超导电子学作业mg

1、超导电子学试题(2007.6)学号：MG0623046：一、（共 20 分）设超导体内的电流密度、电场强度、磁场强度和磁场别为 J ，E ，H 和。已知描述其中电动力学性质的方程式是深度分方程组和下列两个伦敦方程：E2 Jt J H2设 超 导 体 为 无 限 大 ， 在 考 虑 其 中 沿z轴的TM模exp j(kz t)(Hx Hz Ey 0) ，并设场分量与电磁场可以表示为：y方向无关。证明超导体内的Ex exp(Kx) exp(Kx)E j A exp(Kx) exp(Kx)zk Bexp(Kx) exp(Kx)Hyk式中：和 是任意常数，而1 2K 2 k 2 2 A K12 2B

2、1 DE J B 0 E t2Bt解：由方程组和伦敦方程 H J 2 Dt H J 1 E ( )E 022 212H (2 )H 0考虑电磁波沿 Z 轴 h(Kx)e jkz 2，并且场分量与 Y 方向无关，故波函数应满足又因为超导体无限大，所以满足边界条件的解应为h(Kx) A1 exp(Kx) A2 exp(Kx)1其中 K 2 k 2 2 2令 Ex exp(Kx) exp(Kx) 其中 ， 为任意常数由于超导体内电荷，由定理EyExEz E 0 xyz K exp(Kx) exp( Kx) jkEz 0jkK exp( Kx ) exp( Kx ) E zB又由于 E t Ex Ez

3、 j Hzxy 1k 2 K 2k exp(Kx) exp(Kx) Hy Ex 1 22k综上所述，超导体内的电磁场为Ex exp(Kx) exp(Kx)E j A exp(Kx) exp(Kx)zk B exp(Kx) exp(Kx)Hyk式中， 为任意常数1 2K 2 k 2 2 A K12 2B 1二、(共 40 分)解释下列名词，并回答相应1) 超导电子对(5 分)；：超导电子对是指在费密面附近的两个电子由于其子间的净吸引作用吸收和声子能量，形成态，结的电子对，它又称为对。形成电子对的最佳方式是动量相反时自旋相反的两个电子组成。2) 超导弱连接(5 分)； 超导弱连接有哪几种类型？(1

4、0 分)超导弱连接是指如果两块超导体通过某种材料连接起来，并且之间存在弱耦合（位相既不完全相同，也不完全独立，而是保持一定的关系），能以很小的概率通过隧道效应在两块超导体之间转移，就把这种连接叫做超导弱连接。超导弱连接主要有以下几种类型a.隧道结是指由交叉膜组成的结，特点是结有较大的电容和电阻，并需考虑电感，可以把它等效为一个理想的结与电阻、电容并联，与电感串联。b.超导微桥是在超导膜上刻出细颈形的桥区，以削弱这部分的超导电性而形成的弱连接结构。c.点接触结是将细的超导棒压在另一块超导体上，形成点接触。其制作简单，结电容、电感都较小，临界电流大。3)逊效应(5 分)；描述逊效应有哪几个基本方程

5、？(15 分)逊效应是指当两块超导体之间的绝缘层的厚度很小时，电子对由于量子力学隧道效应作用从而穿越绝缘层形成电流，而此时隧道结两端没有电压，即绝缘层也成了超导体。jc sin j 逊效应a.直流2e c (H n)当结两端电压为零时，可以存在一个超导电流，其临界电流密度存在一个最大值 jc , 这是超导电子对隧道电流。其临界电流密度 jc 依赖于磁场。2e逊效应Vb.交流t当结两端直流电压 V0 时，依然存在超导电子对隧道电流，这是交变的超导电流，其频率与 V 成正比，并满足关系式 f=2eV/h 2 1 2 1 sin c 2t 22J2 l c8 ed J cc. Sine-Gordon

