专题18《弦图模型》

1、 专题18弦图模型专题 18 弦图模型 破解策略 1内弦图 如图，在正方形 ABCD 中， BF CG ， CG DH ， DH AE ， AE BF ，则 ABE BCF CDG DAH 证明因为 ABC BFC 90 所以 ABE FBC FBC FCB 90 所以 ABE FC B 又因为 AB B C所以 ABE BCF ， 同理可得 ABE BCF CDG DAH HGFEDCBA 2外弦圈 如图，在正方形 ABCD 中，点 M ， N ， P ， Q 在正方形 ABCD 边上，且 四边形 MUPQ 为正方形，则 QBM MCN NDP PAQ 证明因为 B QMN C 90， 所以

2、 BQM QMB QMB NMC 90， 所以 BQM NM C 又因为 QM MN ，所以 QBM MCN 同理可得 QHM MCN NDP PAQ NMQPDCBA 3括展（1）如图，在 Rt ABH 中 ABH 90， BE AH 于点 E 所以 ABE BHE AH B（2）如图，在 Rt QBM 和 Rt BLK 中， QB BL ， QM BK ，所以 QBM BLK EHBA 证明因为 BLK 90， QM BK ， 所以 KBL QMB KBI 十 K 90 所以 QMB K ， 又因为 QB BL 所以 QBM BLK LKQB ME 例题讲解例 例 1 1 四边形 ABCD

3、 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在的直线上，连结 CE ，以 CE为边，作正方形 CEFG （点 D ， F 在直线 CE 的同侧），连结 BF 当点 E 在线段 AD 上时， AE1，求 BF 的长 GFEDCBA 解如图，过点 F 作 FH AD 交 AD 的延长线于点 H ， 延长 FH 交 BC 的延长线于点 K 因为四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形，根据“弦图模型”可得 ECD FEH ，所以 FH ED AD AE 3， EH CD 4因为 CDHK 为矩形，所以 HK CD 4， CK DH EH ED 1所以 FK FH 十 HK 7， BK BC

4、 CK 5 所以 BF 2 2FK BK 74HKABCD EFG 例 例 2 2 如图， BCD 为等腰直角三角形， CBD 90， BAC 45，若 S ACD 45，求 AC的长DCAB解如图，过点 B 作 BE AC 于点 E ，过点 D 作 DF BF 交 EB 的延长线于点 F 由“外弦图模型”可得 BFD CEB ，所以 BF CE 易证 AE BE ，所以 AC EF ，所以 S ACD 12AC EF 12AC2 45， 从而 AC 3 EFBACD 例 例 3 3某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明（1）如

5、图 1，在矩形 ABCD 中， EF CH ， EF 分别交 AB ， CD 于点 F ， F ， GH 分别交 AD ， BC于点 G H 求证：EFGHADAB（2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AM BN ，点 M ， N 分别在边 BC ， CD 上，若EFGH1115，则BNAM（3）如图 3，在四边形 ABCD 中， ABC 90， AB AD 10， BC CD 5， AM DN ，点 M ， N 分别在边 BC ， AB 上，求DNAM的值图3图2图1DNMBANMABCDGFEH HEFGDCBA解（1）如图 4过点 A 作 AP EF 交 CD 于点 P ，过点 B

6、作 BQ GH ，交 AD 于点 Q 因为四边形 ABCD 是矩形所以 AB DC ， AD B C所以四边形 AEFP ，四边形 BHGQ 都是平行四边形，所以 AP EF ， GH BQ 又因为 CH EF 所以 AP BQ 所以 QAT AQT 90因为四边形 ABCD 是矩形，所以 DAB D 90，所以 DAP DPA 90，所以 AQT DP A所以 PDA QA B所以APBQADAB， 所以EFGHADAB PTQHGFEBD CA（2）因为 EF GH ， AM BN 所以由（1）中的结论可得EFGHADAB，BNAMADAB所以BNAMEFGH1115（3）如图 5过点 D

7、 作平行于 AB 的直线，交过点 A 且平行于 BC 的直线于点 P ，交 BC的延长线于点 S 则四边形 ABSR 是平行四边形因为 ABC 90，所以四边形 ABSR 是矩形所以 R S 90， RS AB 10， AR BS 因为 AM DN 所以由（1）中的结论可得DNAMARAB设 SC x ， DS y ，则 AR BS 5 x RD 10 y，所以在 Rt CSD 中， x2 y 2 25在 Rt ARD 中（5 x ）2 （10 y ）2 100联立方程组2 22 2 225(5 x) (10 y) 10 x y ，得50 xy （舍），或34xy 所以 AR 5 x 8， 所

8、以DNAMARAB81045 NMS RDCBA 进阶训练1如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线， y kx（ k 0）同时经过点 B且点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为 2 AOB OBA 45，则 k _ xyBAO2如图，巳知 ABC 90， D 是直线 AB 上的点， AD B C E 是直线 BC 上的一点，且CE B D直线 AE ， DC 相交于点 P ， APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 EPDCBA3如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A ， D 重合 BP 的垂直平分线分别交 CD ， AB

9、 于 E ， F 两点，垂足为 Q ，过点 E 作 EH AB 于点 H EH 与 BP 交于点 M 求证：HF AP HFEQPDCBA 参考答案：专题 18：弦图模型11 5 【提示】过点 A 作 AM y 轴于点 M ，过点 B 作 BD x 轴于点 D ，直线 AM ， BD 交于点 N ，则四边形 OMND 为矩形，易证 AOM ABN ，所以 AM BN 2 ， OM AN 2k， BD 2k 2 ，OD 2k 2 ，所以点 B （2k 2 ，2k 2 ），根据双曲线表达式，有（2k 2 ） （2k 2 ） k ，解得 k 1 5 xyDNMABO2 APD 45，为固定值 【提示】如图，过点 A 作 AF AB ，并截取 AF BD ，连结 DF ， CF 可得 AF CE ， AF CE