第十二、十三讲：向量法解立体几何_第1页
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1、借助向量解立体几何问题1知识要点（其中为向量的夹角）。23一、求点到平面的距离定义：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。一般方法：利用定义先做出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。PBA4向量法：PA如图，已知点P（x0,y0,z0）,A（x1,y1,z1），平面一个法向量。，其中， 5例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz6练习:SBCDAxyz7例2.已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为正方形,侧面三角形SAB为正三角形,且面S

2、AB 面ABCD(1)求证:AB 面D（）求面与面所成二面角大小82. 直线到它平行平面的距离定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。由定义可知，求直线到它平行平面的距离的问题可由点到平面距离的知识来解决。93. 两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，只要求一个平面上一点到另一个平面的距离，也就是求点到平面的距离。10二、求

3、异面直线的距离求异面直线距离的常用方法：（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。（2） 转化为求线面间的距离。baa/平面（3） 转化为求平行平面间的距离。ab（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。a/平面, b/平面11（4）用模型公式（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长nabEF12例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz13练习:如图,ASCDBxyz14练习：正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O间的距离。ABCDA1B1C1D1OPQ15三、 用向量法求二面角的大小如图，二面角-l-，平面的法向量为 ，平面的法向量为 ，则二面角-l-为 或 。ll16例. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。SCADBxyz17例. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB平面ABCD。求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。CPDABxyz18已知三棱柱ABC-A1B1C1在

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