导数在研究函数中的应用学案3选修11

1、研卷知古今；藏书教子孙。3. 3. 1函数的单调性和与数学案学习目标.理解函数单调性和导数的关系；.会利用导数判断函数的单调性。学习重点和难点.重点：函数单调性和导数的关系；.难点：函数单调性和导数的关系。一、复习引入：.常见函数的导数公式：一一. .一.法则 1u(x) v(x) =u(x)v(x).法则2 法则3二、讲授新课.问题：图3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度 h随时间t变 化的函数h(t) =T.9t2 +6.5t +10的图像，图3.3-1 (2)表 示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t) =h(t) = 9.8t+6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及

2、从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：.函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调 性与其导数正负的关系.如图3.3-3,导数-. . . . . f (Xo)表布函数f (x)在点(Xo , yo)处的切线的斜率.在X=Xo处，f (Xo) 0 ,切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在Xo附近单调递增；在X=X1处，f (Xo) o,切线是“左上右下”式的，这时，函数 f (X)在X1附近单调 递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f (x)a。，那么函数y= f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x)

3、0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间. 三.典例分析例1 .已知导函数f (x)的下列信息： 当 1 x 4,或 x1 时，f(x)0；当 x=4,或 x=1 时，f (x)=0试画出函数y = f (x)图像的大致形状.解：例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.3一2(1) f(x)=x +3x；(2) f(x) = x -2x-3(3) f (x) =sin x-x xw (0, n) ；(4) f (x) = 2x3+3x2-24x+1解例3.如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的 容器中，请分别找

4、出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析:解：思考：一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓” 一些.如图3.3-7所示，函数y = f（x）在（0,b ）或（a,0 ）内的图像“陡峭”，在（b,+M ）或（3，a）内的图像“平缓”.例4.求证：函数y =2x3+3x2 12x+1在区间（2,1 ）内是减函数.证明：说明：证明可导函数 f（x附（a,b）内的单调性步骤:(1);；(3).求实数a的-22 3,1例5.已知函数取值范围.f(x)=4x+ax -x (x=R)在区间一1,1上是增函数, 3解:说明: 一一 1例6.已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间 x解：四、课堂练习：1.确定下列函数的单调区间y=x39x2+24x (2)y=3x x3解：(2)解:2、设y =f (x)是函数y =f (x)的导数,y = f (x)的图象如图所示，则y =f (x)的图象最有可能是()小结：五、课堂小结：3.六、课后作业：课本习题3.