分式的恒等变形

1、第二讲分式的恒等变形【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础， 并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中 常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分 式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识分式的运算规律（1）加减法:nb=也（同分母）c c ca d =竺皂（异分母）b c bc（2）乘法:acbd（3）除法:adbca、an（4）乘方：（_）n =bbn分式的基本性质a ama a + m ,（1）=，=（m 丰 0）b bmb b + m（2）分子、分母与分式本身的符

2、号，改变其中任何两个，分式的值不变。比例的重要性质（1）如果a = d,d = f那么a = f （传递性）b c c e b e（2）如果a = d那么ac = bd （内项积等于外项积）b c（3）如果a = c那么地 =Q（合比性质）b d b c（4）如果a = c,（b-d丰0）那么 f = 皿（合分比性质）b da - c b - d（5）如果 =,且b + d T卜 n 0,b d n那么a + c + m = a （等比性质）b + d + n b倒数性质如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。如果两个正数互为倒数，那么这

3、两个正数的和不小于2。二、有关分式的运算求值问题乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例 题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。例1.若a、b、c均为非零常数，且满足a + b c a b + c a + b + c=，cba又x =(a + b)(b + c)(c + a)，且x 例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1,求a +b + c 的值ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 例 4.已知 a + b + c = 0 bc - a 2 ac - b 2 ab - c 2求(bc a2)2 + (ac -b2)2 + (ab

4、 c2)2 的值。例5.已知三+2+色=i,a+b+jo a b c x y z求X2+22+室的值。a 2 b 2 c 2 例6.已知x+y+z=3a (a。0，且x、y、z不全相等)，求 3 a)(y a) + (y a)(z a) + (z a)3 a)的值。(x a )2 + (y a )2 + (z a )2 例 7.已知 b2 + c2 一 a2 + c2 + a2 - b2 + a2 + b2 - c2 = ,门是自然数， 2bc2ca2ab求(b 2 + C 2。2 m .I + ( c 2 +a 2 - b 2 )2 “I + (。2+ b 2 -。2 g 的值。2bc2ca

5、2abA 例 8. 若x = a +1,求Lx3x2x + 2的值。2例9.已知。=1,试求分式2 的值。X 2 + X + 1 4X 4 + x 2 + 1例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足4x-3y-6z = 0 ,x + 2y-7z = 0。求 2X2+ 3y2+6z2 的值。x 2 + 5 y 2 + 7 z 2例11.若x、y、z为有理数，且(y 一 z)2 + (z 一 x)2 + (x 一 y)2 = (y + z 一 2x)2 + (z + x 一 2y)2 + (x + y 一 2z)2求(yz +1)(zx + 1)(xy +1)的值(x 2 +1)( y 2 +1

6、)( z 2 +1) 例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c=0,求 a + b *c的值。2a 2 + bc 2b 2 + ac 2c 2 + ab13.已知a丰b,a丰0,b丰0,a + b莉,x = 4，求4 + 7的值。a + bx - 2a x - 2b14 若 a + b - c _ a - b + c _ - a + b + c求(a + b)(a + c)(b + c)的值cbaabcA 例15.如果p,q,_1,2_1都是整数，且p 1,q 1,求p + q的值。q p三、有关分式的化简问题例17.化简 例 16.化简 a b + b c + c a + (a -

7、b)(b - c)(c - a) a + b b + c c + a (a + b)(b + c)(c + a)例18.化简X3+ +(X + X )(X + X + X )12123化简 a2 + (a - c)2 b 2 + (b - c)2Xn(X + X + X)(X + X + X )12n-112n例 19.已知 a2 + b2 = (a + b-c)2,例20.若X- mn丰0 ,化简aX2 -竺 m 2 nmX - n m例21.化简:(x - z)(y - z)(y + z - 2 x)(x - 2 y + z)(y - W( z - W +(z - y )3 - y)*(x

8、 - 2 y + z)(x + y - 2 z)(x + y - 2 z)(z + y - 2 x)三、有关分式的证明问题例22.若a + b + c = 0且土 +官+以=0，求证: a b cbc + b 一 c ca + c 一 a ab + a 一 b 八+= 0b 2 c 2c 2 a 2a 2b 2 例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0, abc=8.试判断1 + 1 + 1是 abc正数、负数、还是零。 例24.已知有理数a、b、c满足1 + 1 +1 -1，求证:a b c a + b + ca bb c或c a。 例25.若门为自然数，且1 +1 + 1 1，求证:

9、 a b c a + b + c1 + 1 + 1 1a 2 n+1 b 2 n+1 c 2 n+1 a 2 n+1 + b 2 n+1 + c 2 n+1 例26.证明：对于任意自然数n，分数21n + 4不可约。14n + 3 例27.已知a + b + 3 0,且a、b、c都不等于0 ,1111、,11、求证.a( + ) + b( + ) + c( + ) + 3 = 0。bcacab例28.证明:1+a (a + d)1(a + d)(a + 2d)+ . +a + (n - 2)d a + (n -1) d n 一 1aa + (n 一 1)d A 例 30.若 x + y + z 丰 0, x + y 丰 0, y + z 丰 0, z + x 丰 0,a 二二,卜工,c =二，求证M +上+上=1。y + z x + z x + ya +1 b +1 c +1例31.设a、b、c均为正数，且a + b + c = 1，证明：1 +1 +1 9。a b c例 32.求证 b-c + c a + a c 2 + 2 + 2(a - b)(a - c) (b - c)(b - a)(c - a)(c - b)a - b