大一大二大一数学复习3

1、工科数学分析基础西安交通大学理学院hqlee第三章一元函数积分学及其应用第一节定积分的概念微积分的基本公式第二节第三节两种基本积分法第节定积分的应用反常积分几类简单的微分方程第五节第六节定积分的应用2010-11-222/27四第四节定积分的应用4.14.24.3建立积分表达式的微定积分在几何中的应用举例定积分在物理中的应用举例习题3.4(A)1(2)(8), 2(1)(5),5, 8, 9, 11 (B)3,4定积分的应用2010-11-223/274.1 建立积分表达式的微两个问题、用定积分来表达的量应具备哪些特征？（、）怎都样是建区立间这些a量,b的上积非分均表匀达连式续？分布的量（）都

2、具有对b间的可加性bb ( x)dxdxtdtaaav t xsabxabab定积分的应用2010-11-224/27区、怎样建立这些量的积分表达式四个步骤：“分、匀、和、精”nbi 1Qlim( )fx d(x)d 0a微元Qixi“分、匀”“和、精”ibb x dx aa省略各子区间的下标i，可归结为如下两步：任意分割,为若干子区间，任取一个子区间1），求Q在该区间上的近似值 Q ,fx dx ；以 f ( x)dx 为被积表达式，在2）作积分即得总b 量Q的精确x dx；值微a定积分的应用2010-11-225/27微1）任意分割为若干子区间，任取一个子，求Q在该区间上的近似值区间,Q

3、fx dx ；微元作积分2） 以 f ( x)dx 为被积表达式，在即得总量Q的精确值b x dx；a关键：寻求Q(x)的微分f(x)dx.实际问题中Q是要求的未知量，不知道Q(x)，也不知道怎样的函数f(x)就是Q(x)的导函数。怎样求此微分呢？定积分的应用2010-11-226/27微元的求法x ( x ba记)(为分布在区间xa)的量Q，则 (Q(t )dtx dx,b)，adQ Qfo dx求微元dQ,就是寻求与dx成线性关系的Adx,且使AdxQo)dx,实际应用中，通过在区间把非均匀变化的量近似看成是均匀的，用乘法所求得的近似值往往就符合要求.定积分的应用2010-11-227/2

4、7例求的圆锥体的体积。积V非均匀分布在区间0,h上,表现为截圆半径kx随点x而变化.yy kx在微小区间 x, x上将截面半径hxdx以常代变得V的近似值xdOVkx (kx2dx dx d2由V于2kdxx)2) (2k)2xdxk x2(dx) 1h从而V kx32dx30定积分的应用2010-11-228/27实际问题中，如何求得非均匀连续分布量的微分？（1）针对所给问题，分析非均匀产生的原因，它往往是由于某一相关量f变动所引起的。（2）确定如何将其局部量均匀化从而可以利用乘法得到此局部量的线性形式的近似值.通常是通过对 f以不变代变来得到。这样得到的近似值往往就是所需要的微分，而不必也

5、难以逐一加以验证.实际上，以不变代变所选用的f(x)就是所求量Q(x)的变的本质也就是将非均匀分布量Q在局化率，而微部均匀化 。或者说，将非线性函数Q(x)局部线性化。定积分的应用2010-11-229/274.2定积分在几何中的应用举例1、直角坐标系下面积的计算22例1求与所围图形的面积。1,1y xy2 x2xd解Adx1xAx0 12xx dxx3o1定积分的应用2010-11-2210/27y x 42 2例 计算抛物线与直线所围成的图形的面积。，解 2 42(2 y解方程组 ) 8(,4) 得交点8(,4) (y 4) 12dAydy212y dyyo2 4A ) dy2 x 18(

