二次函数及面积之铅垂高

1、.专业知识编辑整理.二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力2理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四教学过程说明理由.图12-2新方法：S=1ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半NABC2解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为

2、点C(l,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.求抛物线和直线AB的解析式；点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA,PB,当P点运动到顶点C时，求ACAB的铅垂高CD及S9ACAB(3)是否存在一点P，使sapab=-fTOC o 1-5 h z例1解：(1)设抛物线的解析式为：y二a(x-1)2+41分1把A(3,0)代入解析式求得a=-1所以y(xI)2+4=x2+2x+33分1设直线AB的解析式为：y二kx+b2由y-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3)4分1把A(3,0)，B(0,3)代入y二kx+b中2解得：k=1,b=3TOC o 1-5 h z所以y-x+3

3、6分2因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，y1=4,y2=2所以CD=4-2=28分S=x3x2=3(平方单位)CAB2(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,PAB的铅垂高为h,贝卩hyy(x2+2x+3)(x+3)x2+3x12由=9由SAPAB=8CAB19得：一x3x(x2+3x)x328化简得：4x212x+903解得，x-3将x-代入y1-x2+2x+3中,315解得p点坐标为q,才)10分12分14分总结：求不规贝三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例2(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中，二次函数ya

4、x2+bx+c(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B1点的坐标为（3,0）,OB=OC,tanZAC0=3（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在,请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度（4）如图11,若点G（2,y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，AAPG的面积最大？求出此时P点的坐标和A

5、PG的最1）方法一：由已知得：C（0,3）,A（1,0）ab+c=09a+3b+c=0c=3将A、B、C三点的坐标代入得Ia=10）,则N(r+1，-r)，-1+歸r=代入抛物线的表达式，解得21+.17-1+J7圆的半径为2或（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得G(2,-3),直线AG为y=_X1设P(x,x2一2x一3)，则Q(x,-X-1),PQ=-x2+x+2.S=S+S=丄(一X2+x+2)X3AAPGAAPQAGPQ21X=当2时APG的面积最大V_15、此时P点的坐标为124丿S的最大值为27AAPG8随堂练习1(2010江苏无锡)如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分

6、别为(-4,0)和2，0)，BC=彳、玉.设直线AC与直线x=4交于点E.求以直线x=4为对称轴，且过C与原点0的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一【答案】解：(1)点c的坐标加3).设抛物线的函数关系式为y=a(x-4)2+m,TOC o 1-5 h zJ16a+m=-3贰3a=,m=则l4a+m=2鶯3，解得63y一旦x-4)2+痪所求抛物线的函数关系式为63J-4k+&=0-五方_皿设直线AC的函数关系式为y=kx+b，则bk+b=2：3，解得3，334；3 HYPERLINK l bookmark37

7、 y=x+(4,直线AC的函数关系式为33,.点E的坐标为y一週(4一4)2+迈=堕把x=4代入式，得633，此抛物线过E点.(2)(1)中抛物线与x轴的另一个交点为N(8,0)，设M(x,y)，过M作MG丄x轴于G,则SACMN=SAMNG+S梯形MGBCSA(8x)py+(y+23)(x一2)一x(8一2)x2s3CBN=2223y+丫3x8丫3=3(二6TOC o 1-5 h z433x2+x)+：3x83=-x2+5：3x HYPERLINK l bookmark45 32、；39、：3(x5)2+,=229、h.当x=5时，SACMN有最大值2课下练习1.(本题满分12分)已知：如图

8、一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=2x2+bx+c的图象与一次函数y=2x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式；求四边形BDEC的面积S；在x轴上是否存在点P,使得APBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.3.(2010山东临沂)如图，二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交于,B(2,0)两点，且与y轴交于点C求该抛物线的解析式，并判断AABC的形状；在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；在此抛物线

9、上是否存在点P，使得以A、C、BP四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由._1【答案】解：根据题意，将A2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中11一一一一a+b=0,42丿口一4+2a+b0.得3a,2b1解这个方程，得I.全品中考网3所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0,1）。百所以在AOC中,AC=、OA2+OC2=2.在ABOC中,BC=OB2+C2=5.AB=OA+OB=22兰AB2因为AC2+BC2=所以ABC是直角三角形。y=_x_以直线AP的解析式为24311x因为点P既在抛物线上，又在直线

10、AP上,所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=245x=x解得122不合题意，舍去）.y5-2一一x5_3所以点P的坐标为（2,2）.若以AC为底边，则BPAC,如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为y=2x+1直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2X+b，将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P卩”3的纵坐标相等，即-x2+2x+l=2x-452x=一一,x=2解得l22（不合题意，舍去）.5当x=-2时，y=-9.5所以点P的坐标为（-2,-9）.5综上所述，满足

11、题目的点P的坐标为（2352）或（-2，-9）-1x2+3x+42（本题10分）如图，已知二次函数y=42的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D,连接AC.（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）线段AC上是否存在点E,使得EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC,若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？.解：（1）A（0，4），C（80），CD=5.设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，（2）易得D（371k=,.1.2y=x+42b=4.2分当DE=DC时VOA=4,OD=3.DA=5,E（0,4）.15分4分可得e（11,-）.224当CD=CE时，如图，过点E作EG丄CD,当ED=EC时，则ACEGsACAO,.：EG=CG=CEOAOCAC即EG八5，CG=胃，:E3（8-用，5）6分综上，符合条件的点E有三个：E（0,4）,E（11，-），224（3）如图，过P作PH丄OC,垂足为H,交直线AC于点Q.设p（m，丄m2+m+4），则Q（m，42当0m8时，