彭水军老师课件theory of the firm

1、第三章 厂商理论本章要点一些基本概念生产生产函数规模与可变比例成本生产中的对偶性竞争性厂商的决策行为利润最大化利润函数*一、基本概念(一) 厂商及厂商的主要目的按照新古典理论，所谓厂商就是把投入品转化为产出的装置。厂商的目的是利润最大化。（二）厂商利润最大化的约束条件技术约束：能生产什么？能生产多少？- 1 -利润=收入成本收入成本产品市场生产要素市场产投入品市场约束：要素市场、产品市场二、生产生产是投入品转化为产的过程，这个过程受技术条件的限制。在不同的技术条件下，同样的投入，其产出不同。那么如何刻画厂商生产所受到的技术限制呢？这就需要引进生产集的概念。(一) 生产集中的一个向量 y ( y

2、 , y , y ) Rn ，每一个向1. 生产向量 生产向量是n12n量是一个生产计划，其分量表示各种投入与产出的数量。其中 yi 代表第i 种商品，如果yi 0 ，则代表投入， yi 0 则代表产出，如果 yi 0 ，则意味着第i 种商品既没有被生产也没有被用来做投入。例如，如果n 4 ， y (2, 1,5, 0) 意味着用 2 个的商品 1 和 1 个的商品 2可以生产出 5 个2. 生产集的商品 3。n中的生产向量有无穷多，但不是每一个生产向量都是技术上可行的，把所有技术上可行的生产向量的集合称为生产集（或生产可能集），记为Y Rn 。Y 代表了厂商所受到的技术限制。3. 生产函数生

3、产集是目前刻画厂商生产所受到的技术限制的最一般的方法，因为它允许有多种2 , xn ) xi 0投入与多种产出。但在一般的情况下，更关心的是多种投入与一种产出 y 之间的关系，这就是在新古典理论中，用一个生产函数 f ：Rn R 来描述生产过程的方法。假设 3.1 生产函数的性质生产函数 f ：Rn R 是 Rn 上的：连续（投入的微小变化只会带来产量的微小变化）；严格递增（多投入，多产出）；严格拟凹；- 2 -（4） f (0) 0 （没有投入，就没有产出）。单调性表明，投入越多产出越多，这与常理是相符的。但严格说来，单调性隐含地使用了无成本处置条件假设厂商可以无成本地处置或丢弃多余的要素或

4、资源。在只有两种投入要素的情形，如果技术是单调的，那么位于(x1 , x2 )平面中右上方的等产量曲线对应的产量总比在左下方的等产量线对应的产量高。生产函数的拟凹性等价于其上优集为凸集。即厂商的任意一个必要投入集Q( y) x f (x) y,y 0都是凸集，就说该技术是凸的。所以如果厂商的技术是凸的，他的生产函数必然是拟凹的，这也是有时将凸技术称为拟凹技术的原因。凸技术的等产量线（两要素情形）是凸向原点的，这意味着随着 x1 的增加曲线越来越平坦， MRTS12 越来越小。技术替代率递减是新古典微观经济学的一个标准假设。4.等产量集相同产量 y 各种投入要素 x 的组合，用公式表示为： Q(

5、 y) x在 3.1 假设下，生产函数是严格拟凹的，所以有等产量曲线是凸的。5. 短期生产函数与长期生产函数f (x) y。由于至少有一种生产投入要素固定不变的生产函数，称为短期生产函数；如果所有的投入要素都可变，则称为长期生产函数。(二) 与短期生产函数的相关概念下面的定义都是有关短期生产函数的一些相关概念，即只有某些生产投入要素变化，且至少有一种生产投入要素不变。1. 投入要素i 的边际产量当生产函数可微时，偏导数 f 度量了在其他投入要素不变的情况下，增加一个单xif =f位的i 种投入要素所增加的产出，记为：MP i 1, 2,n 。由于在 3.1 假设下，ixiif生产函数是严格递增

6、的，所以有 0, i 1,2,., n 。xi- 3 -2. 投入要素i 的平均产出fx用 AP 表示投入要素i 的平均产出，则 AP i 1, 2,n 。iii3. 投入要素i 的产出弹性当其他生产要素不变，要素i 变化一个百分比所引起的产出变化的百分比，如果用dffidxixi MPi 表示投入要素i 的产出弹性，则有 。iidxi xidxi xifAPi4. 边际技术替代率 MRTS在产量不变的情况下，一种要素可以替代另一种要素的比例。如果用MRTSij 代表第i 种投入要素对第 j 种投入要素的边际技术替代率，则有：xjfiMPiMRTS limijxi 0 xfMPijjy y05

7、. 可分离的生产函数设 N 1, 2, n是所有投入要素的指数集合，假设这些投入要素可归类到S 1 个- 4 -S相互排斥和穷尽的集合 N , N N (N N , Ni N j ) 。如果同一类别中的两种投12Sii1入要 间的边际技术替代率独立于其他类别中的投入要素 ，即： ( fi /f j ) 0 i j, NS kNS ，则这个生产函数称为弱可分离的；在 S 2 时，如果不xk同类别中的两种投入要间的边际技术替代率独立于这两个类别以外的所有的投入( fi / f j )要素，即 0i Nj N k N N s t ，则这个生产函数称为强可分离的。xStStk6. 两种生产要素i 和

