09年国内建模竞赛全部试卷

1、2009 高教社杯大学生数学建模竞赛承诺书仔细阅读了学生数学建模竞赛的竞赛规则.完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、与赛题有关。别人的成果是竞赛规则的, 如果知道，别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中明确列出。郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。竞赛规则的行为，受到严肃处理。参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 0870所属学校（请填写完整的全名）： 哈尔滨工程大学参赛队员 (

2、打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组 (打印并签名)：日期： 2009 年 09 月 14 日赛区评阅（由赛区评阅前进行）：2009 高教社杯大学生数学建模竞赛页赛区评阅（由赛区评阅前进行）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：（由赛区送交前）：评阅（由评阅前进行）：评阅人评分备注关于病床的合理安排模型摘要是某医院眼科部门如何合理安排病床的分配，以使本主要研究等待入院时间及住院时间最短、医院资源的利用最高效。针对问题一，通过分析对比，以平均住院时间、平均等待住院时间、平均队列等待人数、实际病床使用率和时间内的流量等五个量作为评价指标，并利用在卫生统计领域很常用的模型的合理的评价指标体系

3、。来综合评价每种模型的优劣，从而设计确定了病床安排针对问题二，通过对病床安排问题的抽象简化，结合医院眼科部的实际情况分析确定出了医院一周之内每天应为每类眼病患者分配病床的最优化的 35 个权重因子，权重因子矩阵，在给定初始值的前提下，建立了一个明确、完整的模型。利用问题一中确立的评价指标体系与原有病床安排系统进行了比较，结果显示更加合理、更具优势。所建立的模型针对问题三，在题目所给定的已知条件下，利用问题二中的病床安排算法模型顺利得出了某时刻进入等待入院队伍中的患者何时住院的算式。针对问题四，当医院在周六、周日不安排手术时，只需对之前确立的各权重因子进行修正便可类推出此时的病床安排模型，充分体

4、现了模型的灵活性、实用性。在医院术安排是否需要调整上，首先分析出了所有可能的三种情况，之后对各时间安排进行评价对比，提出了当医院在周六、周日不安排手术时，医院应安排在周三、周五，而其他疾病手术时间安排在其他时间来做的建议。障手术针对问题五，在病床分配给每类患者比例大致固定的前提下，利用线性规划模型计算出了满足实际条件且使在医院系统中逗留时间最短的各种类型病床比例的最优解，即对应的单眼 外伤病床比例分别为 0.22障病床、双眼，0.23，0.11，0.27障病床、青光眼病床、视网膜疾病病床、，0.相应的病床数数分别为、 、 、个。： 眼科疾病权重因子病床安排线性规划评价指标体系（RSR）一、 问

5、题的背景与重述当前，都在科学发展观，研究如何合理分配、利用资源，充分发挥现有资源的最大作用。医院作为社会的重要组成部分，更应研究如何在微观层面采取相应的措施，提高服务能力，更好地适应不断变化的社会需求。针对这些具体问题，人们普遍认同在不增加医院医疗资源的情况下，利用现代管理科学的相关理论，调整医疗资源分配，通过研究医院业务流程的合理安排，减少在就诊过程中不必要的等待时间,提高医院整体服务水平。而本问题所探讨的正是某医院眼科部门如何合理安排病床的分配，使时间最短且医院资源得到最高效的利用。该医院眼科手术主要分四大类：等待入院障、视网膜疾病、青光眼和外伤。由于它们准备手术和术后康复所需要的时间各不

6、相同，而当前该住院部对全体非急症是按照FCFS（come,serve）规则安排住院，导致病床资源严重浪费，应的评价体系。需要建立一个完善的模型体系来解决这个实际问题，并建立相问题一要求给出医院合理的病床安排模型的评价指标体系。它不仅为后续建立模型的优劣提供评判的标准，同时也必然在建立模型时提供积极的指导。问题二要求建立合理的病床安排模型并利用问题一得出的评价体系分析其优劣。这是此次建模的问题。问题三要求根据问题二中建立的模型计算出排队此时间的求解从该模型中应该很容易求得。的预计住院时间。可以想见，问题四实质上是对问题二的调整，要求建立对问题二模型的条件进行调整后的病床安排模型，并是否需要调整医

