统计例题及作业

1、统计学例题及作业第五章 抽样推断例 5.1 ：后验概率：硬币朝向试验试验者抛掷次数正面朝上次数正面朝上比率德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005例 5.2 ：先验概率： 某班 36 个同学中有 12 个女生， 24 个男生。 则教师从班上随机抽一个同学回答 问题时，抽中女生的概率为 33.33%，抽中男生的概率为 66.67% 。例 5.3 ：某大学有 50%的学生喜欢看足球比赛， 40%的喜欢看篮球比赛， 30%两者都喜欢。问从该校 任意抽取一名学生，他爱看足球比赛或篮球比赛的概率是多少？例

2、 5.4 ：某学生从 5 个试题中任意抽选一题， 如果第一个学生把抽出的试题还回后，第二个学生 再抽，则两个学生都抽第一题的概率为多少？例 5.5 ：分别计算体育彩票“七星彩”中头奖和尾奖的概率。例 5.6 ：完全凭猜测做 10 道判断题，做对 0 10 题的概率分布如下表：做对题数可能结果数概率累积概率 PX 0C10 1C100 0.50100.510 0.0010.0011C10 1011C110 0.5190.59 0.0100.0112C10 4522C120 0.520.58 0.0440.0553C130 120C130 0.530.57 0.1170.1724C140 2104

3、4C10 0.560.56 0.2050.37755C150 25255C150 0.5550.55 0.2460.6236C160 21066C10 0.540.54 0.2050.8287C170 120C170 0.570.53 0.1170.9458C180 45C180 0.5820.52 0.0440.9899C190 10C190 0.5910.51 0.0100.99910C10 1C10C1100 0.5100.50 0.0011.000总和10241.000例 5.7 ：设某厂产品合格率为 90%，抽取 3 个产品进行检验，求合格品分别为0，1， 2，3 的概率？例 5.8

4、：把伦敦五金交易所电解铜每天成交价 (英磅 /吨 )的高点和低点的差距 X 假定为服从正态分布 的随机变量 ,平均值 为 75英磅,标准差 为15 英磅。问：价格差距 X 在 65至 75 英磅之间的概率是多少 ?价格差距 X 在 75 英磅至 90英磅之间的概率是多少 ?价格差距 X 不超过 39 英磅的概率是多少 ?价格差距 X 在 69至 87 英磅之间的概率是多少 ?价格差距 X 在 87至 99 英磅之间的概率是多少 ?例 5.9 ：从 A、 B、C、 D 四个单位中抽选两个单位进行调查，按照重复抽样和不重复抽样，并考虑 顺序和不考虑顺序情况下，可能的样本见下表。从 A、 B、C、D

5、 四个单位中抽选两个单位的可能样本抽样方法考虑顺序不考虑顺序可能样本样本数量可能样本样本数量重复抽样AA、AB、AC、ADBA、BB、BC、BDCA、CB、CC、CD16(Nn)AA、AB、AC、AD BB、BC、BD CC、CD10第 1 页 共 15 页统计学例题及作业DA、DB、DC、DDDD不重复抽样AB、AC、AD BA、BC、BD CA、CB、CD DA、DB、DC212(A42)AB、AC、ADBC、BDCD26(C42)例 5.10 ：中心极限定理的验证及抽样平均误差的计算。假定例 5.9 中， A、B、C、 D四个单位的值 分别为 17、19、21、23，总体平均数20 ，总

6、体标准差5 。采用重复抽样从 A、B、C、D四个单位中抽取 2 个单位并考虑顺序的情况下， 16 个样本有关数据如下表：抽样平均误差：(x ) 2 x 样本数量样本数据计算表序号可能样本样本变量值样本均值 x离差 (x )离差平方 (x)21AA17，1717-392AB17，1918-243AC17，2119-114AD17，2320005BA19，1718-246BB19，1919-117BC19，2120008BD19，2321119CA21，1719-1110CB21，19200011CC21，21211112CD21，23222413DA23，17200014DB23，1921111

