专题16 相似三角形的性质

1、专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于ABC，ADBC，设BCa，ADh，试用a、h的代数式表示正方形的边长.AEHBFDGC例题与求解【例1】如图，已知ABCD中，过点B的直线顺次与AC，AD及CD的延长线相交于E，F，G，若BE5，EF2，则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形

2、建立含FG的关系式，注意中间比的代换.GAFDEBC【例eqoac(,2)】如图，已知ABC中，DEGFBC，且AD:DF:FB1:2:3，则SADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG（）（黑龙江省中考试题）A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36解题思路：ADE，AFG都与ABC相似，用ABC面积的代数式分别表示ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积.ADEFGBC【例eqoac(,3)】如图，在ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t1，t2，t3的面积分别为4，9和49，求ABC的面积.（第二届美国数学邀请赛试

3、题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.AFIDt1Pt3t2EBHGC如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形）我们可以得到：FDPIPEPHGABC；HGIEDF1；BCACABDEFGHI2；BCACABSABC(ttt)2.123上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.【例eqoac(,4)】如图，ABC中，O是三角形内一点，满足BAOCAOCBOACO.求证：BC2ACAB.（北京大学自主招生考试试题）解题思路：这实际上是一个著名

4、的问题：布洛卡点问题.设P是ABC内一点，满足PABPBCPCA，称点P是ABC的布洛卡点，则有cotBACcotABCcotACBcot.AOBC【例5】如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，DC5，AB42，B45.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.（1）求BC的长；（2）当MNAB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.（济南市中考试题）解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.

5、在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：勾股定理；相似三角形面积比等于相似比的平方.ADNBMC0.3S10.4时，则称eqoac(,A)BC与eqoac(,A)BC有一定的“全等度”.如图，已知梯形ABCD，ADBC，S【例6】设eqoac(,A)1B1C1的面积为Seqoac(,1)，A2B2C2的面积为S2(S1S2)，当eqoac(,A)1B1Ceqoac(,1)A2B2C2，且1112222B30，BCD60，连接AC.（厦门市中考试题）（1）若AD=eqoac(,DC)，求证：DAC与ABC有一定的“全等度”；（eqoac(,2)）你认为：DAC与ABC有一定的“全等度”

6、正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障.ADEBC能力训练1.如图，在ABC与BED中，若则ABC的周长为cm.A级ABBCAC5eqoac(,)，且ABC与BED的周长之差为10cm，BDBEDE3ACADEDEFBECADBBC（第1题）（第2题）（第3题）2.如图，ABC中，CE:EB1:2，DEAC.若ABC的面积为S，则ADE的面积为.（苏州市中考试题）3.如图，在ABC中，DEBC，DE，CD交于F，且S3CF

7、EDEFS，则SA:Ceqoac(,ED)BAS.eqoac(,S)COG（）eqoac(,S)AOF:4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为cm.（武汉市中考试题）5.如图，ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2DCADAAFOEBEMDFNOEGBCBMC（第5题）（第6题）（第7题）6.如图，直角梯形ABCD中，BCD90，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC90.将BEC绕点C旋转90使BC与DC重合

8、，得到DCF，连接EF交CD于点M.已知BC5，CF3，则DM:MC的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4（荆州市中考试题）7.如图，ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M，则下列结论错误的是（）SAN2ANONANOEON2SA.B.C.ONED.eqoac(,S)ADESAM2AMOMAMOCOM2OMBABC8.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，N点在CD上.若BMNMBC，则为（）1122A.B.C.D.2335AMDDANCBBC（第8题）（第9题）CNND的值9.如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB.求证：AB2BCCD

9、2AD.10.如图1，在eqoac(,Rt)ABC中，BAC90，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC于点E.BDBDFEFEAOCAOC图1图2（eqoac(,1)）求证：ABFCOE；（2）当O为AC边中点，ACOF2时，如图2，求ABOE的值；（3）当O为AC边中点，ACOFn时，请直接写出ABOE的值.（武汉市中考试题）11.如图，ABC中，AB4，D在AB边上移动（不与A，B重合），DEBC交AC于E，连接eqoac(,S)ABCS，CD.设eqoac(,S)DECS.1A（1）当D为AB中点时，求S:S的值；1DES（2）当ADx，1y，用x的代数

10、式表示y，并求x的取值范围；SBC1（3）是否存在点D，使得SS？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由.14（福州市中考试题）12.在等腰ABC中，ABAC5，BC6.动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重合，N不与A，C重合），且MNBC.将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上；（2）设MNx，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）AMNBPCB级1.如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB.若ADE，EFG，GIC的面积分别为20cm2

11、，45cm2，80cmeqoac(,2)，则ABC的面积为.ADEADBFHGICPBC（第1题）（第2题）2.如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，对角线ACBD于P点，已知AD:BC3:4，则BD:AC的值是.（绍兴市中考试题）S3.如图，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR，BOP和CRQ的面积分别是S1，3和S1，123那么正方形OPQR的边长是（）（全国初中数学联赛试题）A.2B.3C.2D.3AABAOREFE32BPQCDCB1DC（第3题）（第4题）（第5题）4.如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE:ED

12、（）（“希望杯”邀请赛试题）A.2B.325151C.D.225.如图，ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且123.如果ABC，EBD，ADC的周长依次是m，m1，m2，证明：mm512m4.（全国初中数学联赛试题）6.如图，P是ABC内的一点，等长的三条线段DE，FG和HI分别平行于边AB，BC和CA，并且AB12，BC8，CA6.求证：AI:IF:FB1:5:3.（江苏省竞赛试题）ADGCHESRPAIFBBPQC（第6题）（第7题）7.如图，锐角ABC中，PQRS是ABC的内接矩形，且SABCnS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数.求证：BS为无理数.AB（上海市竞赛试题）8

13、.如图，已知直线l1的解析式为y3x6，直线l1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为(8,0).又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度.设移动时间为t秒.（1）求直线l2的解析式；（eqoac(,2)）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（山西省中考试题）yBQAOPCx9.如图，设ABC三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等.求证：ABC为正三角形.（江苏省竞赛试题）AGFBDEC10.在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知ADCGk，连接DE与AF交于点P，连接CP.ABCEAF（1）如图1，当k1时，点B，C，E三点在同一条直线上，求的值.DE（2）如图2，当k1时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.求AFDE的值；求证：CPAF.（3）如图3，当k1时，请直接写出用含k的式子表示的AFDE的值.AGDPFADPGADPGBCFBCFBCEEE图1图2图311.在直角梯形ABCD中，CBOA，COA9