7、院原有术时间安排。问题五要求在给定病床分配方案的前提下，以所有在系统内的平均逗留时间最短为目标建立病床的比例分配模型，典型的线性规划问题。二、基本假设1、青光眼与视网膜疾病手术不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病不考虑急症。2、3、障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做，只安排在周一和周三每天先办理出院手续，当天出院，空出病床安排新。医院不接受病床预约。4、各病床不考虑修理及卫生所带来的影响，可持续工作。5、在治疗过程中无中途转院、等意外情况发生。6、各种等待入院的各类足够多。三、问题 1 的求解病床安排模型评价指标体系的确定1、从不同角度分析下的必要指标量（1）

8、从的角度讲，自然希望尽早接受治疗并且尽量缩短住院时间，因此应考虑的指标主要包括：平均住院时间。它是影响对医院服务质量满意程度的一个重要指标。的住院时间主要包括术前准备期（即在医院中等待手术时间），手术日和术后观察期。它主要受到得病种类和病情、医治大夫医技以及医院医疗水平的影响。减少平均住院天数，不仅能降低的看病的时间消耗，还能节省床位投资，从而使现有的医院卫生资源得到充分有效的利用。平均等待住院时间。它是影响评价住院排队系统优劣的一个重要指标。它主要受到医院卫生资源以及医院病床安排系统效率的影响。（2）从医院的角度讲，其考虑的主要指标包括：时间内的流量，即每天的出院人数。它直观体现着医院的服务

9、效率。在保证低成本、高质量的同时，服务效率高低是医院绩效大小的重要。实际病床使用率=标进行化简提炼。最终，平均住院时间平均等待住院时间平均队列等待人数实际病床使用率得到了以下的几个指标：时间内的流量3、指标体系优劣的评价方法的选取（1）可选评价方法的探寻层次分析法: 层次分析是对复杂问题作出决策的一种简易的新方法，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。当考虑最佳决策时，很容易看到，影响做出决策的很多，一些存在定量指标，可以度量，但的不存在定量指标，只有定性关系。下面要解决的就是如何将定性关系转化为定量计算，从而做出最佳决策，而层次分析法就是将半定性、半定量问题转化为定量计算的行之有

10、效的方法，它可以使人们的思维过程层次化，逐层比较多种关联控制事物的发展提供定量的依据。，为分析、决策、或（RSR）:是由我国著名卫生统计学家先生创立的一种综合评价方法，是我国广大基层卫生工作者应用卫生统计学知识进行卫生工作综合评价的主要，它最大的优点就是较其它方法易于理解、易于操作，特别适合广大基层卫生工作者。（2）评价方法的确定经过对两种评价方法的特点及应用范畴的分析，决定采用（RSR）对域十分切医院病床安排模型利用情况进行综合评价，因为它的应用范畴与本题合。RSR 方法具体详见附录。四、问题 2 的求解病床安排模型的建立与求解1、问题的分析表面上看起来，病床安排模型很适合用排队论的理论来进

11、行求解，即建立合适的输入过程、排队规则和服务规则以达到问题 1 中各指标的优化。但进一步分析问题所给实际情况可知，应用排队理论很难合理解决医院障手术时间安排已固定在每周的周一、周三的限制。而若以病床为研究对象，只要分析出一周之内每天的病床安排，以使时间医院流量较大且入院患病种类结构合理，便可在满足题目要求的前提分析出了一个病床在一周之内每天空出来时下获得问题的合理求解模型。基于此，所有可能的使用途径及其下次空出的时间。这样，只要按照一定的规则在每天合理安排所空床位的使用途径即可实现对问题的求解。2、模型的建立（1）模型的假设每天等候入院的每类人数。总数始终可以满足当天模型为病床系统安排住院的病

12、医院条件足以满足让每类以最短时间出院，因此模型按照每类患者所需最短住院时间进行安排。入院后都需要一定术准备时间，外伤患者为 1 天障患者为 12障手术的患者每类天，其他为 23 天，手术时间不得提前或延后。比如若有需要做单眼欲在本周三入院，而医院安排手术的时间为下周一，那么若天），所以医院最早会安排其本周六入院。假设一周的观察期能充分体现模型的各方面指标。入院则需等待 4 天（2（2）模型的建立通过对已给数据的分析得出了每类患者的最短住院时间：单眼障为 5 天，双眼障为 7 天，青光眼为 10 天，视网膜疾病为 12 天，外伤为 7 天。更进一步地，得到了一周之内每天空出的床位可能的利用途径，

