全国高中数学竞赛专题不等式

1、 全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：ab,a-b0,ab,a-b0.这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（1）ab,ba（对称性）（2）ab,a+cb+c（加法保序性）（3）ab,c0nacbc;ab,c0nacbc.（4）ab0nanbn,nanb（neN*）.对两个以上不等式进行运算的性质.（1）ab,bcnac（传递性）.这是放缩法的依据.（2）ab,cdna+cb+d.（3）ab,cdna-cb-d.（4）ab0,dc0,n,adbc

2、.cd含绝对值不等式的性质：（1）Ixl0）,x2a2，一ax0）,x2a2,xa或x一a.（3）IIaI-IbIIIa土bIIaI+IbI（三角不等式）.（4）Ia+a+aIOQAB.）例1设a,b,cWR+,宀abc试证：对任意实数x，y,z，有x2+y2+Z22(a+b)(b+c)(c+a)a+bxy+cb+cyz+a、c+axz.b丿证明：左边-右边=X2+y2+Z2-2ab-bc_xy-2yz-2(b+c)(c+a)(a+b)(c+a)abacxy+y2+(b+c)(c+a)c+ac+acaxz(a+b)(b+c)bcyz+(a+b)(c+a)cacxz+x2(a+b)(b+c)b+

3、c(b2b,2,2acacx+y+yz+zxb+cc+a丿c+aa+b丿a+bb+c丿0.所以左边3右边,不等式成立。A（2）商值比较法（原理：若B1,且B0,则AB。例2若avxvl,比较大小：Iloga(l-x)I与Iloga(l+x)l.解：因为1-x丰1,所以loga(1-x)丰0,Ilog(1+x)la1|loga(1x)|=llog(1-x)(1+x)l=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)1+xlog(1-x)(1-x)Ta(因为0V1-X2V1,所以1-x0,01-xlloga(1-x)l.2分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止,叙述方

4、式为：要证，只需证例3证明:已知a,b,cWR+，求证：a+b+c-33abca+b2ab.要证a+b+c33caa+b2ab.只需证c+2ab33abc,因为c+2ab=c+ab+ab33cab=33abc,所以原不等式成立。121已知实数a，b，c满足0abc2，求证：c(1c)-a(1b)b(1a)1证明：因为0abc2，由二次函数性质可证a(1-a)b(1-b),a(1a)b(1b)c(1c)1122所以+,a(1a)b(1b)b(1b)c(1c)所以只需证明+,+,a(la)b(lb)a(lb)b(la)亠abab也就是证a(1a)(1b)b(1a)(1b)，只需证b(a-b)0,(

5、b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a0.a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.(1)当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时，原不等式显然成立.,7、人(a+bc)+(b+ca(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时，则a+b一c)(+c一a),b2同理(a+b一c)(a+c一b,a,(b+ca)(a+c-b)c,二式相乘得abc三(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)例6已知ABC的外接圆半径R=1,S=,a,b,c是厶ABC的三边长,ABC令S二，t=。求证：tS。解：由三角形面积公式：1bcsinA.正

6、弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.2所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c均大于0。所以2t=2abc+2bac+2cab=2aabc+2babc+2cabc=2(a+b+c)=2s.所以ts。4.反证法例7设实数a0,a,an满足a0=an=0,且aQ-2a1+a20,a1-2a2+a30,an_2-2an-1+an0,求证ak0(k=1,2,n-1).证明：假设ak(k=1,2,n-1)中至少有一个正数,不妨设ar是a”a2,an-1中第一个出现的正数，则a10,a20,ar-10.于是ar-ar-10,依题设ak+1-akak-ak-1(k=1,2,n-1)。所以从

7、k=r起有-%1氓-已-2氓-蛰0因为anak-1ar+1ar0与an=0矛盾。故命题获证。5数学归纳法例8对任意正整数n(3)，求证：nn+i(n+l)n.证明：1)当n=3时，因为34=8164=43,所以命题成立。(kl)k22)设n=k时有kk+i(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2(k+2)k+i,即卩1.(k2)k1因为kk1(k1)k(k1)(k2)kk1(k1)k即证(k+1)2k+2k(k+2)k+1,只需证(k+1)2k(k+2),即证k2+2k+1k2+2k.显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例9x2y2y2z2z2x2c已知x,y,zW

