八个有趣模型-搞定空间几何体的外接球与内切球

1、(3)题-2 #(3)题-2 八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)(3)题-2 #(3)题-2 #(3)题-2 (3)题-2 #(3)题-1C方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2=a2b2c2,即2R=a2+b2+c2,求出RTOC o 1-5 h z例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)a16,.20,.24,.32,()若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9,解:()V=a2h=16,a=2,4R2=a2a2h2=4416=24,S

2、=24,选C()4R2=333=9,S=4,R2=9,()在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN若侧棱SA=2忑则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是。36,解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图()，取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连接SH,则H是底面正三角形ABC的中心，SH丄平面ABC，SH丄AB,AC二BC,AD二BD,CD丄AB,AB丄平面SCD,AB丄SC，同理：BC丄SA,AC丄SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图()，AM丄MN,SBMN,AM丄SB,AC丄SB，SB丄平面SAC,SB丄SA,SB丄SC,SB丄

3、SA,BC丄SA,SA丄平面SBC,SA丄SC,故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2二(23)2(23)2(23)2二36,即4R2二36,正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36,11 #11 （）在四面体SABC中，SA丄平面ABC,ABAC，120。,SA，AC，2,AB，1,则该四面体的外接球的表面积为（）A1B.7兀c.103d.403（）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：()在AABC中，BC2，AC2+

4、AB2一2AB-BC-cos120。，7，BC727BC，7，AABC的外接球直径为2r，,sinABAC33T274040(2R)2，(2r)2+SA2，()2+4，一，S，选333（）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,ceR+），则lab，12bc，8，abc，24，/.a，3，b，4，c，2，(2R)2，a2+b2+c2，29，S，4R2,29，ac，6()(2R)2，a2+b2+c2，3，44V，R3，3333,3I2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）.题设：如图，PA丄平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直

5、径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O为AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圆O的半111径01D=r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得CADB图5a,b,csinAsinBsinC），OO，1PA.12；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2，PA2+（2r）2o2R，PA2+（2r）2；R2,r2+OO2oR，r2+0023 #.题设：如图，P的射影是ABC的外心o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等o三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点A3兀B2兀C16兀3.以上都不对解：选，(3R)2+1二R23-23RR21=R24-23R

6、=0216R=S=4兀R2二兀33例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O,则P,O,O三点共线;11第二步：先算出小圆Oi的半径AOi=r，再算出棱锥的高POi=h（也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：OA2=OA2OO2R2=（hR）2丫2，解出R11方法二：小圆直径参与构造大圆。3 # 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）3 # #3 i题设：如图-平面PAC丄平面ABC,且AB丄BC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC，2r；abc第二步：在APAC中，可

7、根据正弦定理=,2R，求出RsinAsinBsinC.如图-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC为小圆的直径）OC2，OC2+OO2R2,r2+OO2AC，2R2一OO211113如图-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的外心三棱锥P-ABC的三条侧棱相等三棱P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O,则P,O,O三点共线；11第二步：先算出小圆O的半径AO，r，再算出棱锥的高PO，h（也是圆锥的高）；111第三步：勾股定理：OA2，OA2+OO2nR2，（h-R）2+

8、r2，解出R114如图-平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC（即AC为小圆的直径），且PA丄AC，贝0利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2，PA2+（2r）22R，PA2+（2r）2；R2,r2+OO2R，r2+OO211例（）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为23，则该球的表面积为。（）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一解：（）由正弦定理或找球心都可得2R，7，S，4兀R2，49兀，4兀（）方法一：找球心的位置，易知r，1，h，1，h，r，故球心在正方形的中心ABCD处，R，1，V，丁方法二：大圆是轴截面所的

9、外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，4兀R，2，R，1，V，（）在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3侧棱PA与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外TOC o 1-5 h z接球的体积为（）,4,兀A33解：选，圆锥A,B,C在以r二斗的圆上，R二1（）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上AABC是边长为1的正三角形SC为球O的直径且SC=2，则此棱锥的体积为（）2A663*2解:ooi二R2r2二1（3）2=f，h，V二3Sh二3斗二寻类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）3 # #3 #题设：如图10，-图110-，2图10-

