全等三角形证明判定方法分类总结

1、【知识要点】1.2.全等三角形(一)SSSACD的面积.全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.全等图形的性质:(1)全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等(2)全等图形的面积相等3.全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形例2.如图， ABC DEF, A 50 ,BC9cm,CE 5cm,求 EDF 的(1)表示方法：两个三角形全等用符号“且”来表示，读作“全等于”度数及CF的长.ABC与DEF全等，记作 ABCz DEF(2)符号“0”的含义：“s”表示形状相同,表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.例3.如图，已知： AB=AD AC=A

2、E BC=DE求证:BAE CAD(3)两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.(4)证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形的判定(一)：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”例4.如图 AB=DE BC=EF AD=CF求证:或 “SS6.(1) AB DEF【典型例题】例1.如图，ABC0B 20 , S ABC(2)AB ABC 中 C 90 , DE ABABD和 CDB A ABDABCC 60 ,c ABD 35ABAE第FA与E互余B与BBEBABAB 30, DC D5 ,E

3、BBAD ABC第 D的 CD互余E 用（7，题ACF 110,Ad 9cCD 25cmD ABC与 ABD ABCABD ABC CDA 则 AD的长是（）AF=CD , 求证ABDEABCBCEFA、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2.如图,【例2】如图，已知:点 D E在BC上，且 BD=CEABC DCE , A 48 , E 62 ,点 B、G E在同一直线上,AD=AE/1 = /2,由此你能得出哪些结论给出证明则 ACD的度数为（）A 、 48 B 、38C 、 110 D 、 623.如图， ABC DEF , AF=2cm,CF=5cm 则 AD=ABE A

4、CD, A 100 , B 25 ,求 BDC 的度数.【例3】如图已知：AE=AR AB=AC /A=60 , /4.如图,【例4】 如图，B, C, D在同一条直线上， ABG ADE是等边三角形,求证： CE=AC+DC/ ECD=60 .【例5】如图，已知 ABC BD日匀为等边三角形。求证：BA CD=AD【巩固练习】1 .在ABCA ABC中，若AB=AB , AC=AC ,还要加一个角的条件，使 ABC ABC ,那么你加的条件是（）A . / A=Z A B. Z B=Z B C. z C=Z C D./ A=Z B,下列各组条件中，能判断 AB集 DEF的是（）A . AB=

5、DE BC=EF CA=CD =CD ; / C=Z F; AC=EFC . CA=CD / B=Z E=DE ; BC=EF两个三角形周长相等.阅读理解题：如图：已知 AC, BD相交于 O, OA=OB OC=OD.那么 AODW BOCi:等吗请说明理由.AB* BAD等吗请说明理由.小明的解答： OA=OB 1 OD=OC S SAS *AAOID BOC5.如图，AE是 BAC的平分线，AB=AC(1)若D是AE上任意一点，则4 ABDACQ说明理由(2)若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗请说明理由6.如图，已知 AB=AC EB=EC请说明BD=CD勺理由所以 AB% BAD

6、(2)如有错误给出正确解答;(1)你认为小明的解答有无错误;而 BADW AODA ADB ABC4.如图，点 C是AB中点，CD/ BE,且CD=BE试探究 AD与CE的关系。全等三角形（二）作业.如图，已知 AB=AC AD=AE BF=CF 求证： BDF 且 CEF。BC.如图， ABC BDF为等腰直角三角形。求证： （1） CF=AD （2） CEL AD二CB D.如图，AB=AC AD=AE BE和CD相交于点 O, AO的延长线交 BC于点F。求证：BF=FG小.已知：如图 1, AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F在直线 AC上，求证：DE/ BF。, F1.如图

7、，已知 ABAC, ADAE, AB=AC AD=AE/求证：(1) BE=DC (2) BEX DC./;E6、已知，如图A、F、C D四点在一直在一线上，AF=CD AB证:BD=CE/BCBFC11、已知如图，F在正方形 ABCD勺边BC边上，E在AB的延长线上，FB= ER AF交CE于G 求/ AGC勺度数.8、如图，正方形 ABCDW边CD在正方形ECG用勺边CE上，连接BE、DG(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，请说出旋转过程, 若不存在，说明理由。12、如图， ABC是等腰直角三角形，其中 CA=C

8、B四边形CDEF正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想;CDEF的一边落在 ABC9、已知：如图,AD是BC上的中线,且DF=DE求证：BE/ CF.(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母,结论是否仍然成立若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立,请说明理由(1)中猜想的10、已知C为AB上一点,AC西口 BCM是正三角形.求证：(1) AM=BN(2)求/ AFN大小。F yM【知识要点】ASA公理:如图，在AB全等三角形（三）ASA【例3】如图,AB=AC有两角和它们

9、的夹边对应相等的两个三角形全等.ABC与DEF中DEABC DEF (ASA)【例4】已知如图,2,ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.明之.【典型例题】【例1】下列条件不可推得 ABC和 ABC全等的条件是（AB= A B , AC=AC , BC=B CAB= A B , AC=AC , B B【例5】如图，1D、AB= AB, A A , B【例 2】 已 知 如A D, AB DE, AB/DE ,求证:BE C F34,点P在AB上，可以得出 PC=PD马试证AC=AE 求证：DE=BCA【例6】如图， A D, 12 , AC, BD相交于