6、 方程1/ 21/ 2c c (), ()J r dc为电磁波在结中的速度J 为逊深度它描述了位相随时间和空间变化的关系三.（20 分） 已知約遜結可以用圖示的等效電路模型(RCSJ)表示，而饋至結內的直流電流是 Idc，結兩端的電壓是 V。IdcJV IcsinRC1) （5 分）寫出結的耦合能、由外電源輸入的能量、電容器的儲能和系統的總能量；t解：結的耦合能 EJ IVdt0 0d , I I sin , h2e由V2 dtC0 E sin 0 d dt sin 0 d 0 I (1 cos )ItIJc2 dtc22c0o dt 00 d 0 I ItI由外電源輸入的能量 EIndc2

7、tdc22dc00電容器的儲能 E 1 CV 2 1 C( 0 )2 ( d )222dtc2I (1 cos ) 1 C( 0 )2 ( d )2 0系統的總能量 E E E总Jc2c22dt2）（5 分）用勢能U ( ) (cos I dc ) 表示描述該系統的運動方程；I c V1 0 d解：通过电阻的电流 IRR 2 dtR2dt 2通过电容的电流电流原理 Idc IR Ic Ic sin由1 d d 2代入得 I 0 C 0 I sindcR 2 dt2 dt 2c1 dC d 2I dc sin 0 0移项并归一化得I R 2 dtI 2 dt 2Iccc由U ( ) (cos I

8、dc ) dU ( ) I dc sindIcIcdU ( )1 dC d 2所以该系统的运动方程为 0 0dI R 2 dtI 2 dt 2ccI dcI c3) （10 分）討論勢能的極點，以及與相鄰極點所對應的勢能差U 。在 x 小於 1 但十分接近於 1 時，寫出U 與 x 之間的關係式。I dcI cU ( ) (cos x )解： x 令U () sin x 0当 x 1 时，方程无解，即势能没有极点。当0 x 1时， 在0，2内有两个解，分别为 sin1 x 和 sin1 x12代入U ( ) (cos x ) 求得势能差为U ( ) U ( sin1 x) U (sin当 x

9、小于但十分接近 1 时x( 2 sin1 x)令 x sin ，因0 x 1，故0 ，2则上式变化为U ( ) 2 11 x) 2 cos ( 2 ) sin在 x 1 ， ， U ( ) 在 点展开至三阶级数得22332 2U ( ) U1 )33 2根据等价无穷小 x 1 (cos1 x)23(1 x)24 2)3 U (33四、（20 分）假设有许多超导层和绝缘层交替重迭，一种多层结构。其中第 i 层超导体的厚度是ti ，伦敦深度是i ，第 i-1 层超导体的相应量是ti1 和i1 ，而其间的势垒层厚度是di,i1 (见图)。在这一势垒层中的磁感应强度是 Bi,i1 ，两侧超导体中的表面

10、电流分别是 J 和 J u 。已知各超导层的厚度都小于相对应的i1i伦敦深度。如果第i 层和i 1层超导体的波函数的相位差是i,i1 ，试证明i,i1 d B S BSBi,i1ii1,ii1 i1,i22exi ,i1ti) coth( ti1 ) d coth(d 其中i,i1ii1i ,i1i1iiS itsinh()iiti1i1Bi1,iztiiQ2J P2ixyBdi,i1i,i1J utQ1P1i1i1i1Bi1,i 2i2ti22B1 2路积分；利用B 和 B 与 J 的关系)。(提示：沿图z2证明：设第 i 层超导层的矢量势为 Ai ，第 i 层超导层的波函数的位相为 i ，

11、根据Ginzburg-Landau 方程，12 (i 2eAi )第i 层超导层电流密度与波函数位相的关系 Ji (1)2e 0 i第i 和i 1层超导层之间的规范不变位相差2eQ2i,i1 (x) i i1 A dl(2)Q1穿过区域 P1P2Q2Q1 的磁通QPPQBds Adl 2 A dz 2 A dx 1 A dz 1 A dx(3)i,i1xzxQPP221Q2) i1(Q)由(2)式Az dz (4a), 1i2eQ1P2Az dz i,i1(P) i (P) i1(P)(4b)2eP1由(1)式2P1 A dx ( PP1 J)dx ( ) (Q) (5a)12 Ji10 i1

