电磁场与电磁波课件1.5

1、1.5.1 环量1.5 矢量场的旋度1.环量：在矢量场 A中，矢量A 沿某一条有向闭合路径的线积分称为矢量场 A 沿此闭合路径的环量，记作 ：图1-29 矢量场的环量1真空中磁感应强度 B 沿任一有向闭合曲线 l 的积分等于该真空磁导率 0与闭合曲线所包围的传导电流强度 I 的乘积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度。安培环路定理22 环量面密度：在矢量场A中，过M点任取一面元矢量， dS=ndS，n为面元的方向，C为面元的周界， 两者满足右手螺旋关系，S为面元的面积，当S以任意方式向M点收缩，若以下极限存在，称它为矢量场A在M点

2、沿n方向的环量面密度。环量面密度的方向只与所围面积的法线方向n有关。 图1-29 矢量场的环量面密度3定义：矢量场A在M点的旋度是一个矢量.大小： 该点最大的环量面密度。方向：取得最大环量面密度的方向。1.5.1 旋度42 、旋度在直角坐标系中计算公式： 以点为顶点，做一平行于平面的矩形面元，则该面元矢量的模为： 设点的矢量为：5同理：6故7例1-10：求沿着在 面上的一个闭合路径C的线积分。此闭合路径由在（0，0）和（2， ）之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线段组成，如图所示。计算 的旋度。解：8在路径上，有在路径上，有在路径上，有的环量等于零。9：计算 的旋度= 010例：求矢量场

3、在点 M（1，0，1）处的旋度及沿方向的环量面密度。解：矢量场 的旋度在点 M（1，0，1）处的旋度11在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度12定义散度不为零的矢量场为“有源场”或“有散场”，而在各点处的散度为零的矢量场为“无源场”或“管形场”。即3 矢量场的旋度和散度的物理意义： (1) 散度的物理意义b. 散度代表矢量场中通量源的分布特性a. 是一个标量，代表任意一点处通量对体积的变化率,或单位体积内穿出的A的通量.13 (2) 旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量； 旋度的大小是该点环量密度的最大值；A0,称之为旋度场(或涡旋场)旋度的方向是该点最大环量密度的方向；A=0，称之为无旋

4、场（或保守场）。14梯度的旋度恒等于零。证明： 旋度与散度的定义都与坐标系无关。（该式是一个普遍结论）4 矢量分析中的两个重要恒等式：15逆定理也成立，即如果已知矢量场的旋度等于零，则该矢量场可以表示成一个标量场的梯度。正是根据这一定理我们才引出了静电场的标量电位。 应用：16旋度的散度恒等于零。证明： 旋度与散度的定义都与坐标系无关。17 逆命题也成立，即如果已知一矢量场的散度恒等于零，则它可以表示成另外一个矢量场的旋度。正是根据这一定理，我们才由恒定磁场的磁感强度引出矢量磁位的概念。应用：18 此式称为斯托克斯定理。它将矢量A的线积分转换为矢量旋度的面积分，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 5 斯托克斯定理：19证明：将 S 分成许多面元其相应面元的边界为对每一个面元 ，