10、O,求证：AB=CDOA=OD9、 已知：如图，AB=AC , AD=AE , 求证： OB国 OCE【巩固练习】ABCBEODFOBA D, 1 2,AF CDBD, BAD CAE ABCACBDBC, DCA证： ED距ACD隼 EMN,OAOEcCOFec E，1AEDADE,10、已知：如图，AB=CD , AD=BC ,O 为BD中点，过O作直线分别与 DABCBAECADBAC, AD BC ACD ABDABD, AC 10cm abc 才二0阳二:加 :学3的延长线交于 E、F,求证：OE=OF11、如图在 ABC4DBC中，/1=/2 , / 3=/4 , P是BC上任意一

11、点.求证PA=PD.pB13、已知：如图,OA=OE , OB=OF ,直线FA与BE12、已知：如图,四边形ABCD中,AD / BC , F是AB的中点，DF交CB延长线于 E , CE=CD .求证：/ ADE=/ EDC交于C , AB和EF交于O，求证：/ 1 = 72.说明理由.全等三角形(四)强化训练1、如图， ABC是等边三角形，点 D、E、F分别是线段 AB、BC、CA上的点，(1)若AD BE CF ,问 DEF是等边三角形吗试证明你的结论；(2)若 DEF是等边三角形，问 AD BE CF成立吗试证明你的结论.4、已知：如图，ZXABC 中， ABC 45, CDAB 于

12、 D , BE 平分 ABC ,且BE AC于E,与CD相交于点F, H是BC A边的中点，连结 DH与BE相交于点G .1 (1)求证：BF AC; (2)求证：CE BF；2BHC2、如图所示，已知/ 1=Z2, EFXADT P,交BC延长线于 M,求证：2/M=( / ACB-/B)3、4ABC中，/ A=90 , AB=AC D为 BC 中点，E、F 分别在AG AB上，且DH DF,试判断DE、DF的数量关系，并AF5、如图，点 O是等边 AABC 内一点， AOB 110, BOC . WABOC 绕点C按顺时针方向旋转 60得 ADC，连接OD .(1)求证：zCOD是等边三角

13、形；(2)当150o时，试判断ZXAOD的形状，并说明理由；(3)探究：当为多少度时， 4AOD是等腰三角形7、过等腰直角三角形直角顶点 A作直线AM平行于斜边BC,在 AMh取点 D,使 BD=BC且DB与AC所在直线交于 E,求证：CD=CE过A作AF, BC于F,过D作DGL BC于G 贝U DG=AF=1/2BC=1/2BD在 RtABDGJt, DG=1/2BD =/DBC=3 0 =/BDCW BCD=1/2(180 -30 )=75 ,即 / EDC=7 5/ DEC= DBC+ BCA=30 +45 =75/ EDCW DEC =CD=CE8、RtA ABC AB=AC,BM中

14、线，AD BM交 BC于 D,求证：/ AMBW CMD10、已知：如图，点 D在4ABC的边CA的延长线上，点 E在BA的延长线上,且/ B=30 , / D=40 ,求/ F 的度数。CREF分另I是/ ACB /AED的平分线,9、如图，已知 ABC是等边三角形，/ BDC= 120o ,说明AD=BD+CDj理由。11、等边三角形ABC等边三角形 DEC D在AC边上。延长 BD交CE延长线于 N延长AE交BC延长线于 ML求证：CM=CN易证 BC里 ACE所以/ DBCW EACB再证 BC距ACM (ASA)CM=CN12、操作：如图,以D为顶点作一个 ABB正三角形， BDB顶

15、角/ BDC= 120的等腰三角形, 60。角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连接 MN探究：线段BMM MNNC之间的关系，并加以证明.14、(涉及相似角形)若 P为ZXABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120,则点P叫做4ABC的费马点.如图，在锐角 ABC外侧作等边zXACB连结BB。求证：BB过4ABC的费马点P,且BB=PA PB PC.13、如图等边A ABC等边/ CDE点P为射线BC一动点，角APK=60 , PK交直线CD于 Ko(1) 试探索AR PK之间的数量关系;15、如图，ABC是等腰直角三角形，ZC= 900，点M,N分别是边AC和BC的中

16、点，点D在射线 BMLh，且BD= 2BM,点E在射线 NA上，且NE= 2NA.求证:BD, DE.(2)当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立为什么。B N C第五章全等三角形拓展延伸例 2:在ABC, /BAC=90 , AB=AC AE是过点 A的直线,BDLAE, CEL AE,如果CE=5 BD=11请你求出DE的长度。分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角） 放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形 全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初 中里面一个非常常见而又重要的方法。思路：抓住题目中所给的一组相等线段 AB=AC行分析，对它们的位置进行分析，发现 AB AC分别位于一个Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC直角=直角.可以求ffi AABtD AACE例1:已知AE既是/ BAC的平分线，也是/ BDC的平分线,试说明AB=AC思路：AB在4ABD中，AC在ACDt,要说明AB=AC尝试说明 ABDWACDir等。.观察图形发现两个三角形存在公共边AD.题目所给条件可以得到两组角相等，.再根据三个条件的位置，利用 ASA可得三角形全等.再利用全等三角形的对应边相等，得到 AB=AC且DE=AD+BE你能说出其中的