电子科技 第13章 群

1、第十三章 群集合的概念1特殊群3半群与含幺半群1群及其性质2陪集与拉格朗日定理4正规子群512.1 本章学习要求重点掌握一般掌握了解11 半群、群、子群及性质2 元素的周期及计算3 生成元与循环群4 陪集与拉氏定理 3商群及性质2正规子群性质与同态核13.2半群与含幺半群定义13.2.1 在二元代数中，若二元运算“”满足结合律，则称为半群；特别地，若半群中的二元运算“”满足交换律，则称为可交换半群。定义13.2.2 设为半群，若S中存在关于运算“”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为；若独异点中运算“”满足交换律，则称为可交换独异点（可交换含幺半群）。例13.2.1 设A是非

2、空集合，AA表示所有A到A的函数集合，运算“”表示映射的复合运算，证明是半群。分析 只需证明运算“”满足封闭性和结合律。证明 对f, gAA， 显然有fgAA， 故封闭性成立。又函数复合运算“”满足结合律，所以是半群。例13.2.2 设S是一个集合，P(S)是S的幂集合，试证明代数系统 与都是可交换的含幺半群。分析 运算“”和“”显然满足交换律，因此只需说明 与是半群，并计算它们的幺元即可。例13.2.2（续）证明 显然运算“”和“”均满足结合律和交换律，因此它们是可交换的半群。易证和S分别是 和的幺元。因此， 与是可交换的含幺半群。例13.2.3 设n0, 1, 2, , n1, 定义n上的

3、运算n 如下：x, yn, xnyxy (mod n)(即xy除以n的余数)。证明是含么半群。证明：封闭性：x, yn, 令kxy (mod n), 则0kn1, 即kn, 所以封闭性成立；例13.2.3（续）结合律：x, y, zn, 有(xn y)n zxy+z (mod n)xn (yn z)所以结合律成立。单位元：xn, 显然有 0nxxn0=x所以0是单位元。故是含么半群。子半群和子含幺半群将子代数应用于半群，可得下面的定义：定义13.2.3 如果是半群，T是S的非空子集，且运算“” 对T封闭，则称是半群的子半群；如果是含幺半群，T是S的非空子集，eT。且运算“”对T封闭，则称是含幺

4、半群的子含幺半群。例13.2.4 设是含幺半群， M = a | aS，xS 有ax = xa，则 是的子含幺半群。分析 需证明两点：幺元存在，运算“” 封闭。证明 (1) 设e是半群的幺元，则xS，显然有e x = x e，因此，eM。进而M是S的非空子集。例13.2.4（续）（2）对任意a, bM，由M的定义知，xS，有a x = x a， b x = x b，又运算“*”满足结合律，则(a b) x = a (b x) = a (x b) = (a x) b = (x a) b = x (a b)，即 xS, (a b) x = x (a b)，因此，(ab) M。由(1)、(2)可知：

5、是的一个子含幺半群。半群同态利用代数系统中同态与同构概念，得到半群（含幺半群）的同态与同构。设和是两个半群，映射f：ST，对任意元素a, bS，都有f(ab) = f(a) f(b)，则映射f就是半群到半群的同态映射。半群同态（续）如果半群和是含幺半群，其中e，1分别是和的幺元，而且映射f满足： a, bS, f(ab) = f(a) f(b)，且f(e) = 1。则映射f就是含幺半群到的同态映射。当f是单射、满射、双射时，相应的同态为单同态、满同态、同构。例13.2.5 设映射f：N6，且xN，f(x) = x(mod 6)，则（1）f是半群到的同态映射；（2）f是含幺半群到的同态映射。分析

6、 （1），需证明 a, bN，有f(a + b) = f(a) +6 f(b) ； （2），在（1）的基础上，还需说明f(0) = 0。例13.2.5（续）证明 （1） a, bN，有 f (a + b) = (a + b)(mod 6) = (a (mod 6) + b (mod 6)(mod 6) = a (mod 6)+6 b (mod 6) = f(a) +6 f(a)，所以f是同态映射。（2）根据f的定义，显然有f(0) = 0，又根据（1），则f是含幺半群到的同态映射。结论设f是二元代数到的满同态，则根据第十五章同态的性质，容易得到如下结论： （1）若是半群，则也是半群；（2）若含

7、幺半群，则也是含幺半群。13.2.2 元素的幂设S, *是一个半群, 对x S, 可定义：x=x, x=x x, x=x x= x x=x x x, xn=xn-1 x=x xn -=x x x x。 如果S, *有单位元e, 可以定义：x0=e元素的幂（续）由于结合律的满足, 同样有 如下的公式： ax ay=ax+ y (a)=a例13.2.6 （1）设是半群，aS， M = an | nZ+，则是的子半群；（2）设是含幺半群，aS， M = an | nN，则是的子含幺半群；分析 （1）M是非空子集，运算“” 封闭。 （2）还需说明幺元e在M中。例13.2.6（续）证明 （1）a = a

8、1M，所以M是非空集合。对nZ+，anS，因此M是S的非空子集。对an，amM，n，mZ+，则anam = an+m，n + mZ+， anamM。故运算“” 封闭。是的子半群。（2）幺元e = a0M，即幺元在M中。类似（1），同理可证是的子含幺半群。13.2.3 循环半群定义13.2.4 （1）在半群中，若存在一个元素aS，使得对任意xS，都有x = an，其中nZ+，则称为循环半群，并称a为该循环半群的一个生成元，M = a | (aS)且a是S的生成元称为该循环半群的生成集；定义13.2.4（续）（2）在含幺半群中，若存在一个元素aS，使得对任意xS，都有x = an，其中nN，则称此