6、2 )定积分的应用2010-11-2211/27 x a sincos t 例3求摆线 y 1x的一拱与轴所围图形的面积。ydS ydx解2aS 02ydxxx x dxo2aa1 cos t dat sin t 021 cos 2d 3 a2 a20定积分的应用2010-11-2212/272、极坐标系面积的计算 dr 设由曲线r 及射线、 围成一曲边扇形， 求其面积这里， d在上连续，且(面积元素 1ox )ddA 221 (2 dA 曲边扇形的面积2定积分的应用2010-11-2213/27cos计算心形线(1r a) a (例50)所围成的图形面积。解，这个图形关于极轴对称, ) 1A

7、(212 2 (cosd )221 d02aox31 a222sin sin 240 3 a 22定积分的应用2010-11-2214/27、平行截面面积为已知的的体积垂直于x 轴的截面面积为A(x),设所给且A( x 在上连续，,Axoxx dxabx则 dV A( xdxb ( xdx体积a定积分的应用2010-11-2215/27一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中例 4心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得解法1的体积.取坐标系如图Roxy)x底圆方程为 x2 1Rtan( )x积 A,截面面x2 1 2R( tandx R3tan .23 RAy tan y解法2( yRR y d

8、x0定积分的应用2010-11-2216/27y a x y f ( x)绕x轴特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的f体积时,ybV ) 2 dx有aoaxxb当考虑连续曲线段x ( y)c y dy绕 y 轴旋转一周围成的有d时dyc 2 dyy)V cox17/272010-11-22定积分的应用例5 一个平面图形由双曲线xy )与直线x a 及 x轴围成.计算该图形绕下列直x a线旋转一周所产生的旋转体体积:绕直线 y ;1(1) 绕x轴;(3)绕 y轴.y(2) a 22aVx x ax解a2dxy a1 a 212a 12 a Vdx1x a2a 2 aoax2 dy 120a

9、y12 22Vady12y定积分的应用2010-11-2218/272yV 2y fxaobxdxf xy 上例中a2a xxx dxV2dxyydxxa2 x 2 a2定积分的应用2010-11-2219/27bVy a x2f x 4.3 定积分在物理学中的应用例 1 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内了水.问要把池内的水全部从容器口抽出，需作多少功？解 建立坐标系如图取x为积分变量，x 0,5o取任一小区间功微元为,5x x 88. 3462 x dx(千焦)dw 32 dx 8.95w 8 2 d0定积分的应用2010-11-2220/27xx dx例2一个横放着的圆柱

10、形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的为，计算桶的一端面上所受的压力水压力F p A在端面建立坐标系如图,解其中A为受力面积，p 为压强，p h，h为水深，是水的取 x 为积分变量，x 0取任一小区间,Rp x,小矩形片上各处的压强近似相等oxx2dx.R2小矩形片的面积为 2x dx 2xdFRxdx 2 R3 .RxR xxF2dx30定积分的应用2010-11-2221/27例3 设有一长为 l 的导线,均匀带电,电荷密度为 ,此导线与一带有电量 q 的点电荷在同一直线上,相距为 a,求它们之间的的相互作用力 F .21kF分析两点电荷间的作用力r 2解建立坐标系，x dxqxx

11、 d x 2oF a dxq dx kq 2 l xa定积分的应用2010-11-2222/27设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,在其例4.中垂线上距 a处有一质量为 m 的质点 M,试计算yad Fy该棒对质点的引力.解: 建立坐标系如图.Md Fx细棒上小段,对质点的引力大小为mdxad Fdcos 22a xxax d xcosFy dF dxxdxo.0ll2l2m a2ly322F利用对称性知 2kx12k1F 0(,)故a4la4 a方向朝下定积分的应用2010-11-2223/27一个易犯错误的典型例子尽管在微小区间“以常代变”去获得微分的方法通常是奏效的，然而毕竟依赖

