课件第四章第二节

1、2 向量组的线性相关一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关2 向量组的线性相关性 矩阵有个维列向量 它们组成的向量组称为矩阵的列向量组 有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成，的集合称为一个向量组例如一个 矩阵又有个维行向量 它们组成的向量组称为矩阵 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 个 维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 ； 个维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 的行向量组矩阵例如注意这里的矩阵与可以看作是分块矩阵 个未知量的个方程组成的线性方程组写成矩阵形式从而线性方程组可以与它的增广矩阵这种对应如果看成一个方程对应的一个行向量，那么方程组就与可以知道方程组与的

2、列向量组之间也有一一对应关系 在第二章中，我们把含有，的行向量组对应把线性方程组写成向量形式一一对应如果利用分块矩阵的乘法那么，当方程组有解时，向量可以由向量组如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性通过线性运算得到运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为向量组的线性关系在本章中，我们将讨论向量组的线性关系根据第三章定理1我们知道，如果向量且，那么与平行的充分必要条件是存在实数使 、是那么由第三章1的方法，可以得到任意的分解式 上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合一、向量组的线性组合，又如，设的单位坐标向量，的概念定义4 设向量组，对于任何一组实数，向量 称为向量组的一

3、个线性组合，称为这个线性组合的组合 与向量组，如果存在一组数，使 ，那么向量是向量组的线性组合，这时称向量组能由向量组线性表示设向量系数向量能由向量组线性表示，也就是方程组有解根据第二章1第四目关于线性方程组解的不同与向量都是 维向量)，记矩阵，那么下列三个命题等价：能由向量组线性表示；情况的讨论以及第三章4矩阵的秩的求法，可以得到 定理1 设向量组（1）向量（2）线性方程组有解；(（3）线性方程组等于其系数矩阵的秩，即借助于定理1，我们可以直接使用矩阵的初等能否由向量组线性能由向量组 线性表示时求相关的，对矩阵施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵变换来判断向量表示，并且在组合系数： 记的增广

4、矩阵的秩比较与如果，那么向量不能由向量组线性表示；如果，那么向量能由向量组线性表示继续对使它变成行最简形矩阵此时，矩阵列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的关于向量组的组合系数施行初等行变换的最后一个组合系数就是向量例4 设维向量空间的向量组：， 那么的任意向量都能由向量组线性表示这因为 向量组称为维单位坐标向量组能由向量组线性表示，并求出相应的组合系数例5证明向量解 记对矩阵施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵， 故向量能由向量组 线性表示 因此， 再对上述最后一个矩阵施行初等行变换，使它变成行最简形矩阵所以设有两个向量组及如果向量组中的每个向量都能由向量组那么称向量组能由向量组线

5、性表示如果向量组与向量组 容易证明，向量组间的等价关系满足下列性质：与向量组等价，那么也与向量组等价；线性表示，能相互线性表示，那么称这两个向量组等价（1）反身性 每一个向量组都与它自身等价；（2）对称性 如果向量组向量组定义5如果向量组与向量组等价，向量组与向量组等价，那么向量组与向量组等价( 3 ) 传递性与所构成的矩阵分别记作与向量组能由向量组线性表示，即对存在数，使 从而 这里矩阵称为这一线性表示的系数矩阵把向量组每个向量此时，有由此可知，如果，那么矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一线性表示的系数矩阵： 同时的行向量组能由的行向量组线性表示，为这一线性表示的系数矩阵： 设

6、矩阵经过初等行变换变成矩阵，那么的每个行向量都是的行向量组的线性组合，即的行向量组能由的行向量组的线性表示由于初等也可以经过初等行变换变成，从而的行向量组也能由的行向量组线性表示的行向量组与的行向量组等价 经初等列变换变成，那么的列向量组与的列向量组等价行变换是可逆的，因此矩阵于是类似地，如果矩阵二、向量组的线性相关性具有成立的充分必要条件是 维向量组的线性相关性的定义在第三章例5中，单位坐标向量向量等式下列性质：我们有如下的定义6维向量组，如果存在一组，使得向量等式 成立，那么称向量组线性相关；线性无关，即如果由向量等式（5.9）成立可以线性无关时，向量组线性相关，有特殊的时，即一个向量线性

