初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题附答案

1、5初三数学锐角三角函数的专项培优易错难题练习题附答案一、锐角三角函数如图，海上观察哨所B位于观察哨所人正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所人与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所人北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上.（1）求观察哨所人与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截.（结果保留根号）（参考数据：sin37=cos53=,cos37=sin53=去，tan37=2,tan76=）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距

2、离为15海里；（2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出/ACB=90,再解RtAABC，利用正弦函数定义得出AC即可；（2）过点C作CM丄AB于点M,易知，D、C、M在一条直线上.解RtAAMC，求出CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可.【详解】（1）在A4BC中，ZACB=180ZB-ABAC=1837。53。=90。.AC3在RtVABC中，sinB=，所以AC=AB-sin37o=25x-=15（

3、海里）.AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.（2）过点C作CM丄AB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上.4在RtVACM中，CM=AC-sinZCAM=15x-=12,3AM=AC-cosZCAM=15x=9.在RtADM中，tanZDAM=MAM所以MD=AM-tan76=36.所以AD=pAM2+MD2=4+362=9帀，CD=MDMC=24.设缉私艇的速度为v海里/小时,则有24=空17，解得v二16v经检验，v二617是原方程的解.答：当缉私艇以每小时6币海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中

4、的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想如图，在ABC中，ZABC=ZACB,以AC为直径的OO分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且ZCAB=2ZBCP.求证：直线CP是OO的切线.若BC=2,sinZBCP=，求点B到AC的距离.在第(2)的条件下，求ACP的周长.【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20【解析】试题分析：(1)利用直径所对的圆周角为直角，2ZCAN=ZCAB，ZCAB=2ZBCP判断出ZACP=90即可；(2)利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：(1)TZABC=ZACB，AB=AC，AC为OO的直径，.ZANC

5、=90，.ZCAN+ZACN=90，2ZBAN=2ZCAN=ZCAB，TZCAB=2ZBCP，乙BCP=ZCAN,ZACP=ZACN+ZBCP=ZACN+ZCAN=90,T点D在OO上，.直线CP是OO的切线；(2)如图，作BF丄ACPBCaTAB=AC，ZANC=90，:.cn=：cb=L,ZBCP=ZCAN,sinZBCP=,.sinZCAN=1,.AC=5,.AB=AC=5,设AF=x，则CF=5-x,在RtAABF中，BF2=AB2-AF2=25-X2,在RtACBF中，BF2=BC2-CF2=2O-(5-x)2,.25-x2=2O-(5-x)2，.x=3，.BF2=25-32=16，

6、.BF=4，即点B到AC的距离为4考点：切线的判定3.如图，等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=36,BC=1,点D在边AC上且BD平分ZABC,设CD=x求证：ABC-BCD；求x的值；求cos36-cos72。的值.22【答案】证明见解析；T;（3）営8【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出/DBC的度数，得到ZDBC=ZA,再由/C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于

7、AC，交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36。与COS72。的值，代入原式计算即可得到结果.试题解析：（1）T等腰AABC中，AB=AC，ZBAC=36，ZABC=ZC=72，TBD平分ZABC，.ZABD=ZCBD=36，TZCBD=ZA=36，ZC=ZC，ABC-BCD；（2）TZA=ZABD=36，.AD=BD，TBD=BC，.AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1,TABC-BCD，AB_BCBDCD整理得：x2+x-1=0，解得：x1=x2=1J5负值，舍去），则x=（3）过B作BE丄AC，交AC于点E，TBD=CD

8、,E为CD中点，即DE=CE=T+5,4在RtABE中,AEcosA=cos36=IB14j+x；&+15+14-1+运在RtABCE中，cosC=cos72=EC_4_-1+书,BC14-cos36-cos72=_【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形4.如图，PB为OO的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交OO于点A,OC2(2)若=，且OC=4,求PA的长和tanD的值.5【答案】（1）证明见解析；（2）PA=3：，tan【解析】试题分析：（1）连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可

