中考复习《二次函数》综合测试题

1、22沈进老师专用资料中考复习二次函数综合测试题一、与线段、周长有关的问题1. 如图，抛物线 y=x +bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动（点 P 不与点 A 重合），过点 P 作 PDy 轴交直 线 AC 于点 D.求抛物线的解析式；求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；在抛物线对称轴上是否存在点 M，使|MA-MC|的值最大？若存在，请求出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由.第 1 题图备用图2. （2015 珠海）如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边

2、的点 D 处，已知折痕 BE=5 5 ,且OD 4= .以 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标 OE 31 1系，抛物线 l：y= - x + x+c 经过点 E，且与 AB 边相交于点 F.16 2求证：ABDODE;若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证：MFBD;P 是线段 BC 上一动点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PDDQ，在点 P 运动过程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由.第 2 题图222沈进老师专用资料3. （2015 孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线 y= - 与 y 轴交于点

3、C，直线 y=x+4 经过 A，C 两点.求抛物线的解析式；在 AC 上方的抛物线上有一动点 P.x +bx+c 与 x 轴交于点 A，B，如图，过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 D，当线段 PD 取得最大值时，求出 点 P 的坐标；如图，过点 O，P 的直线 y=kx 交 AC 于点 E，若 PEOE=38，求 k 的值.图第 3 题图4. （2015 天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y-图x +bx+c(b、c 为常数)的顶点为P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，-1），点 C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限.(1)如图，若抛物线经过 A、B

4、 两点，求抛物线的解析式;(2)平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在 AC 上并沿 AC 方向滑动距离为 平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点;2时，试证明：(3)在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q，取 BC 的中点 N，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请 说明理由.5. 如图，抛物线 y= -第 4 题图x +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C,且 OA=2,OC=3.沈进老师专用资料求抛物线的解析式；作 eq oac(,Rt)OBC 的高 OD，延长 OD 与抛物线

5、在第一象限内交于点 E，求点 E 的坐标；在抛物线的对称轴上，是否存在一点 Q，使得BEQ 的周长最小？若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.第 5 题图6. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，ABOC,OA=AB=2,OC=3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D，将DBC 绕点 B 顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E、F.求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点

6、 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标.第 6 题图2222222沈进老师专用资料参考答案1.解：（1）抛物线 yx +bx+c 过点 A（3，0），B（1，0），93b c 0 1 b c 0，b -4解得 c 3,抛物线的解析式为 y=x -4x+3. （2）令 x=0,则 y=3,点 C（0，3），又点 A(3,0),直线 AC 的解析式为 y= -x+3, 设点 P（x,x -4x+3）,PDy 轴，且点 D 在 AC 上， 点 D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x-4x+3)=-x+3x=-(x-3 9) + ,2

7、4a=-10,当 x=329时，线段 PD 的长度有最大值，最大值为 .4(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分 AB，可得：MAMB，由三角形的三边关系，MA-MC-4,当 x=-2 时，线段 PD 取得最大值，将 x=-2 代入 y= -x -x+4 中得 y=4,线段 PD 取得最大值时,点 P 的坐标为（-2,4）.过点 P 作 PFOC 交 AC 于点 F，如解图. PFOC,PEFOEC,PE PFOE OC.PE 3 3 又 = ,OC=4,PF= .OE 8 2由 得 PF（-x3-x+4）-(x+4)= .2化简得：x +4x+3=0,解得 x = -1,x = -

8、3.1 22222222当 x= -1 时，y=沈进老师专用资料9 5；当 x= -3 时，y= .2 2即满足条件的 P 点坐标是（-1，又点 P 在直线 y=kx 上，9 5 ）或（-3， ）.2 2k= -9 5 或 k= - .2 64.(1)解：设 AC 与 x 轴的交点为 M，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,-1),C 的坐标为(4,3), 直线 AC 的解析式为 y=x-1，直线 AC 与 x 轴的交点 M(1，0).OM=OA，CAO=45.CAB 是等腰直角三角形，ACB=45，BCy 轴,又OMA=45，OAB90，ABx 轴,点 B 的坐标为(4，-1)