10、直3三,棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O是AABC的外心，则00丄平面ABC；1111第二步：算出小圆0的半径A0=丫，00AAh（AA=h也是圆柱的咼）;r2+(2”，解出R1112121第三步：勾股定理：0A20A2+002nR211例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上9且该六棱柱的体积为6，底面周长为3，则这个球的体积为8解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a2，底面积为S6二(-)2，VSh口h9，h3，R2(二)2+(1)21,428

11、柱88224,R1，球的体积为V=- # ()直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,BAC=120,则此1111球的表面积等于。23解：BC=23，2r二二4，r=2，R=5，S二20sin120。()已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,AEB=60，则多面体E一ABCD的外接球的表面积为。16兀解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r=3，00=1，11ECR=1+3=2.法二：OM=二，12r=OD=，R2=-+13=4，R=2，S=16兀22244()在直三棱柱ABCABC中，AB=4,AC=6,A=,AA=4则

12、直三棱柱ABCABC的外接球11131603的表面积为解析：BC2=16+362-4-6丄=28，BC=27，2r=2273227r=，3111R2=r2+(1)22=28+4=巴，S=竺333类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H和H.12第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC.12第三步：解OEH，算出OH，在RtOCH中，勾股定理：OH2+CH2=OC211111例三棱锥PABC中,平面PAC丄平面ABC，PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝0三棱锥PABC外接球的半径为.4

13、4 解析：2厂2厂:，rr2sin60312R2OH2+r2214，R-15333，OH123法二：OH123OH1，AH11315R2AO2AH2+O1H2+O1O23，R3类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列方程组,x2+y2+z2b2+c2y2n(2R)2a2+b2+c2=，11补充：Vabc-abcx4=_abca-bcd63X2+y2+z2第三步：根

14、据墙角模型，2Ra2+b2+c2；R2X2+y2+z2，RX2+y2+z2，求出R,8例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,个截面如图，则图中三角形正四面体的截面的面积是.（）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（其中底面的三个顶点312解：（）截面为APCO，面积是1（）高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2,2；设底面边长为a，则2R02，a3，S二#a2二手,sin6044（1）题解答图1三棱锥的体积为V3Sh 33 BAC)12564125125,3兀=，选c1251T()在三

15、棱锥ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥ABCD外接球的表29TOC o 1-5 h z面积为。,解析：如图，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2+b2=9,b2+c2二4，c2+a2二162(a2+b2+c2)=9+4+16=29，2(a2+b2+c2)=9+4+16=29，292929a2+b2+c2=，4R2=，S=兀222（）如图所示三棱锥A一BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a

16、2+b2+c2)=25+36+49=110，a2+b2+c2=55，4R2=55，S=55,【兀；对称几何体；放到长方体中】（）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=3，TOC o 1-5 h z4333兀=82类型七、两直角三角形拼接在一起斜边相同也可看作矩形沿对角线折起所得三A图13题设：ZAPB=ZACB=90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接1OP,OC，则OA=OB=OC=OP=AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成

17、的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例（）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（TOC o 1-5 h z125125兀兀12*954解：（1）2R=AC=5，R=，V=,R3=23386（2）在矩形ABCD中,AB=2，BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD的夕卜接球的表面积为解析：（）BD的中点是球心O，2R=BD=13，S=4,R2=13兀； 33 #类型八、锥体的内切球问题.题设：如图，三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别

18、是两个三角形的外心;第二步：求DH=*BD，PO=PHr，PD是侧面,ABP的高;第三步：OEPO由,POE相似于，PDH，建立等式：，解出rDHPDC图14 #33 # #33 #.题设：如图，四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线;第二步：求FH二1BC，PO=PHr，PF是侧面,PCD的高;2第三步：OGPO由MOG相似于,PFH，建立等式：丽-帀，解出图15题设：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 33 +VOPBC第二步：设内切球的半径为r，建立等式：V=V+V+VPABCOABCOPABOPAC1111V二一S-r+S-r+S-r+Sr二一(S+S+S+S)rP-ABC3，ABC3PAB3PAC3PBC*AABC,PABPACAPBC3VPABC第三步：解出r二S+S+S+SOABCOPABOPACOPBC习题：i若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（）36369解:【】（2R）24+16+166，R3