13、仅以周一为例，示意流程图如下：周一入住若为障若为障（双眼若为青光眼若为视网膜若为外伤等待两天恢复三天等待七天恢复五天等待三天恢复八天等待三天恢复十天等待一天恢复六天周六出院周六出院周五出院周日出院周一出院注：斜体加下划线为不宜采取的安排方式经综合、整理到如下表格：表一：注：斜体加下划线路径在实际应用中不宜采取用i 表示aij 表示周 i 时为 j 类i，Ai 表示当天出院人数，Xij 表示i 时j 类的出院人数，分配住院时的比例权重，其中 i=1，27；j=1，25，分别对应单眼障患者、双眼障患者、青光眼病患者、视网膜疾病患者和外伤。依出入院院类型周一周二周三周四周五周六周日障周 六（等待两天

14、恢复 三天）周 六（等待一天恢复 三天）周 四（等待五天恢 复 三天）周 四 ( 等待 四天恢复 三天)周 四（等待三天恢 复 三天）周 四（等待两天恢复 三天）周 四（等待一天恢复 三天）障（双眼）周 六（等待七天恢 复 五天）周 六（等待六天恢复 五天）周 六（等待五天恢复 五天）周 六（等待四天恢复 五天）周 六（等待三天恢复 五天）周 六（等待两天恢复 五天）周 六（等待一天恢复 五天）青光眼周 五（等待三天恢复 八天）周 五（等待两天恢复 八天）周 六（等待两天恢复 八天）周 日（等待两天恢复 八天）周 一（等待两天恢复 八天）周 三（等待三天恢复 八天）周 三（等待两天恢复 八天）

15、视网膜疾病周 日（等待三天恢复 十天）周 日（等待两天恢复 十天）周 一（等待两天恢复 十天）周 二（等待两天恢复 十天）周 三（等待两天恢复 十天）周 五（等待三天恢复 十天）周 五（等待两天恢复 十天）外伤周 一（等待一天恢复 六天）周 二（等待一天恢复 六天）周 三（等待一天恢复 六天）周 四（等待一天恢复 六天）周 五（等待一天恢复 六天）周 六（等待一天恢复 六天）周 日（等待一天恢复 六天）据上表给出的不同的住院规则，不难确定出当天入院者的出院时间。这样只要根据医院手术安排和不同眼病手术所需时间合理地推导出 35 个 aij 权重因子，医院的病床安排模型就确立了。首先，由于等待手术

16、的队列是无限长的，所以医院病床在每天安排完出入院手续后都会是满额的，因此每天的出院、住院即有，数也是相等的。Ai 出院=以此类推，可以得出今后医院系统中每天的出院（3）题目问题的求解。根据目前的病床安排情况，利用所建模型，只需知道明天是的数量。以及空床总数量便出明天应安排的各类入住通过分析所给数据，选取 2008 年 7 月 28 日2008 年 8 月 3 日这一作为参考，初始向量为11 9 9 8 7 12 6T。得到了现行病床安排系统的各项指标为：平均住院时间：9 天平均等待住院时间：12.5 天病床使用率：73.8%接下来一个内的出院人数为：72内数据而所建模型的各项指标为：平均住院时

17、间：8 天平均等待住院时间：9 天（在模型与原型排队队伍等长时测得）病床使用率：100%接下来一个内的出院人数为：87在此需要是，由于现实情况是等待的各类越来越多，是充足的，很难量化，而两系统又基本等同，因此在评价体系中略去了该指标。利用表二：方法，得到结果如下：通过对两组y 的 95的区间来检验可知两者的RSR 有显著性差异。通过一致性检验可知评价指标对被评价的评判一致，即各指标对被评价的判断是不独立的,有相关的。由此可以判断给出的模型优于当前系统。五、问题 3 的求解排队住院时间的推导1、问题的分析根据建立的模型，只要获知该患病类型接受门诊进入等候入院队伍的日期及就可以知道接下来每天该类型

18、患者的入院人数，只要再知道该前同类型等待住院的人数即到该患者的住院时间。2、问题的求解假设该进入队列的日期为 n,且为周 i，且入队时医院已安排完了当天的入住计划。另设类型为 j，排列在其前面的 j 类型总数为 M 个。此时，利用模型可以知道在n+1,n+2n+k 天时的医院接受总数Xn+1，Xn+2Xn+k，则相应的该指标系统平均住院时间平均等待住院时间实际病床使用率时间内的流量RSR原系统9 天（1）12.5 天（1）73.8%（1）72（1）0.5模型8 天（2）9 天（2）100%（2）87（2）1.0Xn+1*a(i+1)%7j, Xn+2*a(i+2)%7j, Xn+m*a(i+m