9、.抛物线过 A(0，-1)，B(4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中， c -1 b 2得 1 ,解得 ，- 16 4b c -1 c -1 2抛物线的解析式为 y-x +2x-1.(2)证明：抛物线 y= -1 1 1x +2x-1= - (x -4x)-1= (x2) +1, 2 2 2顶点 P 的坐标为(2，1)，抛物线 y= -(x2) +1 顶点 P 平移到直线 AC 上并沿 AC 方向移动的距离为2，其实是先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度,平移后的二次函数的解析式为 y= -(x-3) +2，当 y=0 时，有 0= -(x-3)+2，22沈进老师专用资

10、料解得 x =1，x =5，1 2y-(x-3) +2 过点(1，0)和(5,0)，直线 AC 的解析式为 y=x-1，直线 AC 与 x 轴的交点坐标为(1，0)，平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点.(3)解：如解图，NP+BQ 存在最小值，最小值为 2 5 .理由：取 AB 的中点 F，连接 FN，FQ， 作 B 点关于直线 AC 的对称点 B，设平移后的抛物线的顶点为 P.连接 BB，BQ,BQ,则 BQBQ,抛物线 y= -(x-2) +1 的顶点 P(2，1)，A(0,-1)，PA=(2 - 0)2(1 1)2=2 2 ,抛物线沿 AC 方向任意滑动时，PQ=2 2

11、， A(0，-1)，B(4，-1)，AB 中点 F(2，-1)，B(4，-1)，C(4，3)，N(4，1)，FN=BF2BN2=2 2 ,FNPQ,在ABC 中，F、N 分别为 AB、BC 的中点， FNPQ，四边形 PNFQ 是平行四边形，NP=FQ,第 4 题解图NP+BQ=FQ+BQFB =2 2 4 2=25.当 B、Q、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为 2 5 . 5.解：（1）OA=2,点 A 的坐标为（-2，0）.OC=3,点 C 的坐标为（0，3）.222沈进老师专用资料把 A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线 y= - 0-2 - 2b c，得 3 cb 12

12、，解得 c 31 1抛物线的解析式为 y-x + x+3.2 21 1(2)把 y=0 代入 y= - x + x+3,2 2解得 x =3,x =-2,1 2点 B 的坐标为（3，0），OB=OC=3,ODBC,OE 所在的直线为 y=x.y x,解方程组 1 1y - x 2 x 3 2 2x +bx+c,解得 x 21y 2,1x -32y = -32,点 E 在第一象限内，第 5 题解图点 E 的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设 Q 是抛物线对称轴上的一点，连接 QA、QB、QE、BE， QA=QB,BEQ 的周长BE+QA+QE,BE 为定值，且 QA+QEAE,当 A、Q、

13、E 三点在同一直线上时，BEQ 的周长最小，由 A(-2,0)、E(2，2)可得直线 AE 的解析式为 y=x+1,由（2）易得抛物线的对称轴为 x=1 5点 Q 的坐标为（， ）,2 4,22 22沈进老师专用资料在抛物线的对称轴上，存在点 Q（1 5， ），使得BEQ 的周长最小. 2 46.解：(1)由题意得 A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).设经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式为 y=ax +bx+2(a0),4a 2b 2 2将点 B、C 分别代入得 9 a 3b 2 0, 2a - 3解得 4b 3,抛物线的解析式为 y= -2 4x + x+2.3 32 4 2 8(

14、2)y= - x + x+2= - x 1 + ，3 3 3 3 设抛物线的顶点为 G，则顶点 G 的坐标为（1，83），过 G 作 GHAB，垂足为 H，如解图,则 AH=BH=1,GH=8 2-2= ,3 3EAAB,GHAB, EAGH,GH 是BEA 的中位线,EA=2GH=43.过 B 作 BMOC,垂足为 M,如解图,则 MB=OA=AB.第 6 题解图EBF=ABM=90,EBA=FBM=90-ABF. eq oac(,Rt)EBA eq oac(,Rt)FBM.第 6 题解图2沈进老师专用资料FM=EA=43.CM=OC-OM=3-2=1,CF=FM+CM=73.(3)如解图,

