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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一函数。极限。连续-一.填空题1设,则a=_.解.可得=,所以a=2.2.=_.解.所以0,b0解.=4.求下列函数的间断点并判别类型(1)解.,所以x=0为第一类间断点.(2)解.显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=1为第一类间断点.(3)解.f(+0)=sin1,f(0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;不存在.所以x=1为第二类间断点;不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;,(k=1,2,)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求,.解.x=0是f(x)的

2、可去间断点,要求存在.所以.所以0=所以=1.=上式极限存在,必须.6.设,b0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以=.所以.7.讨论函数在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在a,b上连续,且ax1x2xnb,ci(i=1,2,3,n)为任意正数,则在(a,b)内至少存在一个,使.证明:令M=,m=.不妨假定所以mM所以存在(ax1xnb),使得9.设f(x)在a,b上连续,且f(a)b,试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=.证明:假设F(x)=f(x)x,

3、则F(a)=f(a)a0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.10.设f(x)在0,1上连续,且0f(x)1,试证在0,1内至少存在一个,使f()=.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在0,1内至少存在一个,使f()=.11.设f(x),g(x)在a,b上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=g().证明:假设F(x)=f(x)g(x),则F(a)=f(a)g(a)0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.12.证明方程x53x2=0在(1,2)内至少有一个实根.证明:令F(x)=x53x2,则F(1)=40所以在(1,2)内至少有一个,满足F()=0.13.设f(x)在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.解.所以.f(x)在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=3.因为,所以,所以=由,将f(x)泰勒展开,得,

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