初中-八年级-等腰直角三角形中常用模型

1、 /4(2)(1) /4(2)(1)等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等(都是45)边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点1)以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：,过AD于占证：BE-CF=EF；RtABC中，ZBAC=90,A

2、B=AC,点D是BC上任意一点，过LBBE丄ADA1-1：于占4八、(1)的结论并证明。C变式1：等腰(JRtABC中，AB以AP为腰长作等腰直角APAQ，(1)求证：M为BE的中占F。若D在BC的延长线上(如B，(1)中的结论还成立吗？若不成立,EC，ZABC=90,占P在线段AB于2),(2)若PC=2PB,求的值BMBdHCB(2)以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等1-2：如图：RtAA于点E,交AC求证：bg=Af；若D在BC的结论并证明。变式1：如图確RtAABC中，ZACB=45,ZBAC=90,/AC交AF的延长线于E,B,ZBAC=90,/点D是A连

3、接DF,求证：Z1=ZABC中，AC=AB,ZZBAC=9,点D、E是AC.上两点,求证：Z1=Z2。写出新CFD中，ZBAC=90,AB=AC,点D是BC上任意一点，过B作BE丄AD过LC作CF丄AC交AD的延长纟于点F。长线上(如图(2)BF中的结论还成立D成立，请写出新的于H交BC于F,变式2：等腰RtABC中，交BC于点变式3：等腰丄BD于点G,交BC于点)F连接模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜iC是AB的中点,AF丄CD垂直且平分DE.点，AF丄BD于点AE，=CE,AFF等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接AD,求

4、证：ZADB=45。a变式1：等腰RtABC中，AC=AB,ZBAC=90,E是AC上一点，点一点，且FABC中,AC=求证：BD丄DC。叭变式2：等腰ABC中，AC=BAC=90,丄BE于D,DM丄AB交BA的延长线于点M,D交AC于E，过/C作CDCCB平分Z为BE延长线上 /4图1 /4图BMAM（1）求AB+BC的值；（2）求BC-AB的值。模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形:3-1：如图1,ABC、ABEF都是等EM是AF的中点，连B（3）两个等（2）两个等腰直角三，将ABEF绕点B三角形，ZABC=ZBEF=90，连接AF、

5、CF,。猜想CF与EM的并证明；角开口方向相同，必定含一对相-.EBC和CBCB）角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移CD.CED=90軀是等腰F则ABB如图肆C重合，连接AE；3-2：（1）如图若ZBAC=ZDAE是（1）B等（关键是利用平行证J两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合,P是线段B（2）如图2、3你的结论。【经典模型】在厶BACB中，ABCF）勺中点）,琏PC、PE。八，当A、C、D在同一直线上时：线段PC、PF的关E将ABAC绕A旋转a度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明、F=-关系C当点D在边边BCtZBAC=90B图2DCDB究DB、DA和D

6、C的C=90B：的大小关系?关系JDA图3推广：CB-7时，试DA1)ABC为等边三角形，D为BC下面ACBD应关系？【巩固练习】如图，在RtAABC中，AB二AC，/BAC二90。,D、E为BC上两点，/DAE二45, HYPERLINK l bookmark28 o Current Document F为AABC外一点，且FB丄BC,FA丄AE,则下列结论：CE=BF；1人BD2+CE2=DE2S二一AD-EFCE2+BE2=2AE2,其中正确的是 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document ，AADE4rA、B、C、D、已知：Rt/ABC中，AB=

7、AC,/BAC=90,若O是7交AB、AC于点M、N。(1)若ZMON=90。(如图1),求证：OM=ON；AABGi_D为顶点作/MON，(2)若ZMON=45。(如图2),求证：AM+MN=CN；3如图，在平面直角坐标系中，AAOB为等腰直角三角形，A(4,(1)0D,若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角求/AOD的度数；CEH连AIC2)过A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点B为直角边作等腰RtAEGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FMB的延长线上，以EGAM-FM等式图亦二1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。4在ABC和ADCE中，AB=AC，DC

8、=DE,/BAC=/EDC=90,点丄AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出/DAC的5.如图：等腰RtAABC和等腰RtAEDB,AC=BC,DE=BD,/AAB是一点，P为AE的中点。连接PC,PD；则PC,PD的位置关系是的结论。上，连AD,DFF;数量关系是；并证明你当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF丄BC于F,连接PF,试判断APCF的形状；在点E运动过程中，PCF是否可为等边三角形？若EDB的两直角边之比。6已知两个共一个顶点的等腰RtAABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=AF的中点，连接MB、ME.(1)(2)(3)如图1,当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；如图1,若CB=a,CE=2a，求BM,ME的长；如图2,当/BCE=45时，求证：BM=ME.可以，试求Aacb与AO接AF,M是7如图，在平面直角坐标系中1且ZONB=45+ZM(求证：.BOM+求BN的值;AA;F，B(0,4)。点N为0.A丄BN于M,0(3)若点P为第四象限内一动点，且ZAPO=135