15、要使四边形 BCPQ 的周长最小，将 B 点向下平移一个单位至点 K，取 C 点关于 对称轴对称的点 M，连接 KM 交对称轴于 P，将 P 向上平移 1 个单位至 Q，此时 M、P、K 三点共线可使 KP+PM最短，则 QPKB 为平行四边形，QB=PK,连接 CP，根据轴对称求出 CP=MP，则 CP+BQ 最 小，CB，QP 为定值，四边形 BCPQ 周长最短.将点 C 向上平移一个单位，坐标为（3，1），再作其关于对称轴对称的对称点 C ，1得点 C 的坐标为（-1，1）.1可求出直线 BC 的解析式为 y=11 4x+ .3 3直线 y1 4 5 x+ 与对称轴 x1 的交点即为点

16、Q，坐标为（1， ）.3 3 3点 P 的坐标为（1，）.2 5综上所述，满足条件的 P、Q 两点的坐标分别为（1， ）、（1， ）.3 3二、与面积有关的问题1. （2015 桂林）如图，已知抛物线 y= -x +bx+c 与坐标轴分别交于点 A(0，8)、B(8，0)和点 E,动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动.求抛物线的解析式；求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式：当 t 为何值时 eq oac(

17、,，)CED 的面积最大? 最大面积是多少?当CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P(点 E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面积等于 CED 的最大面积，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.22沈进老师专用资料第 1 题图2. （2015 海南）如图，二次函数 y=ax +bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A（-3，0）、B(1,0)，与 y 轴相交于点 C，点 G 是二次函数图象的顶点，直线 GC 交 x 轴于点 H(3,0)，AD 平行 GC 交 y 轴于点 D.求该二次函数的表达式；求证：四边形 ACHD 是正方形；如图，点M(t,p)是该二次函数图象上

18、的动点，并且点 M 在第二象限内，过点 M 的直 线 y=kx 交二次函数的图象于另一点 N.若四边形 ADCM 的面积为 S，请求出 S 关于 t 的函数表达式，并写出 t 的取值范围；若CMN 的面积等于214，请求出此时中 S 的值.图图第 2 题图3. (2015 深圳)如图，关于 x 的二次函数 y= - x +bx+c 经过点 A(-3,0),点 C(0，3)，点 D 为二 次函数的顶点,DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上.求抛物线的解析式；DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在,求出点 P;若不存在,请 说明理由；2沈进老师专用资料（3）如

19、图，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2 =3 ？若存在,求出点 F 的坐eq oac(,S)FBC eq oac(,S)EBC标;若不存在,请说明理由.图图第 3 题图4. （2015 武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4），B（1，0），C（5， 0），其对称轴与 x 轴相交于点 M.求此抛物线的解析式和对称轴；在此抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；连接 AC，在直线 AC 下方的抛物线上，是否存在一点 N， eq oac(,使)NAC 的面积最大？若存 在，请求出点 N 的坐标；若不存在，

20、请说明理由.第 4 题图【答案】1.解：(1)将点 A(0，8)、B(8，0)代入抛物线 y= - c 8 b3得 1 ,解得 ， - 64 8b c 0 c 8 2x +bx+c，22222抛物线的解析式为 y= -沈进老师专用资料x +3x+8.(2)点 A(0,8)、B(8，0)，OA=8,OB=8，令 y=0，得 -x +3x+8=0,解得:x =8,x =-2,1 2点 E 在 x 轴的负半轴上，点 E(-2，0)，OE=2，根据题意得：当 D 点运动 t 秒时，BD=t,OC=t, OD=8-t,DE=OE+OD=10-t,eq oac(,S)CED1 1 1= DE OC= (1

21、0-t) t= - t 2 2 2+5t,1 1 25 即 S= - t +5t=- (t-5) + ,2 2 2当 t=5 时，SCED 最大252(3)存在.由(2)知：当 t=5 时，S当 t=5 时，OC=5,OD=3, C(0,5),D(3,0),CED 最大252由勾股定理得 CD=34,设直线 CD 的解析式为：y=kx+b（k0）,将 C(0,5),D(3,0)，代入上式得：b 53k b 0,k -解得 b 553 ,直线 CD 的解析式为y= -53x+5,过 E 点作 EFCD，交抛物线于点 P ，则15如解图，设直线 EF 的解析式为 y= - x+m,3eq oac(

