中考必做的36道数学压轴题

1、中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线2y mx 2mx 2 (m 0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A, B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的解析式；(3)若该抛物线在 2 x1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.(1)当x = 0 时，y =-2 .A (0, 2).抛物线对称轴为x= -2m 1 ,2m B (1, 0).(2)易得A点关于对称轴的对称点为 A (2, 2)则直线l经过

2、A、B .2, 2.没直线的解析式为y=kx+b2k b 2,k 则解得k b 0.b，直线的解析式为y = - 2x +2.:抛物线对称轴为x = 1抛物体在2 x3这一段与在1x 0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线l的上方，在1 x0.22所以，万程ax - (2am a) x+am+am= 0有两个不相等的实数根 . TOC o 1-5 h z 所以，不论a与m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点. 3分(2)解： y= a (x nj 2-a (x g = a (x 2m-1) 2-,24所以，点C的坐标为(2m_，a). 24当 y=0 时

3、，a(xn) 2- a (x-n) =0.解得 xi= m x2= m+ 1.所以 AB= 1.当ABC勺面积等于1时，2xix a =i24所以 1 xix ( a) =1,或 1xixg = i.2424所以a= 8,或a = 8.当x=0时，y= anm+ am所以点D的坐标为(0, an2+ anj).当ABC的面积与 ABD的面积相等时，1一 xix2 Xix ( a) =J_xix(am+an),或xixa=】xix ( anm+ an). TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 24224 2i ,12, i

4、 2所以m1 ,或m ,或m 9分 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 222变式：(2012北京，23, 7分)已知二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x -在x 0和x 2时2的函数值相等。求二次函数的解析式；若一次函数y kx 6的图象与二次函数的图象都经过点A( 3, n),求n和k的值；设二次函数的图象与 x轴交于点B, C (点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点 B和点C)向左平移n(n 0)个单位后得到的图象记为 G ,同时将(2)中得到的直线y kx 6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与

5、图象 G有公共点时，n的取值范围。【答案】(1)方法一：:二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x -在x 0和x 2时的函数值相等2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 33.二 4(t i) 4(t 2)-. HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 22.t 32这个二次函数的解析式是y1x2 x 3 HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 22方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为x 12(t 2) 12(t i)，这

6、个二次函数的解析式是(2)二二次函数的图象过1 2y 2x xA( 3,m)点.193- m -( 3)2 ( 3) -6. HYPERLINK l bookmark159 o Current Document 22又一次函数y kx 6的图象经过点 A 3k 66. k 4(3)令 y X2 X - 022解得：x11 x23由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为y1则向左平移后得到图象 G的解析式为：y =(x此时平移后的一次函数的解析式为y 4x 6 n1一(x 3)(x1), (1x3).23 n)(x 1n), (n1x 3n).1若平移后的直线y 4x 6 n与平移后的抛物线 y

7、 (x 3 n)(x 1 2n)相切.则 4x 6 n2(x3 n)(x 1 n)有两个相等的实数根。90有两个相等的实数的根。29) 02 TOC o 1-5 h z 1c1c即一兀一次方程x(n 3)x n22一一211 2. 判别式=(n 3)4 ()( n222解得：n 0与n 0矛盾.1，平移后的直线 y 4x 6 n与平移后的抛物线 y -(x 3 n)(x 1 n)不相切.2.结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为(n 1,0)和 (3 n,0)2则 4( n 1) 6 n 0 ,解得：n 34(3 n) 6 n 0,解得：n 63_23QZax x 2

8、(a24,0 .0)的图象与x第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破(例题)(2012湖南湘潭，26, 10分)如图，抛物线y轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)试探究 ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点， 求 MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标.3【答案】解：(1)将8 (4, 0)代入y ax2 -X 2(a 0)中，得:21 2 3，抛物线的解析式为：y -x2 3x 2(a 0) TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark147 o Current D

