偏导数与高阶偏导数详细解法

1、第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程：一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=fx,y),如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数zf(x,y)对于x的偏导数.定义设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Ax时，相应地函数有增量fxo+心,y0)/o,y0)如果极限limf(x0+Ax，y0)f(X0，y0)AxT0AxQzdxx=xoyy0QfQxxx0yy0存在,则称此

2、极限为函数Zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作,或f(x,y),xx0 x0-Vyy0例如f(x+Ax,y)f(x,y)f(x,y)lim0000 x00goAxAy类似地,函数z=fx,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为f(x,y+Ay)-f(x,y)lim000忆Ayt0QfQyxx0yy0如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作爭,f,z,或f(x,y)，QQ偏导函数的定义式：f(x,y)limf(x+Ax,y)f(x,y)xAxt0记作Qz,Qy

3、xx0yy0偏导函数:,或fy(x0,y0)，Ax类似地，可定义函数z=f（Xy）对y的偏导函数，记为f(x,y+Ay)f(x,y)Ay,，f，Zy，或卩y）-偏导函数的定义式：f（x,y）=limyAy0求f时，只要把y暂时看作常量而对X求导数；求f时，只要把X暂时看作常量而对y求导数.讨论：下列求偏导数的方法是否正确？f（x0，y0）=f（xy）x=x。，f（x0，y0）=f（x，y）x=x。-y=y0y=y0fx（X0,yo）=dxf（x，y0）x=x，fy（xo,yo）=dyf（xo,y）y=y0-00偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数u=fx，y，z）在点（X，y，z）

4、处对X的偏导数定义为f（x,y,z）=limf（x+My，z）f（x，y，z），x20Ax其中（x，y，z）是函数ufx，y，z）的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1求z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数.解主=2x+3y，李=3x+2y.，z=21+32=8，z=31+20,xH1)，求证：李+-李=2zy,xlnx,y证李=yxy1，冬=xylnx.,x,y伞+-军=yxy1+xylnx=xy+xy=2z.y,xlnx,yylnx例4求r=x2+y2+z2的偏导数.解冬=x=兰；冬=y=丄,xx2+y2+z2r力x2+y2+z2r例5已知理想气体的状态方程为

5、pV=RT（R为常数）,求证Opav6T，dVOTOpRTOpRTV，OVV2V，RT,OVR；pOTp丿T-pVOT_V；ROpR所以亀务OTRTRVRTV2pRpV例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商.二元函数z，f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义：fx(x0,y0)，f(x,y0)xf是截线z，f(x,y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.厶(x0,y0)，f(x0,y)yf是截线z，f(x0,y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率.偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续例如xyf(x,y)，x2+y20在点

6、(0,0)有,fx(0,0),0,fy(0,0)，0,但函数在点(0,0)并不连续.提示：f(x,0)，0,f(0,y)，0；f(0,0)，dd-f(x,0)，0,fy(0,0)，df(0,y)，0.当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，有limf(x,y),limf(x,0),lim0,0；(x,y)T(0,0)xT0 xT0当点P(x,y)沿直线y，kx趋于点(0,0)时，有limxy,lim空(x,y)T(0,0)x2+y2xT0 x2+k2x21+k2y,kx因此，limf(x,y)不存在,故函数f(x,y)在(0,0)处不连续.(x,y)t(0,0)类似地，可定义函数z，f(x,

7、y)对y的偏导函数，记为OzOfzOyOyy或fy(x,y).f(x,y+Ay)f(x,y)偏导函数的定义式fy(x,y)limyAy0二.高阶偏导数设函数zf(x,y)在区域D内具有偏导数字f(x,y),字f(x，y),oxxdyy0Oxxxo2zOxOyo2zoyoxo2zo2z其中O2zo2zOxOyOxOyOxfyx(x，y)称为混合偏导数o2zOxOy，O2zOyOx，Oy2O2z那么在D内fx(x,y)_fy(x,y)都是x,y的函数如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数zf(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(x,y)在区域D内的偏

8、导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数，则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6设zx3y23xy3-xy+l,求竽、竽、磐和黑.Ox2Ox3OyOxOxOy解3x2y2一3y3-y,2x3y-9xy2一x；O2zOx26xy2,O2zOxOy6x2y-9y2_1,O2zOyOx6x2y-9y2_1.由例6观察到的问题：畀兽OyOxOxOy定理如果函数zf(x,y)的两个二阶混合偏导数彝及宾在区域D内连续，那OyOxOxOy么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数dx2dy2例7验证函数z，lnx2+y2满足方程竽+-f2z，0dz,x空,ydxx2+y2dyx2+y2d2z_(x2+y2)-x-2x_y2-x2dx2(x2+y2)2(x2+y2)2d2z,(x2+y2)-y2yx2-y2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2d2z,d2z,x2-y2+y2-x2dx2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8证明函数u=r满足方呈豊+譽+磐=其中r