22、,S)CEDSCP D1，第 1 题解图10将 E(-2，0)代入得：m= - ,3直线 EF 的解析式为 y= -5 10 x- ,3 322234DD将 y= -沈进老师专用资料5 10 1x- 与 y= - x +3x+8 联立成方程组得：3 3 2 5 10y = - x - 3 31y = - x 2 + 3 x + 8 2,解得 x -21y 01（与 E 点重合，舍去）,34x 3200y -9,P (134 200,- );3 9过点 E 作 EGCD，垂足为 G，当 t=5 时，S =ECD25 34EG=,341 25 CD EG= ,CD=2 234,过点 D 作 DNC

23、D,垂足为 N，且使 DN=EGDDMN,25 3434,过点 N 作 NMx 轴，垂足为 M，可得3425EG ED= ,即 DM DN DM2553434，解得：DM=125 227 ,OM= ,34 34由勾股定理得：MN=DN 2 - DM2=(2534 125 75 ) 2 - ( )2 ,34 34 34N(227 75, ),34 34过点 N 作 NP CD，与抛物线交于点 P ，P (与 B 点重合)，则 2 2 3 eq oac(,S)CEDSCP2，S CEDSCP3,设直线 NP 的解析式为 y= - 253x+n,227 75 40 将 N( , )，代入上式得 n=

24、 ,34 34 3221 9 232 22直线 NP 的解析式为 y= - 2沈进老师专用资料 5 40 x+ ,3 3将 y= -5 40 1 x+ 与 y= - x3 3 2+3x+8 联立成方程组得： 5 40 4 y - x x 3 3 x 8 3 ,解得 , 1 y 0 100 y - x 2 3 x 8 1 y 2,P (24 100, )或 P (8,0), 3 9综上所述，当CED 的面积最大时，在抛物线上存在点 P(点 E 除外)， eq oac(,使)PCD 的面积等于CED 的最大面积，点 P 的坐标为：(34 200 4 100,- )或( , )或(8,0). 3 9

25、 3 92.(1)解：二次函数 y=ax +bx+3 过点 A(-3，0)、B(1，0)，9a - 3b 3 0 a -1 ,，解得 ，a b 3 0 b -2二次函数的表达式为 y=x 2x+3.(2)证明：由(1)知二次函数的表达式为 y=x 2x+3， 令 x=0，则 y=3,点 C 的坐标为(0，3)，OC=3，又点 A、H 的坐标分别为(-3,0)、(3,0)， OA=OH=OC=3， OCHOHC，ADGC，OCHODA,OHC=OAD,OADODA, OA=OD=OC=OH=3，又 AHCD,四边形 ACHD 为正方形.(3)解：S =S + ，四边形 ADCM 四边形 AOCM

26、 eq oac(,S)AOD第 2 题解图222S =S22四边形 AOCM2222112沈进老师专用资料由(2)知 OA=OD=3， =eq oac(,S)AOD1 933= ，2 2点 M(t,p)是直线 y=kx 与抛物线 y= -x -2x+3 在第二象限内的交点，点 M 的坐标为(t,-t-2t+3)，如解图，作 MKx 轴于点 K,MEy 轴于点 E，则 MK=-t -2t+3,ME=t=-t， 四边形 AOCM AOM eq oac(,+S)MOC=1 13(-t -2t+3)+ 3(-t)， 2 23 9 9即 S = - t - t+ ，2 2 2S S + =- 四边形 A