9、ocument 3 HYPERLINK l bookmark15 o Current Document (2) 当x2 -X 2 0 时，解得 xi 4, X2122.A点坐标为(10),则OA=1C 3 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document . .当 x=0 时，y x2 - x 222点坐标为(0, 2),则OC=2OA OC在 Rt/AOCf Rt/CO即， OC OB.RtAO RtCOB/ ACO= CBO/ ACB=ZAC(+Z OCB = CBO/ OC=90那么ABE直角三角形所以力ABC勺外接圆的圆心为 AB中点，其坐标为(，0)

10、 TOC o 1-5 h z 1 23(3)连接OM设M点坐标为(x,x2 -x 2)22Sd MBC S/obm S/ocm Sd OBC1 o 311=4 ( x x 2)2 x 2 4 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 2222= (x 2)2 4当x=2时，/MBC勺面积有最大值为 4, M的坐标为(2, 3)变式(2011安徽芜湖24)面直角坐标系中，？ABOQ口图放置，点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1 ,0),将此平行四边形绕点 O顺时针旋转90 ,得到？ABOC.(1)若抛物线过点C, A, A,求此抛物线的解析式；(2)

11、?ABOG口？ABOC重叠部分八OCD的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时 AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M的坐标.第三题“模式识别”记心头，看似“并列” “递进”（例题）23. （2012河南，23, 11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不 与A、B重合），过点P作轴的垂线交直线 AB与点C,彳PDL AB于点D.（1）求a、b及的值；（2）设点P的横坐标为m用含的代数式表示线段 PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接PR线段PCS PD盼成两个三角形，是

12、否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.【答案】（1）由，得，由，得，.经过两点,(-2)2 a-2 b-3=02一 一4 a+4b-3=3设直线A右轴交于点，则 ,/轴，.（2）由可知抛物线的解析式为在中,当时，有最大值存在满足条件的值，【提示】分别过点 D B作D吐PC, BGL PC垂足分别为 F、G.在中，当时，解得;当时，解得.变式一 27. (2011江苏泰州，27, 12分)已知：二次函数 y=x2+bx3的图像经过点 P ( 2,5).(1)求b的值，并写出当1vxW3时y的取值范围；(2)设点P1 (miy。、P2 (m+1

13、,y2)、P3( m+2, y3)在这个二次函数的图像上.当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理 由.【答案】解：(1)把点P代入二次函数解析式得 5= (2) 2-2b-3,解得b=-2.当1vxW3时y的取值范围为一4ymi+ 2mi-3, ( nn-2) 2 80,当m不小于5时成立，即y1+y2y3成立.x2 bx c的图像与x轴的一所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长， 变式二(2013重庆B卷，25, 10分)如图，已知抛物

14、线 y个交点为B (5, 0),另一个交点为 A,且与y轴交于点Q0, 5).(1)求直线BC与抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点 M作y”MNS1 S2 S1【答案】解：(1)设直线BC的解析式为y mx n,将B (5,0),C (0, 5)代入有:5m n 0n 5解得:所以直线BC的解析式为y再将B (5, 0), C (0, 5)代入抛物线y x2 bx c有:25 5b c 0c 5解得：b 6 所以抛物线的解析式为： c 5y x2 6x 5(2)设M的坐标为(x, x26x 5),则N的坐标为(x,x 5),MN=( x 5) (x2 6x 5)

15、x2 5x(3)当 y x2 6x 5 0 时，解得 x1 1 , x2 5故 A (1,0 ), B (5,0),所以 AB=4由(2)可知，N的坐标为(5,5) TOC o 1-5 h z 22 S214 5 5 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 22则 Si 6s2 30,那么 Scbp15在y上取点Q (-1 , 0),可得Sa cbq 15故 QP/ BC则直线QP勺解析式为y x 1当 x2 6x 5 x 1 时，解得 x1 2, x2 3所以P点坐标为（2,3）,（3,4）,第四题“准线” “焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（