9、得：PA=PB,然后证明厶PA8PBO,进而可得/PBO=ZPAO,然后根据切线的性质可得ZPBO=90，进而可得：ZPAO=90,进而可证：PA是O0的切线；OC2（2）连接BE,由，且OC=4,可求AC,OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值.试题解析：（1）连接OB,则OA=OB，TOP丄AB，AC=BC，OP是AB的垂直平分线，二PA=PB，PA-PBPO-PO0），平移抛物线y=-X2，使其顶点D在抛物线q位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,设点D的横坐标为a.（1）如图

10、1，若m=.当OC=2时，求抛物线C2的解析式;是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(2)如图2,当0B=2：-m(OVmV：)时，请直接写出到厶ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).71【答案】y=-x2+x+2.1(2)P(-m,1),P2(、：-m,-3),P3(i-m,3),P4(3-m,3).【解析】试题分析：(1)首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C(0,2)在C2上，求出抛物线C2的解析式；认真审题，题中条件AP=BP”意味着点P在对

11、称轴上，点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP丄BC.画出图形，如图1所示，利用三角函数(或相似)，求出a的值；(2)解题要点有3个：判定ABD为等边三角形；理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；满足条件的点有4个，即ABD形内1个(内心)，形外3个.不要漏解.11试题解析：(1)当m时，抛物线q：y=(x+)2.T抛物线C2的顶点D在抛物线q上，且横坐标为a,D(a,(a+-)2).1抛物线C2：y=-(x-a)2+(a+)2(I).OC=2,C(0,2).点C在抛物线C2上,21-(0-a)2+(a+)2=2,解得：a，代入(I)式，7得抛物线C2的解析式为

12、：y=-x2+x+2.在(I)式中，11令y=0,即：-(x-a)2+(a+上)2=0,解得x=2a+或x=-：,B(2a+,0)；11令x=0,得：y=a+,C(0,a+1).设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：k(2a+)+=0b=a1:，解得2+斗11直线BC的解析式为：y=-x+(a+b.假设存在满足条件的a值TAP=BP,点P在AB的垂直平分线上，即点P在的对称轴上；点B与点C到直线OP的距离之和0)与BC交于点P,与x轴交于点E,则OP丄BC，OE=a.T点P在直线BC上，ttanZEOP=tanZBCO=1解得：a=.1存在a=，使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线O

13、P的距离之和最大且AP=BP(3)T抛物线C2的顶点D在抛物线q上，且横坐标为a,D(a，(a+m)2).抛物线C2：y=-(x-a)2+(a+m)2.令y=0,即-(x-a)2+(a+m)2=0,解得：x】=2a+m,x2=-m,aB(2a+m,0).vOB=2.-m,a2a+m=2、，-m,AB=OB+OA=2、.-m+m=2、如图2所示，设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=：,OE=OB-BE=-m.DE3tanZABD=?-、厂aZABD=60.又:AD=BD,aABD为等边三角形.作ZABD的平分线，交DE于点P1,则P1E=BEtan30 x=1,P(V-m,1)；在厶

14、ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BEtan60=i八=3,P2(r-m,-3)；易知adp3、bdp4均为等边三角形，adp3=dp4=ab=,且p3p4iix轴.aP3(八-m,3)、P4(-m,3).综上所述，到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1O-m,1),P2(1-m,-3),P3(-二厂-m,3),P4(3：-m,3).【考点】二次函数综合题.9.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,4),连接OB，以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB，旋转角为Q(0

15、Q360。)，得到矩形ADEF，点O,C,B的对应点分别为D,E,F.(I)如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标；（口）在（I）的情况下，AB与DE交于点H.求证ABDE仝ADBA；求点H的坐标.（皿）a为何值时，FB=FA.（直接写出结果即可）.【答案】点D的坐标为（詈,25）；（口）证明见解析；点H的坐标为（3,25）；25258（皿）a=60。或300。.【解析】【分析】（I）过A、D分别作AM丄OB,DN丄OA，根据点A、点C的坐标可得出OA、OC的长，根据矩形的性质可得AB、OB的长，在RtAOAM中，利用ZBOA的余弦求出OM的长，由旋转的性质可得OA=AD,利用等腰三角形