27、DCM 四边形 AOCM eq oac(,S)AOD3 9 9 9 3 9 t - t+ + = - t - t+9,2 2 2 2 2 2S= -3 9t - t+9,-3t0. 2 2设点 N 的坐标为(t ,p ),过点 N 作 NFy 轴于点 F，1 1NF=t ,又由知 ME=t，1则 SCMN=SCOM+S1= OC(t+t )， CON 1又点 M(t,p)、N(t ,p )分别在第二、四象限内，1 1t0, t 0, = 1 eq oac(,S)CMN32(t -t), 1即3 21 7 (t -t)= ，t -t= .2 4 2由直线 y=kx 交二次函数的图象于点 M、N

28、得：y kxy - x 2 - 2 x 3,则 x +(2+k)x-3=0,x=- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),即 t=- (2 k ) - (2 k ) 2 - 4 1(-3)2,t =1- (2 k ) (2 k )22- 4 1(-3),t -t= 1(2 k) 2 12=72,22122122222220沈进老师专用资料72是(2+k) +12 的算术平方根,(2+k) +12=4943 5,解得 k =- ,k =- ,2 2又(k+2) +12 恒大于 0，且 k0, 3 5k =- ,k =- 都符合条件. 2 23(i)若 k= - ,有 x23+(2-

29、)x-3=0,23解得 x =-2,x = (不符合题意，舍去); 1 25 5(ii)若 k= - ,有 x +(2- )x-3=0,2 2解得 x =-332,x =2(不符合题意，舍去)， 4t= -2 或-32，当 t= -2 时,S=12;当 t=-3 99 时,S= ，2 8S 的值是 12 或998.3.解：（1）将 A(-3，0)，C(0，3)代入 y=-x +bx+c,c 3得 - 9 - 3b c 0b -2,解得 c 3.抛物线的解析式为 y= -x -2x+3.(2 存在，由(1)知抛物线的解析式可化为顶点式 y=-(x+1) +4，则 D(-1，4)，当 P 在DAB

30、 的平分线上时，如解图，作 PMAD，设 P(-1，y )，0sinADE=AE 2 5= = ，PE=y , AD 2 5 5则 PM=PDsinADE=55(4-y ),0PM=PE,第 3 题解图55(4-y )=y , 0 0解得 y = 5 -1.0EBCeq oac(,S)FBCeq oac(,S)FBC22沈进老师专用资料当 P 在DAB 的外角平分线上时，如解图，作 PNAD,设 P(-1，y )，0PE=-y ,0则 PN=PDsinADE=PN=PE,55(4-y ),055(4-y )=-y ，解得 y =- 5 -1. 0 0 0第 3 题解图存在满足条件的点 P，且点

31、 P 的坐标为（-1，5-1）或（-1，-5-1）.(3)存在. =3,2S =3S , eq oac(,S)EBC FBC EBC =eq oac(,S)FBC3 3 9 S 3 ,2 2 2过点 F 作 FHx 轴，交 BC 的延长线于点 Q，如解图,连接 BF,设 BF 交 y 轴于点 M，易得BMCBFQ，OB CM ，OB OH QF即 CMOB QFOB OH，1 1 1 CM OB+ CM OH OB QF. 2 2 21 1 9 = FQ OB= FQ= ,2 2 2FQ=9.BC 的解析式为 y=-3x+3，设 F(x ,-x -2x +3),则 Q 点的坐标为（x ,-3x

32、 +3）,0 0 0 0 0QF=-3x +3+x +2x -3=9,0 0 0或1- 37 1 37 解得 x =02 2满足条件的点 F 的坐标是(舍去)，1- 37 3 37 -15，2 2).第 3 题解图22沈进老师专用资料4.解：（1）抛物线过点 A（0，4）、B（1，0）、C（5，0），设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=a(x-1)( x-5)(a0)，将点 A（0，4）代入 y=a(x-1)(x -5)，得 a=4 24此抛物线的解析式为 y=x - x+4,5 5抛物线过点 B（1，0）、C（5，0），抛物线的对称轴为直线 x5=3.（2）存在，如解图，连接 AC