7、5DC23，21222416DD23，232339合计320040样本均值的平均数：x nx 320 20 ，即样本均值的平均数等于总体平均数。 N n 16验证总体标准差与抽样平均误差的关系：n522.5 x其他三种情况下产生的样本， 其抽样平均误差， 以及抽样平均误差与整体标准差的关系由同学们自 己计算、验证。例 5.11 ：某高校随机抽选 500 个同学，调查得知这部分同学的月平均生活费支出为 578 元，标准 差为 75 元。试以 95.45%的把握程度推算该校全体学生月平均生活费支出的可能范围。解：根据经验， 大学生的生活费支出应该服从正态分布， 随机抽选 500个同学获得的月平均生

8、活费 支出也应该服从正态分布。已知条件： n 500 ，x 578元， s 75元，195.45% ，查标准正态分布表得出 Z /2 2 。第 2 页 共 15 页统计学例题及作业抽样平均误差：s 75x 3.35 （元） n n 500极限误差： Z /2 2 3.35 6.7 （元）x /2 x该校全体学生月平均生活费支出的下限：xx 578 6.7 571.3（元）该校全体学生月平均生活费支出的上限：xx 578 6.7 584.7（元）结论：在 95.45%的把握程度下，该校全体学生月平均生活费支出的可能范围在571.3 584.7 元之间。例 5.12 ：某大学教授从全校 30000

9、 名同学中随机抽取 25 人，调查大学生假期平均每天从事家务劳动的时间（小时）分别为：1.3 ， 2.6 ， 1.8 ， 0.5 ， 0.8 ，1.5 ，2.6，3.5 ，1.1，0.7 ，1.4 ， 2.5 ，1.7 ，1.9 ，2.2 ，0.8 ，0.9，1.7，2.2 ，0.8，1.1，2，1.5，0.9，1。试以 95%的把握程度估计该校全体学生 假期平均每天从事家务劳动时间的可能区间。解：根据经验， 大学生假期每天从事家务劳动的时间应该服从正态分布，本题总体标准差未知， 样本容量 25 属于小样本，抽样分布应按照 t 分布处理。样本平均家务劳动时间：1.3 2.6 1.8 0.9 1

10、251.56（小时）样本标准差：（1.3 1.56）2 （2.6 1.56）2 （1 1.56）2 0.730（5 小时）25推算总体标准差：0.73050.745（6 小时）抽样平均误差：由于n/N=25/30000 Z 0.025或 z Z0.025查标准正态分布表，得 Z /2Z0.0251.96计算检验统计量： z x 0 19.2 20 2.26/ n 2.5/ 50由于 2.260.12在 H0 成立条件下，检验统计量：z x 0/nN (0，1)对给定的0.05，得此问题的拒绝域为： z Z0.05查标准正态分布表，得 ZZ0.05 1.645第 5 页 共 15 页统计学例题及

11、作业x 0 0.1215 0.12 计算检验统计量： z 0 0.5/ n 0.018/ 36由于 0.5 230小时x0在 H 0成立条件下，检验统计量： t 0 t (n 1)0 s/ n 对给定的0.05，得此问题的拒绝域为： t t0.05(n 1)查 t分布表，得 t0.05(n 1) t0.05 (15) 1.7531 根据样本数据，计算样本平均数：x x 188 280 194 . 195 207 3888 24(3 小时) n 16 16样本标准差：(x x) 2(188 243)2 (280 243)2 . (207 243)2s n 1 16 1 27650 42.9(3

12、小时)15x243 230计算检验统计量： tx0243 2301.2112s/n42.93/ 16由于 1.2112 Z 0.025或 z Z0.025查标准正态分布表，得 Z /2 Z0.025 1.96计算检验统计量：P 0 52.5% 50%0(1 0)/n 50%(1 50%) / 400如果以样本比例代替总体比例计算的检验统计量为：第 6 页 共 15 页统计学例题及作业z p p052.5% 50% 1.001P（1 P）/n 52.5%（1 52.5%） / 400 以上结果验证了按式 7.12 与式 7.13 两种方法计算的检验统计量是近似相等的。 由于 11.96 ，样本落