8、R+，求证：+,o.yzzxxy证明：不妨设xy,xz.1i)xyz,贝9xyX2y2Z2，由排序原理可得x2y2z2y2z2x2,yzzxxyyzzxxy原不等式成立。iixzy，xzX2Z2y2，由排序原理可得 #原不等式成立。TOC o 1-5 h zx2y2z2y2z2x2,yzzxxyyzzxxy7.放缩法(即要证AB,可证AC,CC2,Cn-1Cn,CnB(nN+).)abc例10已知a,b,c是厶ABC的三条边长，m0,求证：+.ambmcmabababmmc证明：+11一ambmabmabmabmabmcmcm(因为a+bc),得证。8.引入参变量法例11解：a3b3已知x,y

9、WR+,1,a,b为待定正数，求f(x,y)=+的最小值。x2y2设k，则xxlkl(1k)21y1，f(xy)=T-b3)a3+k2丿112a3+b3+a3k+a3k+b3丄+b3-1+b3-+a3k2k2kkVV1(ab)3，(a3+b3+3a2b+3ab2)=l2l2 # ab(ab)3等号当且仅当-=-时成立。所以f(x,y)min=. 例12设x1x2x3x42,x2+x3+x4x1，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.1证明：设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有3k4，(1+)2原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4

10、)，即一-(x2+x3+x4)x2x3x4,4因为f(k)=k+在3，1，上递减，3+2(1+k)21门1小、3所以(X2+X3+X4)=4(+2)(X2+X3+X4)一4所以原不等式成立。3x2=4x21-X2x33X2.2因为x(1-x2)=2-2X2(1-X2)2X21-X2X(1-X2)X所以-X2-21(2、213丿33X2.22,33,33同理”一323y2,1-y22Xy所以L+匸刁+1-z2z3333(X2+y2+z2)=22babc例14已知0a,b,c1,求证：+2。bc+1ca+1ab+1a2a证明：先证bc+1a+b+c即a+b+ca.因为0a,b,c.的最小值。 、3

11、2ca+b1不妨设abc，则0c,f(a,b,c)=+3c2+1c2+1a+b因为l=(a+b)c+ab2(c2+1-c).t1.考虑函数g(t)=1+,g(t)在c2+1,+s)上单调递增。c2+1t3又因为0c3，所以3c24c2.所以2(c2+1-c)c2+1.2ca+b12c所以f(a，b,c)=c2+1+c2+1+a+bc2+1+2(c2+1,c)+c2+12(2c+c2+1=2c2+1+cc2+1+c2+1下证3(1-J+3(1-c2+1)+c222c2+1)+cno3+cn3(3c2+19c2+9Occ014丿因为c；2，所以f(a,b,c)min=5.11.构造法例16证明：J

12、藍+2瓷+4-、2笼+1w提示：构造出(x,0)到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。12.运用著名不等式(1)平均值不等式: 设ai,a2,anUR+，aaa,An=12n,n记H=,G=naaan111n12naaa12na2n则HXGnWAXQn.即调和平均三几何平均三算术平均三平方平均。a2a212n其中等号成立的条件均为a1=a2=-=an.当n=2时，平均值不等证明：由柯西不等式得AnQ当n=2时，显然成立；设n=k时有Gkkkaaakka12kk+1k+112k2k2kaaaGk1=2k2kG2k=2kG,12k1k1k1

13、k+1所以a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即人*+1氓+1.所以由数学归纳法，结论成立。1学过的基本不等式及其变式，所以基本不等式实际上是均值不等式的特例GnAn可得HnGn，以下仅证GnAn.=Gk+1.-Gk，1k1k1例17利用基本不等式证明a2b2c2abbeca.思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.【略解】a2b22ab，同理b2e32be,e2a22ea；三式相加再除以2即得证.评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.TOC o 1-5 h zx2x2x2如亠XXX，可在不等式两边同时加上X

14、XXX.xxx12n23n1231再如证(a1)(b1)(ae)3(be)3256a2b2e3(a,b,e0)时，可连续使用基本不等式.aba2b2（2）基本不等式有各种变式如（-）2等但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.例18已知ab=1,a,b0,求证：a4b4.8【思路分析】不等式左边是a、b的4次式，右边为常数1，如何也转化为a、b的4次式呢.8【略解】要证a4b4,即证a4b4(ab)4.88柯西（CaVChy）不等式：设a1、Ja3，是任意实数，则(ababab)20.1122nn其中等号成立的充要条件是x二y(i=1,2,n).iiA