33、 交对称轴于点 P，连接 BP、BA, 点 B 与点 C 关于对称轴对称，PB=PC,AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC,AB 为定值，且 AP+PCAC,当 A、P、C 三点共线时PAB 的周长最小， A（0，4）、C（5，0），设直线 AC 的解析式为 y=ax+b(a0)，第 4 题解图b 4将 A、C 两点坐标代入解析式得 5a b 0 4a -解得 5 ,b 4,直线 AC 的解析式为 y= -x+4.在 y= -4 8 x+4 中，当 x3 时，y= ，5 5P 点的坐标为（3，85），即当对称轴上的点 P 的坐标为（3，85）时，ABP 的周长最小.（3）在直线 AC

34、 下方的抛物线上存在点 N，使NAC 面积最大.如解图，设 N 点的横坐标为 t，4 24此时点 N（t, t - t+4）（0t5），5 5过点 N 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴、AC 于点 F、G，过点 A 作 ADNG，垂足为点 D，222 222222沈进老师专用资料由（2）可知直线 AC 的解析式为 y= -4 4把 x=t 代入 y= -x+4 得 y- t+4， 5 5x+4，4则 G 点的坐标为（t，- t+4 ），54 4 24 4此时，NG- t+4-（ t - t+4）- t +4t. 5 5 5 5ADCFOC5，1 1 S NG AD NG CF eq oac(

35、,S)NAC ANG eq oac(,S)CGN1 1 4NG OC= （- t +4t）5-2t +10t2 2 5-2（t-5 25） + .2 2-20，即在对称轴处取得最大值.当 t=5 25 时，NAC 面积有最大值为 ，2 2第 4 题解图5 4 24由 t= ，得 y= t t+4-3， 2 5 5N（52，-3）.存在满足条件的点 N，使NAC 的面积最大，N 点的坐标为（ 三、与特殊三角形有关的问题52,-3）.1.（2015 岳阳）如图，抛物线 y=ax+bx+c 经过 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.求抛物线的解析式；如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使

36、得四边形 PAOC 的周长最小？若存在， 求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由；如图，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC,在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使CQM 为等腰三角形且BQM 为直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由.22. 如图，直线 y=-沈进老师专用资料图图第 1 题图x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A（-1，0）.求 B、C 两点坐标；求该二次函数的关系式；若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD是以 CD 为腰的等

37、腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的 坐标.第 2 题图【答案】针对演练1.解：（1）点 A（1，0），B（4,0）在抛物线上， 设抛物线解析式为 y=a(x-1)(x-4)，将点 C（0,3）代入得 a(0-1)(0-4)=3，3解得 a= ，4抛物线解析式为 y=3 15即 y=x - x+3.4 4(x-1)(x-4)，（2）存在.连接 BC 交对称轴于点 P，连

38、接 PA,如解图,点 A 与点 B 关于对称轴 x=52对称，BCPB+PC=PA+PC，即当点 P 在直线 BC 上时，四边形 PAOC 的周长最小，- m 342 m沈进老师专用资料在 eq oac(,Rt)BOC 中，OB=4，OC=3，BOC=90，BC=OB 2 OC2=5，四边形 PAOC 的周长的最小值为 OA+OC+BC=1+3+5=9. （3）存在.设直线 BC 的解析式为 y=kx+t， 34k t 0 k -将点 B(4,0)，点 C（0,3）代入得 ，解得 4 ，t 3t 3第 1 题解图直线 BC 的解析式为 y= -x+3.点 M 在 BC 上，设点 M 的坐标为（

39、m,-m+3）（0m4），要使CQM 是等腰三角形， eq oac(,且)BQM 是直角三角形，则只有以下两种情况， ()当 MQOB，CM=MQ 时，如解图所示，则 CM=MQ=-m+3,3 3MB=BC-CM=5-(- m+3)=2+ m，4 4OC MQ 3 由 sinCBO= = = ，BC BM 533 3即 = ，解得 m= , 3 5 24则点 M 的坐标为（3 15, ）；2 8()当 CM=MQ,MQBC 时，如解图， 过 M 作 MNOB 于 N，3则 ON=m,MN=- m+3,4第 1 题解图在 eq oac(,Rt)BMN 中，易得 BM= 5=- m+5，4MN 5