13、入非拒绝域，故不能拒绝 H 0 ，从而该负责人可以得到如下结论：消费这种 产品的顾客中 30岁以上的男子所占比例与假设的 50% 没有显著的差异。第六章 假设检验作业1. 根据以往资料，某种电子元件的使用寿命服从于均值为 2350 小时、标准差为 25 小时的正态分 布。现从一周内生产的一批电子元件中随机的抽取 15 只，测得其使用寿命为： 2315，2360，2340，2325 ， 2350，2320，2335，2385，2325，2355，2360，2350，2345，2340， 2370。试在显著性水平0.05 下，检验这批电子元件的平均使用寿命是否发生显著变化。2. 一个大公司会计部门

14、的负责人发现开出去的发票中有错误，他估计在这些发票中，至少包含一 个错误的发票占 5%以上。于是该负责人在众多发票中随机抽出400 张，经检查发现至少包含一个错误的发票有 22 张。试在显著性水平0.05 下，检验这些数据是否支持这个负责人的看法。从过去的数据可知某厂生产的电子元件的寿命服从均值为 500 小时，标准差未知的正态分布。 通过改进生产工艺后，抽检 15 件样品的数据（小时）如下：502， 509， 513，504，498，506，510，495，501，508， 507，511，508，507，496 试在显著性水平0.05 下，检验改进工艺后这种电子元件的寿命是否有所提高。第七

15、章 时间序列分析例 7.1 ：某公司上旬库存现金数据如下表所示，计算上旬平均现金库存额。日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10 日库存现金（元）375248567433667138336478362511例 7.2 ：某公司 2011 年一季度产品库存量变动情况如下表，计算一季度平均库存量。日期1月1日1月 16日2月 3 日2月 11日3月 12日库存量（台）703585335例 7.3 ：某公司 2011 年度商品库存额数据如下表，计算全年平均库存额。日期一季初二季初三季初四季初四季末库存额（万元）10086104114132例 7.4 ：某饲养场 2011 年度生猪存栏数量如下表，

16、计算全年平均存栏数。日期1月1日4月1日9月1日12 月 31 日生猪存栏数（头）1520140016001460解：根据上表资料，计算每两个相邻时点之间的分层平均数及时期长度如下表：期间13月48月912月分层平均数（头）146015001530时期长度（月）354全年平均库存数为：1460 3 1500 5 1530 4 18000 a 1500 （头）3 5 4 12 也可以直接套公式 7.5 计算：18000 1500 （头）121520 1400 1400 1600 1600 1460 354 222a354例 7.5 ：某公司 2011 年各季度销售计划完成情况如下表，计算全年平均

17、销售收入计划完成程度。季别一季度二季度三季度四季度计划销售收入（万元）5000520054005500销售收入计划完成 %115118120116解：已知条件为“销售收入计划完成程度”指标 c及其分母“销售收入计划完成数” b ，“销售收 第 7 页 共 15 页统计学例题及作业入实际完成数” a未知， a和 b都根据时期序列计算。全年平均销售收入计划完成程度为：aa n a bc cbbbb n5000 115% 5200 118% 5400 120% 5500 116% 24746117.28%.5000 5200 5400 5500 21100 如果把本例中的 “计划销售收入” 换成“实

18、际销售收入” ，平均销售收入计划完成程度该如何计算？ 这个问题留给同学们思考。例 7.6 ：某公司 2011 年各季度职工总人数和技术人员数量如下表，计算全年技术人员占全部职工 总人数的平均比重。a1 a2 a3 a4 a52234 251b1 b2 b3 b4 b52234 2a12a2 a3 a4 a5b12b2 b3 b4 b25时间一季度初二季度初三季度初四季度初四季度末职工总人数500550580600650技术人员数量200240265285330解：已知条件为“技术人员占全部职工总人数比重”指标的分子a和分母 b，a和 b都按间隔相等的时点序列计算。全年技术人员占全部职工总人数的