8、j 替代弹性定义 替代弹性：在其他生产要素与产品的产量不变的情况下，要素i 和 j 之间的边际技术替代率变化一个百分比所引起的i 和 j 这两种生产要素投入比率变化的百分比。xd lnjxi如果用表示投入要素i 和 j 之间的替代弹性，则有。ijijfd ln i f j如果生产函数是拟凹的，则ij 0 ，这是因为，生产函数的拟凹性等价于等产量线的凸性。凸的等产量线具有递减的边际技术替代率，这意味着当增加i 种投入要素同时减少 j 种投入要素时（因为产量不变，所以增加一种要素必须同x时减少另外一种要素）即 j 减少时， i 对 j 的边际技术替代率也在减少；反xix之，当减少i 种投入要素同时

9、增加 j 种投入要素时即 j 增加时，i 对 j 的边际xi技术替代率也在增加。如果等产量曲线是线性时，即生产投入要间具有完全的替代性时，由于线xd lnjxi性函数的边际技术替代率为常数，所以此时有 。ij0如果等产量曲线是折线时，即生产投入要间完全不能替代性时，有ij 0 。因此， ij 越大，则投入要间的替代越容易。- 5 -生产函数： y (x x )1/ 的替代弹性。例 3.1：求12解： )1/ 1 )1/ 1f f 1222 d ln d ln( x1 )1f1x1 ( 1)d ln()x2f2d ln x2x2x111 12fd ln 1f2这是一个常数，因此生产函数具有不变替

10、代弹性。可以进一步证明：生产函数：nny ( x ), 1 i 1/ iii1i111 是一次生产函数，其替代弹性 ；并且，ij（1）当 0 , ij 1 ,生产函数变成C D生产函数：n iy xii1（2）当 ， ij 0 ，生产函数变成 Leontief 生产函数：- 6 -y min1n 上述结论表明，C-D 生产函数与 Leontief 生产函数是生产函数的特殊形式，它们也都是一次生产函数。对于一次生产函数，有如下的定理。定理 3.1 线性生产函数为凹函数设生产函数 f (x) 满足假设 3.1，同时是一次生产函数，则该生产函数为凹函数。证明：对任意的 x1 0 与 x2 0 ，令

11、y f (x1)y f (x2 ) ，由 f (x) 的一次12x1x2性得： f () f () 1，y1y2又由于 f (x) 满足假设 3.1 ， 是严格拟凹函数， 所以对任意的 t 0,1 有： 2 ,(f (t) （11）y1y 2y 1y2y1令t 0,1 ，把其带入（1）中得：y1 y212(x1 x2 ) y yy yy y yy y y12yy1211221212由对任意的 x1,x2 的任意性知：f (tx1 (1 t)x2 ) f (tx1) f (1 t)x2 ) tf (x1) (1 t) f (x2 ) 。(三) 长期生产函数的相关概念下面的一些概念是针对长期生产函

12、数的。由于在长期中所有的投入要素可同时发生变化，因此，自然要问，投入要素的同时增加，对产出的影响效果。特别地，规模反应投入要素按照同一比率变动时，对产出的影响效果。1. 全局规模所有的生产要素同时按照同一比例变化所引起产出的变化。分成如下几类：（1）规模不变所有的生产要素同时增加t 倍，产出也增加t 倍。即：对于任意的t 0 和任意的 x ，有 f (tx) tf (x) 。（2）规模递增所有的生产要素同时增加t 倍，产出增加大于t 倍。即：对于任意的t 1和任意的 x ，- 7 -有 f (tx) tf (x) 。（3）规模递减所有的生产要素同时增加t 倍，产出增加小于t 倍。即：对于任意的

13、t 1和任意的 x ，有 f (tx) tf (x) 。2. 局部规模由于并不是所有的生产函数都可以归为以上三类，在一定的产出范围内，许多技术展现了规模递增、不变及递减。因此，拥有一个局部的规模标准十分重要，这个指标就是在某一点 x 处的规模弹性。定义 局部规模：在某一点 x 处的规模弹性 表示在全部投入要素增加一个百分比的条件下，产出变换的百分比。即： lim d ln f (tx)d ln(t)t1当 1时，局部规模递增； 1时，局部规模不变； 1时，局部规模n递减。规模弹性 与产出弹性之间满足恒等式： i 。i1n fi xi dt i1df (tx)f (tx)n f x i id ln f (tx)f (tx)n i1 证明：根据定义 lim lim limidttdttd ln(t)f (x)t 1t 1t 1i1例 3.2： y k(1 x x )112解：f k(1 x 1 ) k (1 x 1 )12121x1 f1 k(1 x )121k(1 xfx12x2 f