40、 3= (- m+3)sinMBN 3 4CM=BC-BM=54m，在 eq oac(,Rt)BMQ 中，QM=BMtanMBQ=3 5 5由 CM=MQ 得(- m+5)= m， 4 4 43 5(- m+5)，4 4第 1 题解图221232223解得 m=沈进老师专用资料12 12 12，此时点 M 的坐标为（ , ）.7 7 7综上所述，存在满足条件的点 M,点 M 的坐标为（ 2. 解：（1）令 x=0，可得 y=2，令 y=0，可得 x=4，即点 B（4，0），C（0，2）.（2）设二次函数的解析式为 y=ax +bx+c， 将点 A、B、C 的坐标代入解析式得，3 15 12 1

41、2 , ）或（ ， ）.2 8 7 7a- b c 0 16a 4b c 0 c 2 1a -2 3 ,解得 b b2c 2,1 3即该二次函数的关系式为 y=- x + x+2.2 23 3 5 3 5（3）存在.满足条件的点 P 的坐标分别为 P （ ,4），P （ , ）,P ( ,- ).2 2 2 2 2【解法提示】y= -1 3x + x+2， 2 2y=-1 3 25 （x- ） + ，2 2 8抛物线的对称轴是 x=32，OD=32C（0，2），OC=2在 eq oac(,Rt)OCD 中，由勾股定理得 CD=52CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形， CP =DP =DP =

42、CD1 2 3如解图所示，作 CE对称轴于点 E， EP =ED=2，DP =41 1P （13 3 5 3 5 ，4），P （ ， ），P （ ，- ）.2 2 2 2 2第 2 题解图（4）如解图，过点 C 作 CMEF 于点 M，222222222设 E（a，-沈进老师专用资料1 1 3a+2），F（a，- a + a+2），2 2 21 3 1EF=- a + a+2-（- a+2）2 2 2=-a +2a（0a4）S = +S + 四边形 CDBF eq oac(,S)BCD CEF eq oac(,S)BEF第 2 题解图=1 1 1BD OC+ EF CM+ EFBN 2 2 2

43、5 1 1 1 1= + a（- a +2a）+ （4-a） （- a +2a） 2 2 2 2 25=-a +4a+2=-（a-2） +132（0a4）,a=2 时，S四边形 CDBF 最大=132，E（2，1）四 、与特殊四边形有关的问题1. （2015 重庆模拟）已知正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 C 在 x 轴的正半轴上，点 B（4，4）.二次函数 y= -16x +bx+c 的图象经过点 A、B.点 P（t，0）是 x 轴上一动点，连接 AP.求此二次函数的解析式；如图，过点 P 作 AP 的垂线与线段 BC 交于点 G，当点 P 在线段 OC

44、（点 P 不与点 C、 O 重合）上运动至何处时，线段 GC 的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图，过点 O 作 AP 的垂线与直线 BC 交于点 D，二次函数 y= -16x +bx+c 的图象上是否存在点 Q，使得以 P、C、Q、D 为顶点的四边形是以 PC 为边的平行四边形？若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由.图图备用图222沈进老师专用资料第 1 题图2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与 y 轴交于 C（0，-4）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物 线上一动点.

45、求这个二次函数的表达式;连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由;（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.【答案】1.解：（1）B（4，4），AB=BC=4，四边形 ABCO 是正方形， OA=4，A（0，4），将点 A（0，4），B（4，4）代入 y= -16第 2 题图x +bx+c，得c 4 1- 16 4b c 4 6，b解得 ，c 4二次函数解析式为 y=-（2）P（ t，0），

46、OP=t，PC=4-t，1 2x + x+4.6 32222沈进老师专用资料APPG，APO+CPG=180-90=90， OAP+APO=90，OAP=CPG，又AOP=PCG=90， AOPPCG，即AO OP= ，PC GC4 t= ，4 - t GC整理得，GC=-14（t-2） +1，当 t=2 时，GC 有最大值是 1，即 P（2，0）时，GC 的最大值是 1.（3）存在点 Q，使得以 P、C、Q、D 为顶点的四边形是以 PC 为边的平行四边形 理由如下：如解图、，易得OAP=COD，在AOP 和OCD 中，OAP CODOA OCAOP OCD 90,AOPOCD（ASA）， O