19、)%7j。类型患者的入住人数分别为若k 天后入住医院，则 k 取使经综合、整理到改进表格。（见附表一）则根据之前模型建立时的优化权重因子确立依据，到针对此问题的最终权重因子矩阵为故建议医院在住院部周六、周日不安排手术的情况下，将三、周五。障手术的时间调至周七、问题 5 的求解给定病床安排方案及目标条件下的病床比例分配模型1、问题的分析题目的要求即为在类占用病床比例大致固定的方案下，探寻各类比例的最佳比例组合值使得对所有所在系统的平均逗留时间最短，属于典型的线性规划问题。而问题的难点在于如何限制各比例变量的取值范围，使在满足现实病床需要的合理配置下达到住院在系统平均逗留时间最短。2、模型的假设医

20、院手术安排时间不变。每种类型的等待住院患者是过剩的，即系统中不会有空床出现。（3）每种的住院安排为先到先服务的原则，由于患者过剩，入院是概率不受到几的影响，尽管会延长自己的住院时间。3、模型的建立首先，可根据附录二中的图例得到每种类型分别在一周之内每天入院时所对应的在医院的逗留时间，由于每天的入住概率是相等的，可直接算出相应类型在系统逗留时间的其平均值，见下表：表三：然后设单眼障病床、双眼障病床、青光眼病床、视网膜疾病病床、外伤病床的比例分别为C1、C2、C3、C4、C5。下面确定每个值的约束条件。通过分析题目已给数据到实际中各类所占取每类总数的比例，有理由认为病床的比例分配应一次为基准，一般

21、地，所占比例的浮动值为该逗留时间患者周一周二周三周四周五周六周日平均值单眼障54876545.57双眼障12111098769.00青光眼1112101010101010.57视网膜疾病1312121212131212.29外伤77777777.00比例的 5%，则表四：每类所占比例的约束范围，如下表：至此，问题可归纳为：min5.57C1+9.00C2+10.57C3+12.29C4+7.00C5C1+ C2+ C3+ C4+ C5=1 0.20C10.220.22C20.250.11C30.120.27C40.300.15C50.17s.t.应用Lingo进行求解，最终得到问题的最优解为C

22、1=0.22 C2=0.23 C3=0.11 C4=0.27 C5=0.17此时，在系统总的平均逗留时间为 8.966 天。对应的单眼障病床、双眼障病床、青光眼病床、视网膜疾病病床、外伤病床数分别为 17、18、9、21、 14。八、模型的优缺点分析1、优点（1）权重因子分析问题方法的引入，具有一定的独创性，使得模型在应用过程中具有很强的灵活性、实用性，使复杂的医院排队问题变得简单、易解。（2） 可行性。了、线性规划等被广泛实用的理论和方法，增强了模型的度和2、缺点（1）问题四的模型直接由问题二中的模型演变而来，因此显得有些单薄，部分问题占总比例下限值上限值单眼障0.210.200.22双眼障

23、0.230.220.25青光眼0.110.110.12视网膜疾病0.290.270.30外伤0.160.150.17的含义可能没有被挖掘出来。在确定问题二中模型的各项指标时选取一周的观察时限所得指标的平均值可能不具有代表性，观察时限增长到 12 天甚至更长可能会使各项指标的确定更加合理。问题二中模型权重因子的确定时只进行了定性地分析，并未给出严格的定量计算式，可能带来误差。九、模型的改进问题二中模型确立时可引入网络和模块的概念，以病床为研究对象，可将其等效成具有不同接口的模块，代表着模块的不同接口，最终形成网络，从而将问题从复杂的关系中提炼出来，采用网络分析当中的理论也许模型精确性会更高，更具

24、有说服力。十、参考文献【1】等， 数学建模，哈尔滨：哈尔滨工程大学，2006 年 8 月。【2】陶庄，经典务中心2006 年。详解，：中国疾病预防控制中心公共卫生监测与信息服【3】，数学模型（第三版），：高等教育，2008 年。【4】王文中，excel 在统计分析中的应用，：中国铁道，2003 年。【5】，医院病诊流程的仿弄棋拟研究，：大学公共管理学院。附表附表一 周六周日不安排手术时的住院情况出入院院类型周一周二周三周四周五周六周日障周 六（等待两天恢复 三天）周 六（等待一天恢复 三天）周 四（等待五天恢 复 三天）周 四 ( 等待 四天恢 复 三天)周 四（等待三天恢复 三天）周 四（等