15、从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是b=ka(k=b).a(a)2变式1：若aWR,bWR,i=1,2,n则(字)吕等号成立条件为a.b.,(i=1,2,n)o1i匸1(b)2iiii=1(a)2ai变式2：设ai,bi同号且不为0(i=1,2,n),则盲寺等号成立当且仅当b1=b2=-=bn.i=1biabiii=1TOC o 1-5 h zx2x2x2x2例19设*二，,xnR求证：亠亠-1+fxxxxxxx12n23n1思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】J*0，故由柯西不等式，得x2x2x2x2

16、(xx+xx)(亠+亠+-1)23n1xxxx(x2xxx32x2x3xn1xnxnx1)2=(xx12+xn1x)2，n23n1x2x2x2x22+1一xx+xxxxx12n23n1评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.(3)排序不等式：(又称排序原理)设有两个有序数组a，a，a及b，b，b.12n12n 则ababab（同序和）ab+abab（乱序和）1122nn1j12j2njnababab（逆序和）1n2n，1n1其中jj2,，jn是12,，“的任一排列.当且仅当a=a=a或b=b=b时等号（对任一排列j,j，,j）成立.12n

17、12n12n证明：不妨设在乱序和S中jn时（若j二n，则考虑j），且在和S中含有项ab（kn）,nnn，1kn则ab+abab+ab.事实上，左一右=（a-a）（b一b）0,knnjnnjnnnnknjn由此可知，当jn时，调换S=ab+ab+ab（jn）中b与j位置n1j1kjknjnnnn（其余不动），所得新和SS.调整好a及b后，接着再仿上调整a与b，又得SS.1nnn一1n一121如此至多经n-1次调整得顺序和abababab+ab+ab1122nn1j12j2njn这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当a=a=a或b=b=b时中等号12n12n成立.反之，若它们不全相等，贝9必存在

18、j及k,使bb,aa.这时中不等号成立.因nnjnnk而对这个排列中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”.a2b2b2c2c2a2a3b3c3例20a,b,ceR+,求证a+b+c+.2c2a2bbccaab思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.【略解】不妨设abc,贝Ua2b2c2丄，cba111111则a2-+b2-+c2-（乱序和）a2-+b2-+c2-（逆序和），cababc111111同理a2-+b2-+c2-（乱序和）a2-+b2-+c2-（逆序和）cababc两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式再考虑数组a3b3c3及右，bcaca

19、b仿上可证第二个不等式.11例21设a,a,aeN*，且各不相同，求证：1+12n231aaaa23nn12232n2a1【思路分析】不等式右边各项十=a-；可理解为两数之积,i2ii2尝试用排序不等式.【略解】设b,b，,b是a,a，,a的重新排列，满足b12n12n1b2n2232n2 所以a空a3+么b伫冬+冬.由于b,b，b是互不相同的正整数,12232n12232n212nbbb11故b1,b2,bn.从而b-2+3+佯1+-+-，原式得证.12n12232n22n【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a2+b2a，b+b，a,a3+b3+c3a2，b+b2，c+

20、c2，a=a，ab+b，bc+c，caa，bc+b，ac+c，ab=3abc.aAbBcC例22在厶ABC中，试证：乂.3abc2【思路分析】可构造AABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】不妨设abc，于是ABaA+bB+cC,aA+bB+cCbA+cB+aC,aA+bB+cCcA+aB+bC.相加，得3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)，得aA+bB+cCa+b+c又由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有0A(b+ca)+C(a+bc)+B(a+cb)=a(B+CA)+b(A+CB)+c(A+BC)=a(-2A)+b(-2B)+c(-3C)=(a+b+c)-2(aA+bB+cC).aA+bB+cC得一-a+b+c2由、得原不等式成立.aaa例23设b,b，,b是正数a,a，,a的一个排列，求证严+2+才n.2n12nbbb12n思路分析】1应注意到a=1(i=1,2,n)iai略证】不妨设aaa，12n因为a,a，,a都大于0.所以有丄丄丄，12naaa12n1111，,是一,bb2aa121，的任意一个排列，于是得到an1n=a，+a，+a，a，+a+a1a2ana1b2bnb12n12n例24设正数a，b，c的乘积abc=1，试证：(a1+)(b1+)