47、P=CD，第 1 题解图由 P、C、Q、D 为顶点的四边形是以 PC 为边的平行四边形得，PCDQ 且 PC=DQ， P（t，0），D（4，t），PC=DQ=|t-4|，点 Q 的坐标为（t，t）或（8-t，t），当 Q（t，t）时，-1 2t + t+4= t， 6 3整理得，t+2t-24=0，解得 t =4（舍去），t =-6，1 2当 Q（8-t，t）时，-1 2（8-t） + （8-t）+4=t， 6 3第 1 题解图222222沈进老师专用资料整理得，t -6t+8=0，解得 t =2，t =4（舍去），1 2综上所述，存在点 Q（-6，-6）或（6，2），使得以 P、C、Q、D

48、为顶点的四边形是以 PC 为边的平行四边形2.解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得：16 4b c 0 b -3 ，解得 ，c -4 c -4二次函数的表达式为 y=x -3x-4.（2）存在点 P，使四边形 POPC 为菱形；设 P 点坐标为（x，x -3x-4），PP交 CO 于点 E，若四边形 POPC 是菱形，则有 PC=PO；如解图，连接 PP，则 PECO 于点 E，C（0，-4），CO=4，又OE=EC，OE=EC=2，y=-2，x-3x-4=-2，第 2 题解图解得 x =13 17 3 - 17，x =2 2（不合题意，舍去），P 点的坐标为（3 172，-2）.（3）如解

49、图，过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x -3x-4）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+d，d -4 k 1 则 ,解得 4k d 0 d -4，直线 BC 的解析式为 y=x-4，则 Q 点的坐标为（x，x-4）；2222沈进老师专用资料当 0=x -3x-4，解得：x = -1，x =4， 1 2AO=1，AB=5，S =S +S +S 四边形 ABPC ABC BPQ CPQ第 2 题解图=1 1 1AB OC+ QP BF+ QP OF 2 2 21 1 1= 54+ （4-x）x-4-（x -3x-4）+ xx-4-（x 2 2

50、 2=-2x +8x+10-3x -4）=-2（x-2）2+18,当 x=2 时，四边形 ABPC 的面积最大，此时 P 点的坐标为（2，-6），四边形 ABPC 的面积的最大值为 18 五、与三角形相似有关的问题1. （2015 广元）如图，已知抛物线 y-1m（x+2）（x-m）（m0）与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧.若抛物线过点 G（2，2），求实数 m 的值.在（1）的条件下，解答下列问题：求ABC 的面积.在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AH+CH 最小，并求出点 H 的坐标.（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点 A、B

51、、M 为顶点的三角形 eq oac(,与)ABC 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由.第 1 题图2. 如图，抛物线经过 A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点.求出抛物线的解析式；P 是抛物线上一动点，过 P 作 P Mx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形 eq oac(,与)OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由；eq oac(,S)ABC沈进老师专用资料（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标.第 2 题图【答案】1.解：(1)抛物线过点 G(2

52、，2)，2=-1m(2+2)(2-m)，m=4.(2)y=0,-1m(x+2)(x-m)=0，解得 x =-2,x =m,1 2m0,A(-2,0)、B(m,0),又m=4,AB=6.令 x=0,得 y=2,C(0,2), OC=2， =1ABOC= 626.2第 1 题解图m=4，抛物线 y= -14(x+2)(x-4)的对称轴为 x=1，如解图，连接 BC 交对称轴于点 H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质可知， 此时 AH+CH=BH+CH=BC 最小.设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k0).4k b 0 k - 则 ,解得 b 2b 2,1直线 BC 的解析式为 y=- x+2.2第 1 题解图当 x=1 时，y=323,H(1, ).22222沈进老师专用资料(3)存在.如解图，分两种情况讨论：()当ACBABM 时，AC AB= ，AB AM即 AB =AC AM.A(-2,0),C(0,2)，即 OA=OC=2,CAB=45,BAM=45.过点 M 作 MNx 轴于点 N， 则 AN=MN，OA+ON=2