模型24 子母型解直角三角形【含答案】

1、专题24 字母型解直角三角形一、单选题 1如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）A米B米C米D米B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可【详解】解：设点到直线距离为米，在中，在中，由题意得，解得，（米，故选：本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键2一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37（身高忽略不计）已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆A

2、B所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上则请问旗杆自身高度AB为（）米（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75）A10.2B9.8C11.2D10.8B【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于设，在中，根据，构造方程解决问题即可【详解】解：如图，作DHFC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJAT于J由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，BT=EF=1.4米，JT=DH，在RtDCH中，CD=2.6米，=，DH=1（米），CH=2.4（米），ACT=45，T=90，AT=TC，设AT=TC=x则DJ=TH=

3、（x+2.4）米，AJ=（x1）米，在RtADJ中，tanADJ=0.75，=0.75，解得x=2，AB=ATBT=ATEF=11.21.4=9.8（米），故选：B本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型二、解答题3二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求

4、二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）二七纪念塔AB的高度约为64米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出，进而根据列出算式求出AG的长，计算即可【详解】解：在中，在中，答：二七纪念塔AB的高度约为64米本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键4如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处（1）求轮船从处到处的航速（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？（1）海里/小时（2）小时【分析】（1）过作

5、，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可【详解】（1）过作，由题意得海里，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小时）（2）如图，由题意，点在的东南方向，OCD为等腰直角三角形，（海里），（海里），（小时），经过小时后到达本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键5如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼10飞机在点发现航展观礼台在俯角为2

6、1方向上.飞机继续向前飞行了800米到达点.此时测得点在点俯角为45的方向上.请你计算当飞机飞到点的正上方点时（点、在同一直线上），竖直高度约为多少米？（结果保留整数，参考数值：，）竖直高度约为490米【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可【详解】解：如图：答：竖直高度约为490米本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可6科技改变生活，时代将对我们的生活产生意想不到的改变某数学兴趣小组要测量信号塔的高度，如图，在起点处用高米(米)的测量仪测得信号塔的顶端的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走米到达处，测得顶端的仰角为，求信号塔的高度约为多少米?(精确到米参

7、考数据：)该信号塔的高度约为米【分析】本题首先假设AB的长度为x，继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE，进一步表示CE，最后再次利用正切三角函数列式求解【详解】由已知得：，设为米，则米，在中，在中，求解得：（米）故该信号塔的高度约为米本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率7中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为706268米，某天该深潜器在海面下1800米的点处作业（如图），测得正前方海底沉船的俯角为45，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到点，此时测得海底沉船的俯角为60沉船是否在“蛟龙

8、”号深潜极限范围内？请说明理由沉船在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由详见解析【分析】过点C 作CDAB交AB 的延长线于点 D，设CD=x米，根据已知条件可以得到关于x的方程，解方程可得CD的值，加上1800即得点C的深度，把深度与7062.68米相比较即可得到题目最终解答 【详解】解：沉船在“蛟龙”号深潜极限范围内理由如下： 如图，过点作交的延长线于点设米，在中，即， 在中，即，解得，米 沉船距离海面（米） ，沉船在“蛟龙”号深潜极限范围内本题考查解直角三角形及其应用，通过建立包含所求量的直角三角形求解是解题关键8如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在渔船的北偏东

9、方向；半小时后，渔船到达处，此时测得小岛在渔船的北偏东方向已知以小岛为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与18的大小因此作CDAB于D点，求CD的长【详解】有着弹危险理由如下：作于，根据题意，在中，答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键9图1是某种路灯的实物图片，图2是该

10、路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，求支架的长（结果精确到，参考数据：，） 49cm【分析】过点C作CDMN，垂足为D，分别解ACD和BCD，即可得到结果【详解】解：过点C作CDMN，垂足为D，MAC=60，ACB=15，ABC=60-15=45，ACD=30，BCD是等腰直角三角形，AC=40cm，在RtACD中，AD=AC=20cm，CD=cm，在RtBCD中，BC=cm，支架BC的长为49cm本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形10如图，王

11、刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（，结果精确到1米，王刚的身高忽略不计）楼CD的高度为52米【分析】设CD=xm，根据AC=BC-AB，构建方程即可解决问题；【详解】解：设CD=xm，在RtACD中，tanA= ，AC= ，同法可得：BC= ，ACBC=AB，=30，解得x=52，答：楼CD的高度为52米本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键11小明和小

12、华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度小明站在点D处利用测倾器测得旗杄顶端A的仰角为45，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A，此时DE的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米请你根据以上信息，计算旗杆AB的高度旗杆AB的高度为15.75米【分析】过点C作CFAB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，CEDAEB，所以tanCEDtanAEB，进而可求AF的长，最后求出AB的长【详解】解：如图，过点C作CFAB于点F，可得四边形FBDC是矩形，FBCD1.75，FCBDBE

13、+1.4，根据题意，得ACF45，AFCF，根据入射角等于反射角可知：CEDAEB，tanCEDtanAEB，AFFC，解得AF14，ABAF+FB14+1.7515.75（米）答：旗杆AB的高度为15.75米本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的关键12如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，在同一条垂直于地面的直线上，米（1）求与之间的距离；（2）求天线的高度（参考数据：，结果保留整数）（1）之间的距离为30米；（2）天