12、i10 i1i1xi2eQQ12P2 A dx ( J i )dx 2PP( ) (Q)22J(5b)0 iiii2e xQQ22将(4,5)带入(3)可 ds (P) (Q) J (x x ) B(x x )22 J2e i,i1i,i1i,i1Q0 i1i1QP0 iiPi,i1i,i1 (P) i,i1 (Q)2e 22e 22e 0 i J 0 i1 Jdi i Blu(6), 1 i,i1i1xiQ其中, J 和 J u 分别代表第i 层超导层下边缘和第i 1层超导层上边缘的电流密度。ii1 2 B1B根据伦敦方程，超导层 z 方向的磁感应强度满足方程z 22iz / z / 解：

13、B B e B e该方程有ii12假超导层和势垒层边界磁场连续，上述方程满足边界条件t / 2eti 1 / 2i 1B B eBi 1i 1i,i112t / 2eti 1 / 2i 1 B eBBi 1i 1i1,i212由边界条件得eti 1 / 2i 1eti 1 / 2i 1BBi,i1i1,i2B (7a)1eti 1 / i 1 eti 1 / i 1eti 1 / 2i 1eti 1 / 2i 1BBi1,i2i,i1B (7b)2eti 1 / i 1 eti 1 / i 1方程 B 0 J又由 JU x 1 x B 1 x /2B et/2tB ei1i1i1i1i1z 1

14、2z ti1/ 200 i 1Bi1,i2 Bi,i1 cosh(ti1 / i1) JU(8a)i1 sinh(t/ )0 i1i1i1Bi,i1 cosh(ti / i ) Bi1,i1L 同理J i(8b)sinh(t / )0 iii将(8a,8b)带入(6)即证得：i,i1 d S BSBBi,i1ii1,ii1 i1,i22exi ,i1ti) coth( ti1 ) d coth(d i,i1ii1i ,i1i1iiS 其中isinh( ti)i五、(20 分)简要QUID 和RF-SQUID 的基本原理(每一部份的字数不得超过 400 字，但要把最关键的部份说清楚)。答：SQU

15、ID(Superconducting quantumerference device)，即超导量子器件.QUID 即直流超导量子器件，简称直流器件。其基本组成如图示。QUID 基本组成图两个弱连接超导体用超导线并联起来，再通上适当的直流电流。其中的弱连接超导体可以是点接触结、超导微桥或隧道结。QUID 就是一种磁通检测器。对一给定的QUID ， IC 的数值和外加磁场由密切关系。2m由电流流过超导环前后位相差不变和 Ginsburg-Landau 方程 ( A 2e2n js )0s两结之间的位相差为 2 e 2n210直流器件IC e特性0为磁通量子,e为超导环内的有效磁通由上图直流器件 I

16、C e特性可知：IC 是外加磁场穿过器件环孔的磁通量e 的周期性函数，周期恰为磁通量子0 。IC 的最大值 Ic max 出现在e n0 处，最小值 Ic min 出现在e (n 2)0 处， n 0,1, 2. 。Ic Ic max Ic min 表示磁场对临界电流的调制程度，称电流调制深度，通常Ic 为微安量级的。可见，当加于超导环的外磁通量变化时，器件的临界电流呈现周期性变化。直流量子干涉器件就是利用测量相应的临界电流变化达到检测外界磁通量微小变化的目的。对于上述基本组成，由于两个结之间的位相差的相干性导致了超导环的总电流 Imax 与磁通 呈现量子现象，从而呈现出宏观量子 效应。可以用

17、此来检测磁场。1RF-SQUID 即射频超导量子器件。其部分是由一个逊结和超导体连成的闭合环路，其等效电路。RF-SQUID 等效电路图超导环内的I Ic sin 。结应该满足直流关系式2磁通量子化条件为 。02总磁通为 ，外加磁通e LI LIc sin。0其特征参量 2LIc / 0 ，当 0 时，外加磁通e 与环内总磁通 的曲线呈 45直线上附加有以0 为周期的正弦波调制， 越大，调制约深。当 1时， e 与 不再具有单调性，在 e 曲线的拐点处会发生量子跃迁，而磁通跃迁与回复过程中会出现回滞现象。对于 LI LI sin 2 ，极值发生在 de 0 处，即 或 1时。1ecd0此时 RF-SQUID 工作在滞后模式下。在e 曲线上，当外加磁通e 从零开始增加至e ec时，环内总