16、的性质可得OD=2OM,在RtAODN中，利用/BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的长，即可得答案；（口）由等腰三角形性质可得/DOA=ZODA，根据锐角互余的关系可得ZABD=ZBDE，利用SAS即可证明DBA竺BDE；根据DBA竺BDE可得上BEH=ZDAH，BE=AD，即可证明BHEDHA，可得DH=BH,设AH=x，在RtAADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；（皿）如图，过F作FO丄AB,由性质性质可得/BAF=a，分别讨论0a180时和180a360。时两种情况，根据FB=FA可得OA=OB,利用勾股定理求出FO的长，由余弦的定义即可求出/BAF的度数.【详解】（I）v点A（

17、3,0），点C（0,4）,OA=3,OC=4.四边形OABC是矩形，.AB=OC=4，矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的.AD=AO=3.在RtAOAB中，OB=OA2+ABi=5,过A、D分别作AM丄OB,DN丄OAOMOA3在RtQAM中，cosZBOA=-在中OAOB592588OM二5TAD=OA,AM丄OB,OD二182OM二ON3cosZBOA=OD5在RtAODN中：sinzBOA二DN二4在中OD5DN二72,on上2525点D的坐标为H，Z|（叫矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的，.OA二AD二3,zADE二90,DE二AB二4.OD=AD.ZDOA=ZODA.又:Z

18、DOA+ZOBA=90。,ZBDH+ZADO=90。ZABD=ZBDE.又:BD=BD,ABDE仝ADBA.由ABDE仝ADBA，得ZBEH=ZDAH,BE=AD=3,又：ZBHE=ZDHA,ABHE仝ADHA.DH=BH，设AH=x，则DH=BH=4x,在RtAADH中，AH2=AD2+DH2,即X2=32+（4x）2,AH=兰点H的坐标为（3,25I8丿（皿）如图，过F作F0丄AB,当0a180。时,T点B与点F是对应点，A为旋转中心，ZBAF为旋转角，即/BAF=a,AB=AF=4,TFA=FB，FO丄AB，OA=1AB=2,2OA1cosZBAF=AF2，ZBAF=60,即a=60。,

19、当180a360。时,同理解得：zBAF=60。,旋转角a=360。-60。=300。.综上所述：a=60。或300。.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.10.如图，已知，在eO中，弦AB与弦CD相交于点E，且Ac=BD.（3）如图，在（2）的条件下，点P在G上，连接FP交AB于点M，连接MG，若AB丄CD，MG平分ZPMB，MG=2，AFMG的面积为2,求eO的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）eO的半径的长为10.【解析】【分析】（1）利用相等的弧所对的弦相等进

20、行证明；（2）连接AO、DO，过点O作OJ丄AB于点J，OQ丄CD于点Q，证明AAOJ=ADOQ得出0J=OQ，根据角平分线的判定定理可得结论;（3）如图，延长GM交eO于点h，连接HF，求出FH=2，在HG上取点L,使HL=FH，延长FL交eO于点K，连接KG，求出FL=2、迂，设HM=n，则有LKFK=FL+LK=2迈+n，再证明KGHFZKFG=ZEMG=ZHMF，从而得到tanZKFG=tanZHMF，=，再代入FKHMLK和FK的值可得n=4，再求得FG的长，最后得到圆的半径为.【详解】解：（1）证明：Ac=Bd,Ac+Cb=Bd+Cb，二ab=Cd，AB=CD.（2）证明：如图，连

21、接AO、DO，过点O作OJ丄AB于点J，OQ丄CD于点Q,/AJO二ZDQO二90。,aj二1ab二1cd二dq2又:AO=DO,AAOJ仝NDOQ,.OJ=OQ，又:OJ丄AB,OQ丄CD,EO平分/AED.(3)解：tCD丄AB,.ZAED=90。,1由(2)知，/AEF=-/AED=45。,厶如图，延长gm交eO于点H，连接HF,tFG为直径，/H=90，S=1xMG-FH=2,AMFG2tMG=2，.FH=2，在HG上取点L，使HL=FH，延长FL交eO于点K，连接KG,./HFL=/HLF=45。，/KLG=/HLF=45。，tFG为直径，./K=90，/KGL=90。/KLG=45