19、平均比重为：512002240 265 285 33025002550 580 600 65021055230545.77%例 7.7 ：某地区“十一五”期间的粮食总产量及人口数量见下表：年份2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年粮食总产量（万公斤）211500235100258800275600290400年初人口数（万人）210212213215216另： 2010年末的人口数为 218 万人。计算该地区“十一五”期间平均每年的人均粮食产量。解：已知条件为“人均粮食产量”指标的分子a和分母 b ， a按时期序列计算， b按间隔相等的时点序列计算。 “十五”期间平均每年

20、的人均粮食产量为：a1 a2a3 a4 a55b21 b2 b3 b4 b5 b26a1 a2 a3 a4 a5b21 b2 b3 b4 b5 b2661211500 235100 258800 275600 2904001188.22（公斤 / 人） 210 218212 213 215 216 22例 7.8 ：某企业 2011 年度分季度的职工工资总额和职工人数资料如下表：季别一季度二季度三季度四季度工资总额（元）986850102742010359601028750季初职工人数（人）125128124120另：企业四季度末的职工人数为123 人。计算该企业 2011年度职工的平均年工资

21、和平均月工资。解：已知条件为“平均工资”的分子指标 a和分母指标 b 。 a根据时期序列计算， b根据间隔相等 的时点序列计算。首先计算该企业 2008 年度职工的平均季工资：第 8 页 共 15 页统计学例题及作业a1 a2 a3 a4a cb4a1 a2 a3 a4b1b5b2 b3 b45b11 b2 b3 b4b5223422234251986850 1027420 1035960 1028750=8223.75 （元）125 123128 124 120 22 平均年工资应等于平均季工资的 4 倍，即 8223.75 4=32895（元） 11 平均月工资应等于平均季工资的 ，即：

22、8223.75 =2741.25 （元） 33 例 7.9 ：某企业 2011 年各季度的流动资金平均占用额分别为200 万元、 220 万元， 250 万元， 310万元。则全年流动资金平均占用额为：a1 a2 a3 a4 200 220 250 310 a 1 2 3 4245 （万元）44例 7.10 ：某企业 2011 年度 A 材料平均库存额为： 1 至 4 月 52 万元， 5 至 9 月 43 万元， 10 至 12 月 66 万元。则 A 材料全年平均库存额为：af af52 4 43 5 66 345351.75 （万元）例 7.11 ：根据我国 20062011 年国内生产

23、总值计算的逐期增减量、累计增减量、环比发展速度、 定基发展速度、环比增减速度、定基增减速度以及环比增减1%的绝对值计算表：年份2006 年2007 年2008 年2009 年2010年2011 年国内生产总值（亿元）211923257306300670335353401513471564逐期增减量（亿元）4538343364346836616070051累计增减量（亿元）4538388747123430189590259641环比发展速度（ %）121.41116.85111.54119.73117.45定基发展速度（ %）100121.41141.88158.24189.46222.52环比

24、增减速度（ %）21.4116.8511.5419.7317.45定基增减速度（ %）21.4141.8858.2489.46122.52环比增减 1%的绝对值（亿元）2119.232573.063006.73353.534015.13例 7.12 ：根据例 7.11 数据计算我国 2007至 2011年 GDP平均增减量： 45383 43364 34683 66160 70051 25964151928.2（亿元 ）5 6 1例 7.13 ：根据例 7.11 数据， 采用水平法计算平均发展速度和平均增长速度， 有三个算式描述如下：a aa平均发展速度 n 1 2 n 5 121.41% 1

