题讲解：例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,B=C.求证：AD=AE例2.如图

47、，ABBC,ADDC,1=2.求证：AB=AD练习：如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上，ABDF，ACDE，ACDE，FC与BE相等吗？请说明理由.例3已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDCDFBEA.例4：如图，已知ABCABC，AD，AD分别是ABC和ABC的边BCAA和BC上的高。求证：AD=ADBDCBDC例5如图，点E在AC上，1=2，3=4.试证明BE=DE.（三）练习1如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上的两点，且BE=DF.若AEB=100，ADB=30则BCF=。.2如图，已知CDAB，BEAC

48、，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，1=2，则图中的全等三角形共有对3如图，AC与BD相交于点O，1=4，2=3ABC的周长为25cm，AOD的周长为17cm，则AB=.4（海南）在ABC和ABC中，AB=AB，A=A，要使ABCABC，还需111111111添加一个条件，这个条件可以是5如图，E=F=90B=C，AE=AF.给出下列结论：l=2；BE=CF;ACNABM；CD=DN.其中正确的结论是_（注：将你认为正确的结论都填上）6下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角

49、与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有()A1个B2个C.3个D.4个7（成都）如图，在ABC与DEF中，已知AB=DE，要使ABCDEF，不能添加的一组条件是().8下列条件中，能判定两个三角形全等的是()A有两边及一角对应相等B有三个角对应相等C有两角及一边对应相等D有两条边对应相等9如图，已知ABC的面积为36，将ABC沿BC平移可得到ABC，点B和C重合，连接AC交AC于D，则CDC的面积为()A6B9C12D1810.如图所示，在LAOB的两边上截取AO=BO，CO=DO，连接AD，BC交于点P有下列结论AODBOC;APCBPD；点P在AOB的平分线上其中正确的是()

50、A只有B只有CD11.如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF,ABDE,ACB=F.求证：ABCDEF.12.如图所示，l=2，D=C，求证；AC=BD.第十二讲全等三角形的判定（四）（一）知识要点1、直角三角形全等的判定方法：HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）书写格式：AACBCB在RtABC和RtABC中，ABABBCBCRtABCRtABC（HL）规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS，例1：如图，在RtABC中，A=900，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC.SAS，ASA，

51、AAS以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三个条件，其实，HL也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt”中才能用这种方法。(二)经典例题A的垂线，交AC于点E。求证：AE=EDEBDC例2：已知：BECD，BEDE，BCDA，求证：BECDAE；BDFBCFACED例3如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分BAC.求证：OB=OC.例4.如图，ACB=ADB=90AC=AD，点E是AB上任意一点求证：CE=DE.例5.如图，AD为ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于F

52、，且有BF=AC，FD=CD(1)求证：BEAC；(2)若把条件BF=AC和结论BEAC互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断（三）练习1如图，在ABC中，ADBC于D，再添加一个条件（只需填一个），就可以判定ABDACD.2如图，AB=CD，AEBC于E，DFBC于F若BE=CF，则ABE，其依据是.3已知AB=5,BC=4,AC=3,则的周长是，面积是，斜边上的高为_4如图，在分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD=3cmCE=4cm，则DE=。5如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则ABC+DFE=。6两个直

53、角三角形全等的条件是()A一锐角对应相等B一条边对应相等C两锐角对应相等D两条边对应相等7如图，已知AB=CD，AEBD于E，CFBD于F，AE=CF，则图中全等的三角形有()A.l对B2对C3对D4对8下列命题中，正确的有().两直角边对应相等的两个直角三角形全等；两锐角对应相等的两个直角三角形全等；斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等A5个B4个C3个D2个9如图所示，C=90，DEAB于点D，BD=BC，如果AC=6cm，则AE+DE=()A4cmB5cmC6cmD7cm10.如图所示，已知AC

54、BC，BDAD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列结论：AD=BC；ABC=BAD；DAC=CBD;OC=OD其中正确的是()ABCD11如图，AB：CD，DEAC，BFAC，E，F分别是垂足，DE：BF.求证：(1)AF=CE；(2)ABCD.12.如图15所示，ACCF于点C，DFCF于点F，AB与DE交于点D，且EC=BF，AB=DE求证：AE=BD.第十三讲全等三角形的判定综合一、经典例题例1：如图，已知ABCD，OA=OD，AE=DF。CF求证：EBCFDAOEB.例2.如图,已知;CDAB,于D,BEAC于E,BE、CD交于点O，且AO平分BAC.求证:OB=OC.A12

55、DEOBC例3如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，ABDE，且AB=DE.求证：（1）ABCDEF；（2）CBF=FEC._E_C_F_A_B_D例4：在直角三角形ABC中,AC=BC,C=90,D是AB边上任一点,AECD于E,BFCD交CD的延长线于F,CHAB于H,交AE于G,求证:BD=CG.CGEADBHF例5.如图.已知AB=DC,A=D,求证:ABC=DCB.ADBC二课后练习：.1、如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAAB、DFAC，垂足为E、F，求证：EB=FCEFBDC2、已知：如图12，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=

56、BF。求证：（1）ABCD；（2）AE=CF。(7分)DCFEAB3、如图，已知：ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B，C向经过点A的.直线EF作垂线，垂足为E，F。（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。(8分)第十四讲角的平分线的性质ADCPOEB.ODPOEPOPOP（一）知识要点1、角的平分线的性质及其推导角的平分线上的点到角的两边距离相等。已知OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，如右图所示，则PD=PE。角的平分线的性质的推导：已知，

57、如上右图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PEOB于E，求证：PD=PE。证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）又OC平分AOB（已知）AOC=BOC（角的平分线定义）在RtDOP和RtEOP中AOCBOCRtDOPRtEOP（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）知识延伸：角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角A的两边的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路。DCPOEB.2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角

58、的两边的距离相等的点在角的平分线上。如右图，点P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE，则射线OC是AOB的平分线。规律方法小结：（1）角平分线的性质及其逆用的关系：性质性质的逆用点在角的平分线上点到角的两边距离相等“（2）对于角的平分线的性质及其逆用，一方面要正确理解和明确其条件和结论，性质”和“性质的逆用”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，性质的逆用是证两角相等的依据。角的平分线的判定的推导：已知：如右上图，点P在AOB内部的一条射线OC上，并且PDOA于点D，PEOB于E，PD=PE。求证：射线OC是AOB的平分线。

59、证明：PDOA，PEOB（已知）ODP=OEP=900（垂直的定义）OPOP在RtDOP和RtEOP中，PDPERtDOPRtEOP（HL）DOP=EOP（全等三角形的对应角相等）即射线OC平分AOB知识延伸：逆用角平分线的性质可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注意的CDAEB.是：在推导过程中应注意垂直关系的书写，指明垂直线段，并由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等了。（二）典型例题例1：在ABC中，C=900，AD是BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是_。例2：如图，已知OE平分AOB，BCOA，ADOB。求证：EA=EBOCDEAB例3.如图，在ABC

60、中，A=90，AC=AB，BD是ABC的平分线，DEBC于点E，已知BC=10cm，求EDC的周长.例4：如图，已知CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。A求证：1=212DEOBC例5：如图所示，已知OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PMBD，PNAD。求证：PM=PNBMDPNOA.规律方法：运用脚平分线的性质解题时，应注意两点：（1）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程，更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线