22、=/KLG，.LK=KG，在RtAFHL中，FL=FH-+HL，FL=2j-，设HM=n，HL=MG=2，GL=LM+MG=HL+LM=HM=n,在RtALGK中，LG2二LK2+KG2,LKKGFK厶*LK二2迈送nZGMP=ZGMB,ZPMG=ZHMF,.ZHMF=ZGMB,1ZAEF=-ZAED=45。,2ZMGF+ZEMG=ZMEF=45。,ZMGF+ZKFG=ZHLF=45。，ZKFG=ZEMG=ZHMF,2tanZKFG=tanZHMF,n=4.KG=HFF_HM.HG=HM*MG=6，在RtAHFG中，FG2=FH2+HG2,FG=2*10,FO=.10.即eO的半径的长为、.1

23、0.【点睛】考查了圆的综合题本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用适当的添加辅助线是解题的关键11兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩南至七里河马滩是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31,拉索AB的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度,再由BD=BC+CD可得出.【详解】在RtAABC中，ZACB=90,BCSi

24、nA=AB二BC=ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9(米)答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.12.如图，在RtAABC中，ZC=90,ZA=30,AB=4,动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD丄AC于点D(点P不与点A，B重合)，作ZDPQ=60，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.用含t的代数式表示线段DC的长：;当t=时，点Q与点C重合时；当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，求

25、出t的值.135【答案】(1)L/：，；(2)1；(3)t的值为，或或.【解析】【分析】先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论；利用AQ=AC，即可得出结论；分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论【详解】TAP=；,AB=4,ZA=30AC=.J:,AD=：iCD=.：、.AQ=2AD=、：当AQ=AC时，Q与C重合即=、：.t=1；.PGF=90，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2.VZA=ZAQP=30,AZFPG=60,AZPFG=30,APF=2PG=2t,1AAP+PF=2t+2t=2,At=.、如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,AZQMN=90,111AN=.,

26、AC=扛，QM=.,PQ=.,AP=t.在Rfnmq中，池丄如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,11ABF=.,BC=1,PE=.,PQ=t,ZH=30.:ZABC=60,AZBFH=30=ZH,ABH=BF=1.在RtAPEH中，PH=2PE=2t.5VAH=AP+PH=AB+BH,A2t+2t=5,At=.4135即当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，t的值为：,或|或r【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键13.已知AB是O0的直径，弦CD丄AB于H,过CD延长线上一点E作O0的切线交AB的延

27、长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.如图1,求证：KE=GE；1如图2,连接CABG,若ZFGB=3ZACH，求证：CAIIFE；如图3,在(2)的条件下，连接CG交AB于点N,若sinE=5,AK=近0，求CN的长.答案】（1）证明见解析；（2）EAD是等腰三角形.证明见解析;【解析】试题分析：（1）连接OG,则由已知易得ZOGE=ZAHK=90,由OG=OA可得/AGO=ZOAG，从而可得上KGE=ZAKH=ZEKG，这样即可得到KE=GE；（2）设/FGB=a,由AB是直径可得/AGB=90，从而可得/KGE=90-a，结合GE=KE可得1ZEKG=90-a，这样在厶GKE中可得ZE

28、=2a，由/FGB=ZACH可得/ACH=2a，这样可得2ZE=ZACH，由此即可得到CAIIEF；（3）如下图2,作NP丄AC于P，由（2）可知ZACH=ZE，由此可得sinE=sinZACH=AHAC设AH=3a，可得AC=5a，CHCH=4a，则tanZCAH=IH由（2）中结论易得ZCAK=ZEGK=ZEKG=ZAKC，从而可得CK=AC=5a，由此可得HK=a,tanZAKH=二3，AK/10a,结合AK/10可得a=1,HK则AC=5；在四边形BGKH中，由ZBHK=ZBKG=90，可得ZABG+ZHKG=180,结合ZAKH+ZGKG=180,ZACG=ZABG可得ZACG=ZA