25、16.85% 111.54% 119.73% 117.45% 117.35%a0 a1an 1平均发展速度 n aan0 5 427111596243 117.35%平均发展速度 n R 5 222.52% 117.35%平均增长速度 =平均发展速度 -1=117.35%-1=17.35%。（ 平均发展速度 117.35%和平均增长速 度 17.35%，这两个数据没有剔除价格影响因素 ） 。例 7.14 ：某蛋品收购站 2005 年 2011 年的收购额数据如下表：某蛋品收购站收购额资料 单位：万元第 9 页 共 15 页统计学例题及作业月份1234567891011122005 年10508

26、090502089106050202006 年15548593512299117554222007 年226088955623910148151232008 年2364909960301112158559252009 年2570939862321314199061282010 年287510011068351618259866322011 年328111112374392022301057236采用时距扩大法，把时距延长为一年，得到每年收购总额和月平均收购额构成的动态数列如下表：年度2001 年2002 年2003 年2004 年2005年2006 年2007年全年收购额45750053257

27、3605671745月平均收购额30.141.744.347.850.455.962.1例 7.15 ：某村 :2002 2011年粮食产量分别采用 3 年、 4年移动平均计算的长期趋势值如下表：年份粮食产量Y3 项移动平均趋势值 T粮食产量4 项移动平均2 项移正趋势值 T20022862862003283291.33283301.52004305306.67305305.88332310.252005332319.33315.5320.752006321326321326.883332007325333.33325339.88346.752008354355.33354357.5368.2

28、52009387382.67387375381.7520104073914072011379379例 7.16 ：根据例 7.15 资料，要求建立该村粮食产量的直线趋势方程，并预测2012 年和 2013 年的粮食产量。解： 由于各年粮食产量的逐期增减量大致相等， 可以判断粮食产量呈直线变动趋势。 假定直线趋势 方程为 yt a bt，列 a、b 参数的计算表如下：年份粮食产量 Y（吨）时间值 ttYt2趋势值 Yt （ 吨 ）离差 Y Yt2002286000278.327.68200328312831291.56-8.56200430526104304.80.220053323996931

29、8.0413.9620063214128416331.28-10.2820073255162525344.52-19.5220083546212436357.76-3.76200938772709493711620104078325664384.2422.7620113799341181397.48-18.48合计337945162982850第 10 页 共 15 页统计学例题及作业代入参数计算公式得：210 285 45222n t 2 ( t)2n tY t Y 10 16298 45 3379 10925 13.24Y b t 3379 a1010采用最小平方法拟合的直线趋势方程为：1

30、3.24 45 278.32825Yt 278.32 13.24t其含义是： 2002 年（ t 0 ）粮食产量的趋势值为 278.32 吨，以后每一年的趋势值增加 13.24 吨。 预测 2012年、 2013年时，时间值分别为 t 10、 t 11，则：Y2012 278.32 13.24 10 410.72 （吨）Y2013 278.32 13.24 11 423.96 （吨）例 7.17 ：6 根据例 7.15 资料，要求采用简捷法建立该村粮食产量的直线趋势方程，并预测2012年和 2013 年的粮食产量。解：假定直线趋势方程为 yt a bt，列 a、 b参数的计算表如下：年份粮食产

31、量 Y（吨）时间值 ttYt2趋势值 Yc （吨）离差 Y Y 离差 C2002286-9-257481278.327.682003283-7-198149291.56-8.562004305-5-152525304.80.22005332-3-9969318.0413.962006321-1-3211331.28-10.28200732513251344.52-19.522008354310629357.76-3.76200938751935253711620104077284949384.2422.7620113799341181397.48-18.48合计3379021853300代入参

32、数计算公式： tY 2185b 2 6.62 ，表示每一年增加的粮食产量为 6.62 2=13.24 t 2330Y 3379a 337.9 表示时间值为 0 年度的趋势值。 n 10采用简捷法拟合的直线趋势方程为：Yt 337.9 6.62t预测 2012 年、 2013 年时，时间值分别为 t 11、 t 13 ，则：Y2012 337.9 6.62 11 410.73（吨）Y2013 337.9 6.62 13 423.96 （吨）第七章 时间数列作业1. 某企业 2011 年各季度的合格率数据如下表：季别一季度二季度三季度四季度合格品数量（吨）458574553625合格率（ %）80