25、待两天恢复 三天）周 四（等待一天恢复 三天）障（双眼）周 六（等待七天恢复 五天）周 六（等待六天恢复 五天）周 六（等待五天恢 复 五天）周 六（等待四天恢 复 五天）周 六（等待三天恢 复 五天）周 六（等待两天恢复 五天）周 六（等待一天恢复 五天）青光眼周 五（等待三天恢复 八天）周 五（等待两天恢复 八天）周 六（等待两天恢复 八天）周 三（等待五天恢 复 八天）周 三（等待四天 恢复 八天）周 三（等待三天恢复 八天）周 三（等待两天恢复 八天）视网膜疾病周 日（等待三天恢复 十天）周 日（等待两天恢复 十天）周 一（等待两天恢复 十天）周 五（等待 五天恢复 十天）周 五（等待

26、四天恢复 十 天）周 五（等待三天恢复 十天）周 五（等待两天恢复 十天）外伤周 一（等待一天恢复 六天）周 二（等待一天恢复 六天）周 三（等待一天恢复 六天）周 四（等待一天恢复 六天）周 五（等待一天恢复 六天）周 六（等待一天恢复 六天）周 日（等待一天恢复 六天）附表二 将障手术时间调至周二周四的表格出入院院类型周一周二周三周四周五周六周日障周 五（等待一天恢复 三天）周 日（等待两天恢复 三天）周 日（等待一天恢复 三天）周 五 ( 等待 五天恢复 三天)周 五（等待四天恢复 三天）周 五（等待三天 恢复 三天）周 五（等待两天恢复 三天）障（双眼）周 日（等待一天恢复 五天）周

27、日（等待七天恢 复 五天）周 日（等待六天恢复 五天）周 日（等待五天恢复 五天）周 日（等待四天恢复 五 天）周 日（等待三天恢复 五天）周 日（等待二天恢复 五天）青光眼周 四（等待两天恢复 八天）周 六（等待三天恢复 八天）周 日（等待三天恢复 八天）周 日（等待两天恢复 八天）周 二（等待三天恢复 八天）周 二（等待两天恢复 八天）周 四（等待三天恢复 八天）视网膜疾病周 六（等待两天恢复 十天）周 一（等待三天恢复 十天）周 二（等待三天恢复 十天）周 二（等待两天恢 复 十天）周 四（等待三天恢复 十天）周 四（等待两天恢复 十天）周 六（等待三天恢复 十天）外伤周 一（等待一天恢

28、复 六天）周 二（等待一天恢复 六天）周 三（等待一天恢复 六天）周 四（等待一天恢复 六天）周 五（等待 一天恢复 六天）周 六（等待一天恢复 六天）周 日（等待一天恢复 六天）附表三将障手术时间调至周三周五的表格注：斜体加下划线路径在实际应用中不宜采取出入院院类型周一周二周三周四周五周六周日障周 六（等待两天恢复 三天）周 六（等待一天恢复 三天）周 一（等待两天恢复 三天）周 一 ( 等待 一天恢复 三天)周 六（等待五天恢复 三天）周 六（等待 四天恢复 三天）周六（等待三天恢 复 三天）障（双眼）周 一（等待二天恢复 五天）周 一（等待一天恢复 五天）周 一（等待七天恢 复 五天）周

29、 一（等待 六天恢复 五天）周 一（等待五天恢复 五天）周 一（等待四天恢 复 五天）周一（等待三天恢复 五天）青光眼周 五（等待三天恢复 八天）周 五（等待两天恢复 八天）周 日（等待 三天恢复 八天）周 日（等待两天恢复 八天）周 二（等待三天恢复 八天）周 二（等待两天恢复 八天）周 三（等待两天恢复 八天）视网膜疾病周 日（等待三天恢复 十天）周 日（等待两天恢复 十天）周 二（等待三天恢 复 十天）周 二（等待两天恢复 十天）周 四（等待三天恢复 十天）周 四（等待两天恢复 十天）周 五（等待两天恢复 十天）外伤周 一（等待一天恢复 六天）周 二（等待一天恢复 六天）周 三（等待一天恢复 六天）周 四（等待一天恢复 六天）周 五（等待一天恢复 六天）周 六（等待一天恢复 六天）周 日（等待一天恢复 六天）附录一RSR 方法详解过程1、评价指标的选择对于任何综合评价来说，评价指标的选择都是的，在 RSR 法中也是如此。选择评价指标的原则主要有：尽量能够全面反映整个事物，尽量选择代表性强的指标。在 RSR 法中将评估指标的区分能力分为优、偏优、稍优，不分几等，在实际中应尽量使用区分能力分为优等（分高低优）的指标，尽量不用不分的指标。使指标间的相关性尽可能不强，如果指标间具有较强的相关性，会给最后的分析结果带来偏移。在不第、条原则的情