29、KH,在RtAAPN中,4PNtanZCAH=3二AP，可设PN=12b,AP=9b,PNtanZACG=p二tanZAKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP=13b=5,则可得b=I3，由此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：1）如图1，连接OGTEFWOO于G,0G丄EF,ZAGO+ZAGE=90,TCD丄AB于H,.ZAHD=90,.ZOAG=ZAKH=90TOA=OG,.ZAGO=ZOAG,.ZAGE=ZAKH,TZEKG=ZAKH,.ZEKG=ZAGE,.KE=GE(2)设ZFGB=a,TAB是直径,.ZAGB=90,ZAGE=ZEKG=90-a,ZE=1

30、80-ZAGE-ZEKG=2a,1TZFGB=ZACH,2.ZACH=2a,.ZACH=ZE,CAIIFE.(3)作NP丄AC于P.TZACH=ZE,AH3.sinZE=sinZACH=，设AH=3a,AC=5a,AC5则CH=*AC2CH2=4a,tanZCAH=寻=3AH3TCAIFE,.ZCAK=ZAGE,TZAGE=ZAKH,.ZCAK=ZAKH,=3,AK=JAH2+HK2=JlOa,AH.AC=CK=5a,HK=CK-CH=4a,tanZAKH=HK/AK=JT0,.a=1.AC=5,TZBHD=ZAGB=90,.ZBHD+ZAGB=180,在四边形BGKH中,ZBHD+ZHKG+

31、ZAGB+ZABG=360,ZABG+ZHKG=180,TZAKH+ZHKG=180,.ZAKH=ZABG,TZACN=ZABG,.ZAKH=ZACN,.tanZAKH=tanZACN=3TNP丄AC于P,.ZAPN=ZCPN=90,PN4在RtAAPN中，tanZCAH=二-，设PN=12b，贝VAP=9b,AP3PN在RtACPN中，tanZACN=3,CP.CP=4b，.AC=AP+CP=13b，TAC=5，.13b=5，b=13,14.在RtAABC中，ZACB=90,CD是AB边的中线，DE丄BC于E,连结CD,点P在射线CB上(与B,C不重合)如果ZA=30,如图1,ZDCB等于多

32、少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；如图3,若点P在线段CB的延长线上，且ZA=a(0VaV90)，连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系(不需证明)匱1】m副【答案】(1)/DCB=60.结论：CP=BF.理由见解析；(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由见解析.【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=30,只要证明厶CDB是等边三角形即可；根据全等三角形的判定推出厶DCP竺DBF，根据全等的

33、性质得出CP=BF,求出DC=DB=AD,DEIIAC,求出/FDB=ZCDP=2a+ZPDB,DP=DF，根据全等三角形的判定得出厶DCPDBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtana即可.【详解】(1)I上A=30,ZACB=90,ZB=60,TAD=DB,.CD=AD=DB,.CDB是等边三角形,如图1,结论：CP=BF.理由如下:TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZDCB=60,ZDCB=60.CDB为等边三角形.ZCDB=60T线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF,TZPDF=60,DP=DF,ZFDB=ZCDP,在厶DCP和厶DBF

34、中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,CP=BF.(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由：TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZA=a,.DC=DB=AD,DEIIAC,.ZA=ZACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,.ZBDC=ZA+ZACD=2a,ZPDF=2a,.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,T线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,.DP=DF,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,.CP=BF，而CP=BC+BP，.BF-BP=BC，在RtACDE中，ZDEC=90,CE.tanZCDE=

35、DE.CE=DEtana，.BC=2CE=2DEtana，即BF-BP=2DEtana.【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出厶DCPDBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似.TOC o 1-5 h z315.如图，直线：1与峙由交于点小，与；轴交于点，抛物线经过点点为轴上一动点，过点打且垂直于峙由的直线分别交直线川及抛物线于点，I填空：点;:的坐标为，抛物线的解析式为;当点叮在线段八上运动时(不与点1重合)，当为何值时，线段八最大值，并求出八的最大值；求出使为直角三角形时，的值；(3)若抛物线上有且只有三个点到直线X的距离是请直接写出此时由点:构成的四边形的面积.11当当=、时，八有最大值是3；使V为直角三角形时，的值为3或,；点构成的四边形的面积为：6