14、线的高度约为27米【分析】（1）根据题意，BAD=90，BDA=45，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离（2）根据题意，在中，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解【详解】（1）依题意可得，在中， ，米， 米，米. 即之间的距离为30米（2）在中，米，（米），米，米由并精确到整数可得米即天线的高度约为27米 （1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键13如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B

15、、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，）20km【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可【详解】解：如图，过点作，垂足为在中，在中，在中，（km）因此，轮船航行的距离约为此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理作出辅助线构造直角三角形是解题的关键14“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为阿凡达的“哈利路亚山”如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，

16、这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，）安全【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得CAD=37，CBD=45在RtACD中，tanCAD=，AD=在RtBCD中，tanCBD=，BD=AD-BD=AB，-=96，x=162，162150，这架航拍无人机继续向正东飞行安全本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会

17、用构建方程的思想思考问题15位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为，求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到参考数据： )；“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值【分析】（1）过点A作AEMN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为

18、矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在RtABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可； （2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值【详解】解：（1）如图，过点A作AEMN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，设AD的长为xm，AEME，BCMN，ADBD，ADC=90，ACD=45，CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC为矩形，AEME，四边形CNED为矩形，DE=CN=BM=，在RtABD中，解得：，即

19、AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键16如图，垂直于地面的灯柱被一钢缆固定，现需要在点C的上方的E处增加一条钢缆进行加固已知，求的长（结果取整数）参考数据：【分析】在中，根据CDB的正切函数得到BC=BD，在中，根据EDB的正切函数和余弦函数得到，最后根据，得到，即可求解【详解】解：根据题意，在中，在中，答：的长度约为此题主要考查解直角三角形，

20、熟练掌握三角函数的应用是解题关键17学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度如图，是高为的测角仪，在处测得塔顶端的仰角为40，向塔方向前进在处测得塔顶端的仰角为63.4，求纪念塔的高度(结果取整数)参考数据：纪念塔的高度约为【分析】根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG，再在在中列出算式求出AG的长，计算即可【详解】解：根据题意，在中，在中，答：纪念塔的高度约为本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键18如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高BC是10m，坡面AC的倾斜角CAB45，在

21、距离A点12m处有一建筑物HQ为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的倾斜角CDB37，若新坡面下D处需留至少4m人行道，则该建筑物HQ是否需要拆除？请通过计算说明理由（参考数据：sin37，cos37，tan37）不需要拆除，理由见解析.【分析】在RtABC、RtDBC中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与4的关系，得出结论【详解】解：结论：该建筑物HQ不需要拆除由题意知，AH12m，BC10m，在RtABC中，CAB45，ABBC10m，在RtDBC中，CDB37，DHAHDAAH（DBAB）12（10）8.6（m），8.64，该建筑物HQ不需要

22、拆除本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键19如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31，再向东继续航行20m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果保留整数）参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60CD约为30m【分析】根据锐角三角函数可得AD=，BD=CD，然后根据ADBD=AB列出方程即可求出结论【详解】解：在RtADC和RtBDC中，A=31，CBD=45AD=，BD=CDADBD=AB解得：CD30答：这座灯塔的高度CD约

23、为30m此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键20如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MNPQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BCMN测得AB10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50，点B的仰角为30，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.20）米【分析】延长CB交PQ于点D，在RtADB中，求出BD，AD的长，然后在直角CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到【详解】解：延长CB交PQ于点DMNPQ，BCMN，BCPQ在R

24、tABD中，AB10米，BAD30，（米），（米），在RtCDA中，CDA90，CAD50，（米），（米）本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形21如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60的方向上.该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，（1）求的度数；（2）已知在岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：、）（1）30；（2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险.【分析】（1）在ABP中，求出CAB、CBA的度数即可解决问题；（2）作CDAB

25、于D求出CD的值即可判定.【详解】（1），.（2）过点作于，由题意，,（海里）,在中，,.所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键22如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？楼高CD是7.5m【分析】先根据题意得出ABEACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值【详解】解：EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，AC=10，CD=7.5答：楼高CD是

26、7.5m考点：相似三角形的应用23某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶改善，把倾角由45减至30，已知原台阶坡面AB的长为米（BC所在地面为水平面）（1）改善后的台阶坡面AD长多少米？（2）改善后的台阶会多占多长一段水平地面？（结果保留根号）（1）10米（2）5-5（米）【分析】（1）根据题意得，在RtABC中，AC=BC=ABsin45，解方程可求得AC与BC的长，在RtADC中，因为AD=，即可求得AD的长度（2）首先由在RtACD中，CD=，求得CD的长，又由BC=5米，即可得出问题的结论BD的长度【详解】（1）在RtABC中，ABC=45，AC=BC=ABsin45=5（米），在RtACD中，D=30，AD=5=10（米）（2）在RtACD中，CD=5=5（米）因为BC=5米，所以BD=CD-BC=5-5（米）考点：1坡度、坡角问题；2解直角三角形24如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