16、例题）0（2012四川资阳，25, 9分）抛物线y -x2 x m的顶点在直线y x 3上，过点4F（ 2,2）的直线交该抛物线于点 M N两点（点M在点N的左边），MAL x轴于点A, NEBL x轴 于点B.（3分）先通过配方求抛物线的顶点坐标 （坐标可用含 m的代数式表示），再求m的值；（3分）设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF=NB（3分）若射线Ng x轴于点P,且PAX PB= I00,求点M的坐标.9（第25题图）11 212答案：斛(1) y -xx m (x 2) (m 1)44，顶点坐标为(一2 , m 1),一顶点在直线y x 3上，2+3

17、=m 1 ,得 m=2(2)二,点N在抛物线上，1 2.点N的纵坐标为一a2 a 241 2即点 N a, -a2 a 2)4过点F作FC NBT点C,1c TOC o 1-5 h z 在 RtFCN中,FC=a+2, N(=NBCB=-a2 a . NF2 = NC2 FC2 = 4，,12、2,_ 2 ,122, 2、(aa)(a2) =( aa) (a4a)444W_ 212_21222NB =(a a 2) = (a a) (a 4a) 4 44NF 2= NB2, NF=NB(3)连结 AR BF由 NF=NB 得/ NFB/NBF 由(2)的结论知， MF=MA . . / MA=

18、/MFAMAL x轴, NBL x轴，MA/ NBAM+/BNf=180. MA侪口NFB勺内角总和为 360 , .2/ MA+2/NBF=180 , / MA+/NBF=90 ,. /MA+/ NBAF180 , ./ FBA+Z FAB=90 又. / FAB-Z MA=90 ./ FB/=Z MARZ MFA TOC o 1-5 h z ，PF PB 9100又. / FPA=/BPF， PFM PBIPF2 PA PB =PA PF 9过点 F作 FGL x轴于点 G在 RtAPFG, PG JPF_Fg =- ,，P(=PG+G(=, 33.R 1430)设直线PF： y kx把点

19、 F ( 2 , 2)、点 P( 14 , 0)代入 y3kx b 解得 k =-,4b=7, .直线 PF: y2解方程x2 x 243-x43-x4727 ,得x =3或x =2 (不合题意，舍去)2当 x=-3 时，y = 5，.二 M(3 ,-)44变式一 25.已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)顶点为C (1, 1)且过原点 Q过抛物线5 ，上一点P (x, y)向直线y= 7作垂线，垂足为 M连FM (如图).(1)求字母a, b, c的值；3(2)在直线x=1上有一点F(1 ,9)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的 4坐标，并证明此时 PFMtt;正三角形；(3)

20、对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点N (1, t),使PM=PN1成立？若存 在请求出t值，若不存在请说明理由.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c (a0)顶点为C (1,1)且过原点0,可得一旦=1, 4ac=1, c=0,2a 4a . a=-1 , b=2, c=0.(2)由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x,故设P点的坐标为(m -m2+2m),则M点的坐标(mi,刍)， 4PFM1以PM为底边的等腰三角形. PF=MF 即(m-1) 2+ (-m2+2m-3) 2= (m-1) 2+ (3-5) 2 TOC o 1-5 h z 44 4 -m2+2m-3 =-或-m2+2

21、m-3 =-,4 242一 .3 1当-m+2m-=4 2时,即-4m2+8m-5=0 .=64-80=-16 1,所以ON y2 2 .设ON的中点为E,分别过点 M E向直线li作垂线，垂足为 P、F,则 EF=OC NP = U, 22所以 ON=2EF,即ON的中点到直线li的距离等于 ON度的一半, 所以以ON为直径的圆与直线li相切.(3)过点M作MHL NP交NPT点H则22222MN2 MH 2 NH2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 ,又 yi=kxi, y2=kx2,所以 yi)2 = k2(x2 Xi)2 ,所以 MN2 (i k2)(x2 xj2；又因为点

