人教A版数学必修(第二册)8.5 空间直线、平面的平行 教案

1、空间直线、平面的平行【第一课时】直线与直线平行【教学目标】1理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题2理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题【教学重难点】1基本事实42等角定理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1基本事实4的内容是什么？2定理的内容是什么？二、基础知识1基本事实4（1）平行于同一条直线的两条直线平行这一性质通常叫做平行线的传递性（2）符号表示：abac.bc2等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补名师点拨定理实质上是由如下两个结论组合成的：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；

2、若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补三、新知探究基本事实4的应用例1：如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点求1/15证：四边形B1EDF为平行四边形因为E是AA的中点，所以EQAD.所以EQBC，所以QDCF，所以CQFD.【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.111因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，11所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1EC1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，1所以四边形DQC1F为平行四边形，1又B1EC1Q，所以B1EFD，故四边

3、形B1EDF为平行四边形B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且OA1OB1OC1.【证明】在OAB中，因为OA1OB1，所以A1B1AB.规律方法证明空间中两条直线平行的方法（1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明（2）利用基本事实4即找到一条直线c，使得ac，同时bc，由基本事实4得到ab.定理的应用例2：如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，OAOBOC求证：eqoac(,A)1B1C1ABC.OAOB同理可证A1C1AC，B1C1BC.2/15证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P2A1D1.所以C

4、1A1B1CAB，A1B1C1ABC.所以eqoac(,A)1B1C1ABC.规律方法运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补【课堂检测】1.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CMA1N.1又N为B1C1的中点，B1C1A1D1，所以C1NPA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1NC1P.又由PMDD1CC1，得C1PCM.所以CMA1N.2如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A，B

5、，C，D，E分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点求证：ABCCDE.证明：因为A，B分别是AD，DB的中点，所以ABa，同理CDa，BCb，DEb，所以ABCD，BCDE.又ABC的两边和CDE的两边的方向都相同，所以ABCCDE.【第二课时】直线与平面平行【教学目标】1理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系2理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直3/15线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【教学重难点】1直线与平面平行的判定2直线与平面平行的性质【教学过程

6、】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1直线与平面平行的判定定理是什么？2直线与平面平行的性质定理是什么？二、基础知识1直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a，b，且aba图形语言名师点拨用该定理判断直线a和平面平行时，必须同时具备三个条件：（1）直线a在平面外，即a.（2）直线b在平面内，即b.（3）两直线a，b平行，即ab.2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a，a，bab图形语言名师点拨（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个：4/1

7、5直线a与平面平行，即a；平面，相交于一条直线，即b；直线a在平面内，即a.以上三个条件缺一不可（2）定理的作用：线面平行线线平行；画一条直线与已知直线平行（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想三、合作探究直线与平面平行的判定例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF平面AD1G.【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EFBC1.又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1A

8、D1，所以EFAD1.又EF平面AD1G，AD1平面AD1G，所以EF平面AD1G.规律方法应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：空间直线平行关系的传递性法；三角形中位线法；平行四边形法；成比例线段法5/15提醒线面平行判定定理应用的误区（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线线面平行性质定理的应用例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：APGH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD

9、是平行四边形，所以点O是AC的中点又因为点M是PC的中点，所以APOM.又因为AP平面BDM，OM平面BDM，所以AP平面BDM.因为平面PAHG平面BDMGH，AP平面PAHG，所以APGH.规律方法【课堂检测】1已知b是平面外的一条直线，下列条件中，可得出b的是（）Ab与内的一条直线不相交Bb与内的两条直线不相交Cb与内的无数条直线不相交Db与内的所有直线不相交解析：选D.若b与内的所有直线不相交，即b与无公共点，故b.6/152给出下列命题：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行

10、其中正确命题的个数为（）A0C2B1D3解析：选B.中，直线可能与平面相交，故错；是正确的；中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故错3三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（）A相交C在平面内B平行D不确定解析：选B.在三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，所以AB平面A1B1C1.4如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点证明：BC1平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则DFBC1.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

11、所以BC1平面A1CD.【第三课时】平面与平面平行【教学目标】1理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确7/15描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系2理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【教学重难点】1平面与平面平行的判定2平面与平面平行的性质一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1面面平行的判定定理是什么？2面面平行的性质定理是什么？二、基础知识1平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a，b，abP，a，b图形语

12、言名师点拨（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行2平面与平面平行的性质定理文字语言符号语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，a，bab8/15图形语言名师点拨（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：平面和平面平行，即；平面和相交，即a；平面和相交，即b.以上三个条件缺一不可（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直

13、线（3）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面三、合作探究平面与平面平行的判定例1：如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.【证明】（1）因为B1BDD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，所以BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.又A1DBDD，所以平面A1BD平面B1D1C.（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，9/

14、154A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1平面FBD?解：当F满足CF4CC1时，两平面平行，下面给出证且DM4DD1，则AEDM，易得AEB1G，又因为AEB1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1EAG.易得GFAD，又因为GFAD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AGDF，所以B1EDF，所以DF平面EB1D1.又因为BDDFD，所以平面EB1D1平面FBD.变条件把本例（2）的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E11明：在D1D上取点M，1连接AM，FM，1从而四边形AMD1E是平行四边形所以D1EAM.同理，FMCD，又因为ABCD，所以FMAB，从而

15、四边形FMAB是平行四边形所以AMBF.即有D1EBF.又BF平面FBD，D1E平面FBD，所以D1E平面FBD.又B1BD1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形故而B1D1BD，又BD平面FBD，B1D1平面FBD，从而B1D1平面FBD，10/15又D1EB1D1D1，所以平面EB1D1平面FBD.规律方法证明面面平行的方法（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线面面平行性质定理的应用例2：如图所示，两条异面直线BA，

16、DC与两平行平面，分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN平面.【证明】如图，过点A作AECD交于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AECD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDCDE，平面AEDCAC，因为，所以ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PNDE，PN，DE，所以PN.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MPBE，且MP，BE.所以MP，因为MPPNP，所以平面MPN.又MN平面MPN，所以MN平面.1变条件在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线AMCN段AB，CD上，且MBND，其他不

17、变11/15证明：MN平面.证明：作AECD交于点E，连接AC，BD，如图因为且平面AEDC与平面，的交线分别为AC，所以ACED，所以四边形AEDC为平行四边形，作ED，NPC和D，E，F，求证：BCEF.DE交AE于点P，CNAP连接MP，BE，于是NDPE.AMCNAMAP又因为MBND，所以MBPE，所以MPBE.而BE，MP，所以MP.同理PN.又因为MPNPP，所以平面MPN平面.又MN平面MPN，所以MN平面.2变条件、变问法两条异面直线与三个平行平面，分别交于A，B，ABDE证明：连接AF交平面于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为，所以MEAD.DEAM所以EFMF.

18、同理，BMCF，ABAM所以BCMF，ABDE即BCEF.规律方法应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒面面平行性质定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化12/15平行关系的综合问题例3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图（1）求证：平面AB1D1平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD交点E，F，并证明：A1EEFFC.的【解】（1）证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD.

19、所以AB1平面C1BD.同理B1D1平面C1BD.B又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点证明A1EEFFC的过程如下：因为平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F.在eqoac(,A)1C1F

20、中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1EEF；同理可证OFAE，所以F是CE的中点，即CFFE，所以A1EEFFC.规律方法解决平行关系的综合问题的方法（1）在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质13/15（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法【课堂检测】1已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（）A平面内有一条直线与平面平行B平面内有两条直线与平面平行C平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D平面与平面不相交解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能