7、相关的充分必要对于两个向量组成的向量组它线性不全为零的数（5.9）推导出当几何意义条件是设否则称向量组，那么称向量组 的分量对应成比例，其几何三个向量组成的向量组线性相关的相关的充分必要条件是意义是共线 几何意义是这三个向量共面 设向量组A：构成矩阵，那么向量组A线性相关的充分必要条件是齐线性方程组 即根据第二章1关于线性方程组解的不同情况的有非零解讨论以及第二章4矩阵的秩的求法，可以得到 定理2维向量组，记矩阵，那么下列三个命题等价：线性相关；有非零解；，即矩阵的秩小于向量组所含向量的等价地，下列三个命题等价：设(1) 向量组(2) 齐次线性方程组(3)个数线性无关；(1) 向量组只有零解；

8、(2) 齐次线性方程组(3) ，即矩阵的秩等于向量组所含向量的个数定理2为我们提供了一个利用矩阵初等变换来讨论的特殊情况，我们容易得到下列两个推论维向量组，那么下列三个命题等价：线性相关（无关）；向量组的线性相关性的方法对于向量个数设推论1（1）向量组（2）齐次线性方程组有非零解（只有零解）；（3）推论2维向量组即向量组所含向量个数大于向量的维数，那么一定线性相关 中任意四个向量一定线性相关，而任意三中任意个向量都是线性相关的，因此，任意线性维向量组最多含有个向量设例如在个向量线性相关的充分必要条件是它们共面无关的例6 证明维单位坐标向量组 线性无关一般地，在 证一 我们直接利用定义6证明如果

9、存在一组数，使得 ，根据向量线性，从而所以是线性无关的构成的矩阵为 ，是阶单位矩阵显然有，即等于向量组中向量的个数，所以由定理2知道向量组是线性无关的运算的定义可以得到证二我们利用定理2，设向量组例7的线性相关性讨论向量组解 对矩阵施行初等行变换使它变成行阶梯的秩所以，故线性相关线性无关，证明向量组线性无关、，使得形矩阵，就可以看出矩阵例8 已知向量组证 设有一组数即 从而 因为线性无关，故有 解此方程组得唯一零解所以向量组 线性相关性是向量组的一个重要性质，下面我们介绍线性无关与它相关的一些简单结论，而它们的证明都依赖于定理2的结论定理3线性相关，那么向量组，也线性相关线性无关，则向量组证

10、记，显然有 如果向量组线性相关，那么由定理2，有，从而 因此由定理2知向量组线性相关也线性无关证毕 定理3是对向量组增加1个向量而言的，增加多个向量的结论也成立 即设向量组 是向量组 的一部分 如果向量组等价地，如果向量组（这时称向量组是向量组那么定理3可以推广为：如果一个向量组有线性相关的部分组，那么该向量组线性相关即向量在相同位置上都添上一个分量后得向量；如果向量组线性无关，那么向量组的部分组）定理4 设特别地，含零向量的向量组一定线性相关等价地，如果一个向量组线性无关，那么它的任意部分组都线性无关也线性无关；线性相关，则向量组也线性相关显然有 如果向量组线性无关，那么，从而但，故因此向量

11、组线性无关证 记 定理4是对向量增加1个分量而言的，如果在相同位置增加多个分量，结论也成立证毕等价地，如果向量组 定理5线性无关，而向量组线性相关，一定能由向量组线性表示，而且表示式是唯一的显然有 因向量组线性无关，有因向量组线性相关，有 所以 ，即有 由，根据第二章1关于线性证一 记方程组解的不同情况的讨论及矩阵的秩的求法知道， 设向量组那么向量线性方程组 （其中有唯一解，能由向量组证二 我们利用与第四章2例5类似的方法，即直接线性相关，存在一组，使得 如果，那么向量等式（5.10）变成 ，且不全为零，就得到线性相关，与）并且表示式是唯一的利用定义6来证明不全为零的数（5.10）线性表示，即向量由于向量组线性相关，与线性无关矛盾从而可得 即向量能由向量组线性表示 有两个关于向量组的线性组合表示式： 及 两式相减并整理可得 但是是线性无关的，故得从而所以向量关于向量组的线性组合表示式是唯一的，设向量所以证毕 最后，我们介绍向量组线性相关的一个充分必要条件充分必要条件是个向量线性表示线性相关，那么存在一组不全为零，使得 因为不全为零，不妨设，于是有 定理6 向量组线性相关的证 设的数该向量组中至少有一个向量能由其余即 能由其余向量线性表示 中有一个向量（不妨设能由其余个向量线性表示，即有一组数使得 ，从而有 显然 不全为零，例9反之，设）所以线性相关证毕已