22、M N既在y=kx的图象上又在抛物线上，所以 kx lx2 i ,即 x2 4kx 4 0 , 44ki6k2 i62所以 x = =2k 2 Ji k2 ,2所以(x2 x,)2=i6(i k2),所以 MN2 i6(i k2)2,所以 MN4(i k2).延长NP交l 2于点Q过点 M作MSL 12于点S, TOC o 1-5 h z i c 1c1c c则 MS+NQ=yi2y2 = xii x2i4= (xix2) 2 ,444又 x； x22 = 24k2 4(i k2) i6k2 8,所以 M& NQ= 4k2 2 2 = 4(i k2) =MN即M N两点到直线12的距离之和等于

23、线段 MN的长.N E AO B MH：C F PS D Q 第24题第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题(2012浙江宁波，26, 12分)如图，二次函数 y ax2 bx C的图象交x轴于A ( 1, 0), B(2, 0),交 y 轴于 C (0, 2),过 A C 画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA= PC求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且A CHM AAOC(点C与点A对应)，求点M的坐标;4若M的半径为_J5,求点M的坐标.1)(x 2)2.“【答案】 解：(1)设该二次

24、函数的解析式为：y a(x将 x=0, y=2 代入，得2= a(0+1)(0 -2) 解得a=1.抛物线的解析式为y (x 1)(x 2),即y(2)设 OP=x,贝U PG=PA=x +1 .在RtAPOC,由勾股定理，得 x2 22(x1)2(3). CHMb AOC / MCH/ CAO情形1:如图，当H在点C下方时， /MCH/ CAO CM/ x 轴，yM 222,解得 x=0 (舍去)，或 x=1, M(1 , 2) .情形2：如图，当H在点C上方时M CH=/CAQ 由(2):得，M 为直线设直线CM的解析式为y=kx-2._ 3 3把P ( 一 , 0)的坐标代入，得一k 2

25、 0CP与抛物线的另一交点,24解得k 43由4x 232.解得x=0 (舍去)2,此时y泉白沙在x轴上取一点D,过点D作D已AC于点E,使DE遥.5/COA/ DE盒90 , / OAC/ EAD， ADP AOC，AD DEAC OCAD54、,55一，解得 AD=2.2 .D(1 , 0)或 D ( 3, 0).过点D作DM AC,交抛物线于 M则直线DM勺解析式为：y 2x 2或y 2x 6 .当一 2 x 6= x2 x 2时，方程无实数解.当一2x+2=x2 x2 时， TOC o 1-5 h z 171 -17 HYPERLINK l bookmark111 o Current

26、Document 解倚 , x2 .2.点 M的坐标为 M 1 7,3 J7)或 M( 1 7,3 J7)22变式一 25.如图，抛物线y= -x2+x+3与x轴相交于点A、B,与y轴相交于 4点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴相交于点F.(1)求直线BC的解析式；(2)设点P为该抛物线上的一个动点，以点 P为圆心，r为半径作。P当点P运动到点D时，若。P与直线BC相交，求r的取值范围；若r= 4而，是否存在点P使OP与直线BC相切？若存在,请求出点 P的坐标;5若不存在，请说明理由.),对称轴x=b2ab 4ac b22a 4a提示：抛物线y=ax2+bx+x (aw0)

27、的顶点坐标(变式二 22. (2012广东省，20, 9分)如图，抛物线 y=1x2-3x-9与x轴交于A、B两22点，与y轴交于点C,连接BC AC(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行于 BC交AC于点D.设AE的长为mi ADE勺面积为S,求S关于m的函数关系式，并写出自 变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接 CE求 CDE积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留).1 2 3【答案】(1)当 y=0 时，-x - x-9=0 ,解得 xi=-3, X2=6.AB=|X1 X2|=| -3-6| =9.当 x=0 时，y=9.OCa(2)由(1)得 A( 3,0) , B(6,0) , C(0, 9),直线BC的解析式为y=3x-9,直线AC的解析式为y=-3x-9.2 AE的长为 rqE(m-n 3,0).又.直线l平行于直线BC .直线l的解析式为y=33-x-(m-3).22 TOC o 1-5 h z 3x 9m 9/曰 x=m 9-33 得 3 ，点 D(，-m).-x-(m-3)3 | m= 3 m2-3 m.(0 vm k的值；(2)判断zACD的形状，并说明理由；(3)