12、于直观和经验，对某y些特殊问题有时会导致错误。y kx例4求如图示圆锥体的侧面积Sh x由初等几何知识知道xOxS 1 h若在微小区间 x, x作为S的近似值,则有上，用小圆柱的侧面积S 2k x h2kxdx2kh这显然是错误的。于是0定积分的应用2010-11-2224/27并非是S的微分将圆锥面沿某一母线剪开展平， 1 OB2 2 1 OA2 2S S扇形O扇形OAA2x2B2 (kx2 2OAxkA kS2kOA kx 2 kxx1 k 2x xk故S ( k 221)A1 k 2By kx 22 )2 xxyk 2 xxS所以h xh xk kxdxk1 k2ShxO0定积分的应用2

13、010-11-2225/27也有人如下考虑 x, 由于和点处的两圆柱体之间，（#）因而2kxx S 2k ( ox 2kx 2y由于 2k ( x x )x 2k x ox因而这表明2kxx是Sx 的微分。错因：式（#）是来自直观的错觉。O事实上，当 k 0,0 x 1时x xS 22 ) 2k (2 xx定积分的应用2010-11-2226/27证在定积分应用一节中要学习什么？（1）应着眼于通过几何、物理以及其它领域内的一些实际问题去学习和利用微去建立积分式的。（2）掌握如何恰当地选取坐标系，如何划分，如何在微小局部上以常代变去获得微分（微元）。如何正确地确定积分的上下限。（3）不要单纯地套

14、上所导出的那些求面积、体积、压力、引力等公式。对每一具体实际问题都自己建立微元，加深对微积分基本方法的，不断提高自己分析问题和解决问题的能力。定积分的应用2010-11-2227/27当k 0, x 时2 xS 22 ) 2k (k kk 22 2k ( x2 xx 证1 k 2 (2) 2k ( xlim k1 k 2 (2 x ) 2( x x )x 0 2(1 2 1) x0所以，当 x充分小时k从而 k1 k 2 (x x 2( x x ) 0k 22 ) 2k (2 x定积分的应用2010-11-2228/27x练习题x 2与x轴所围成的设一由1 .12a设在垂直于x轴的任一抛物线绕

15、 x轴旋转而成 ,截面处的体密度为x 求其质量 dxyh y2d解mxx2 2x (2 1 dxa2x2 2aaoaam 2 1 dx(a2x dxx 16ah215定积分的应用2010-11-2229/27r a(1 cos )(a 0)与圆 r ay2. 计算心形线所围图形的面积 .解: 利用对称性 ,所求面积 1 1 a2(1 cos )2 doa2a x2 2 aA222 1 (3 2cos 1 cos 2 )daa22225 2aa4定积分的应用2010-11-2230/27y tfx. 设f (0 在 x0 时为连续的非负函数,且表示 y f ( x)x 0) 及, V轴所围图形绕

16、直线 xt旋转一周所成旋转体体积 ,证明:yV t 2 ft.fx证:利用柱壳法V (t x) f ( x)d xtV (t (t x) f ( x)d x则xo)dxtx d x0t t tf)dxf00tV ( ) t ft ) t fx)d xt )0V 2故tft定积分的应用2010-11-2231/274 求双纽线 a cos 2 所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 411242 cos 2 40 a2 .定积分的应用2010-11-2232/27y xA1 a cos 25. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R )的水池底, 水的密度 0

17、 ,多少功 ?解: 建立坐标系如图 . 则对应现将其从水池中取出, 需做,上球的薄片提到水面上所做的功为H 02 ddW gH R x) H R x1 ( )g xo x0yy)提出水面后的所做的功为x微元体积 g y2 dx (所受向下合x力上升高度)dW2 g Rx) R x)dx定积分的应用2010-11-2233/27因此功微元为dW 0R x Hdx0球从水中提出所做的功为R g( x ) R xdx奇函数)(W00 RR 2g ( H 0 R()dx00 4 R3( H Rg003xHo xy定积分的应用2010-11-2234/2726. 求曲线与 x 轴围成的封闭图形(94)绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.解: 利用