33、838885要求：计算全年平均合格率。2. 计算下表空缺指标。 第 11 页 共 15 页统计学例题及作业年份2006年2007 年2008年2009 年2010 年2011 年净利润（万元） 逐期增减量（万元） 累计增减量（万元） 环比发展速度（ %） 定基发展速度（ %） 环比增减速度（ %） 定基增减速度（ %） 环比增减 1%的绝对值（万元）20020300200120253. 某地区 2001 年 2008 年粮食产量如下表：年份2001 年2002年2003 年2004 年2005 年2006 年2007 年2008 年粮食产量 （ 吨）5005205505806006106306

34、50要求：根据上表资料建立粮食产量的直线趋势方程，并预测 2009 年的粮食产量。第八章 统计指数例 8.1 ：某商店销售三种商品的销售量及销售价格资料如下表：商品名称计量单位销售量销售价格 （ 元）基期 q0报告期 q1基期 p0报告期 p1甲商品米10002000109乙商品件200022002528丙商品台300031502025首先编制个体销售量指数： TOC o 1-5 h z q12000kq甲1 100% 100% 200% HYPERLINK l bookmark237 o Current Document q甲 q01000kq乙 q1 100% 2200 100% 110%

35、q乙 q02000kq丙 q1 100% 3150 100% 105%q丙 q03000编制指数计算表如下：商品名称计量单位销售量销售价格 （ 元）销售额（元）基期q0报告期 q1基期p0报告期 p1基期p0q0报告期 p1q1假定p0q1假定p1q0甲商品米100020001091000018000200009000乙商品件20002200252850000616005500056000丙商品台30003150202560000787506300075000合计120000158350138000140000根据拉氏公式编制三种商品销售量综合指数为：kqq1p0q0 p01380001200

36、00115%第 12 页 共 15 页统计学例题及作业即三种商品的销售量综合上升 15%由于销售量增长而增加的销售额为：q1 p0q0 p0 138000 120000 18000（元 ）根据派氏公式编制三种商品销售量综合指数为：kqq1p1 158350 113.11%q0p1 140000即三种商品的销售量综合上升 13.11%由于销售量增长而增加的销售额为：q1 p1q0 p1 158350 140000 18350（元 ）编制三种商品的个体价格指数：kp甲p1 100%p09100%1090%kp乙p1 100%p028100%25112%kp丙p1 100%p025 100%2012

37、5%用拉式公式编制三种商品销售价格的综合指数为：kpp1q0 140000 116.67%p0q0 120000即三种商品的销售价格综合上升 16.67%由于销售价格提高而增加的销售额：p1q0p0q0 140000 120000 20000（元 ）结合例 8.1 指数计算表，用派式公式编制三种商品销售价格的综合指数为：kpp1q1 158350p0q1 138000114.75%即三种商品的销售价格综合上升 14.75%由于销售价格提高而增加的销售额：p1q1p0q1 158350 138000 20350（元 ）例 8.2 ：根据例 8.1 指数计算表，编制加权算术平均销售量指数和加权算术

38、平均价格指数：kq p0q0 200% 10000 110% 50000 105% 60000 138000k q115%p0q010000 50000 60000 12000k pkq p0q0 90% 10000 112% 50000 125% 60000 140000 116.67%p0q010000 50000 60000 12000例 8.3 ：根据例 8.1 指数计算表，编制加权调和平均销售量指数和加权调和平均价格指数：第 13 页 共 15 页统计学例题及作业kp1q1 18000 61600 78750 158350 113.11%kqp1q1 18000 61600 78750 14000 113.11%kq200% 110% 105%p1q1 18000 61600 78750 158350k p114.75%p1q1 18000 61600 78750 138000 k p 90% 112% 125%例 8.4 ：某连锁超市 201