9、循环含幺半群为循环含幺半群（或循环独异点），并称a为该循环含幺半群的一个生成元，M = a | (aS)且a是S的生成元称为该循含幺半群的生成集。例13.2.7 判断含幺半群是否是一个循环含幺半群？分析 根据定义，判别含幺半群（或半群）是循环含幺半群（循环半群）的关键是计算生成元。如何计算生成元呢？首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。 例13.2.7（续）如在本例中，不妨假设aN是的生成元，则根据生成元的定义，对nN，mN，使得n = am = ma让n = 1，有1 = ma，因此a = 1。这说明，如果有生成元，则生成元必须为1。下面还需验证1是生成元。例

10、13.2.7（续）解 由于存在元素1N，使得对任意nN，都有：n = (n1)+1 = 1+（n1） = 1+1+1+1 = 1n，特别对幺元0N，有0 = 10。所以，“1”是生成元。因此，该半群一定是循环含幺半群。定理13.2.1 循环半群都是可交换半群。分析 由于循环半群中的每个元素都可以表示为生成元的方幂形式，可以使用这种表示形式来证明。证明 设aS是循环半群的生成元。则对x, yS，存在m, nZ+，使得x = am，y = an，所以x y = am an = am+n = an+m = an am = y x，故运算“”是可交换的，即是可交换半群。推论13.2.1 循环含幺半群都

11、是可交换含幺半群。例13.2.8 判断含幺半群是否是循环含幺半群？若是，请求出其所有的生成元。分析 6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5，共有6个元素，则可以判别每一个元素是否是生成元。解 由于6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5，0是幺元，则0肯定不是生成元，对其他元，有： 、1 = 0, 1 = 1, 1 = 2, 1 = 3, 14 = 4, 15 = 5， 所以“1”是的生成元； 例13.2.8（续）、2 = 0, 2 = 2, 2 = 0, 2 = 2,， 所以“2”不是的生成元； 、3 = 0, 3 = 3, 3 = 0, 3 = 3,， 所以“3”不是的生成元；、4 =

12、0, 4 = 4, 4 = 2, 4 = 0,， 所以“4”不是的生成元；、5 = 0, 5 = 5, 5 = 4, 5 = 3, 54 = 2, 55 = 1， 所以“5”是的生成元。例13.2.8（续）因此，含幺半群有两个生成元“1”、“5”，则是循环含幺半群。另解 不妨设a6是生成元，则x6，mN，有x = am = ma (mod 6)，特别地，当x = 1时，有1 = ma (mod 6)，即kZ，使得ma = 6k + 1，即ma + (k)6 = 1。因此，(a, 6) = 1，即a与6的最大共因子为1。例13.2.8（续）反之，对 a6，如果(a, 6) = 1，则kZ，使得1

13、 = ma + 6k，因此，对x6，有x = (xm)a + 6(xk)，xm，xkZ，根据“+6”的定义，则x = axm，xmZ，因此，a是生成元。例13.2.8（续）综上所述，a6是生成元的充分必要条件是(a, 6) = 1。考虑集合6中，可得“1”、“5”是的生成元，则是循环含幺半群。计算生成元方法： 首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。推广（1）是循环含幺半群；（2）对an, 若(a, n) = 1，则a是的生成元；（3）当n是素数时，n中除幺元“0”以外，其他一切元素都是生成元。 定理与推论定理13.2.2 在每个有限循环半群中，至少有一个幂等元存

14、在。 推论13.2.2 设为一个有限半群，则中至少存在一个幂等元。 作业P295：3、6、9、1313.3 群及其性质定义13.3.1 设为二元代数系统，满足如下性质：（1）“”在G中满足结合律，即a, b, cG，有(ab) c = a (bc)；（2）G中存在关于“”的幺元e，即eG，使得aG，ea = ae = a；（3）G中每个元素a都有逆元a1，即aG，都a1G，aa1 = a1a = e。则称二元代数系统为群。概括：群是满足结合律、有幺元，每个元有逆元的二元代数系统为群定义13.3.2在群中，（1）若运算“”满足交换律，即a, bG，都有ab = ba，则称为可换群或阿贝尔(Abe

15、l)群；（2）集合G的基数称为群G的阶(Order)，记为|G|。若群的阶有限，则称之为有限群，否则称为无限群。例13.3.1 证明是群，其中n是正整数。分析 需要证明4点：封闭性；结合律；幺元存在；逆元存在。证明 （1）封闭性： x, yn，令k = x + y (mod n)，则0kn 1，即kn，所以封闭性成立。例13.3.1（续）（2）结合律：x, y, zn，有(x +n y) +n z = x + y + z (mod n) = x +n (y +n z),所以结合律成立。（3）幺元：xn，显然有 0 +n x = x +n 0，因此，0是幺元。例13.3.1（续）（4）逆元存在：

16、xn，如果x = 0，显然01 = 0，如果x0，则有n xn，显然x +n (nx) = (nx) +n x = 0，所以x1 = (nx)，因此，xn，x有逆元。综上，是群。例13.3.2 设X是任意集合，S = f：XX | f是双射函数，运算“”是函数的复合运算，证明是群。证明 （1）封闭性：f, gS, f, g是双射，则fg也是双射，即fgS。故封闭性成立。（2）结合律：由于函数的复合运算“”满足结合律，因此，在集合S也满足结合律。例13.3.2（续）（3）幺元存在：恒等映射IXG，且fS，有IX f = f IX = f，因此，恒等映射IX是幺元。（4）逆元存在：fS, f是双射

17、，则f1S，且有f1 f = f f1 = IX，因此，f1就是f关于“”的逆元。由（1）、（2）、（3）和（4）可知，是群。说明说明 被称为变换群，如果X是有限集合，设|X| = n，此时称为n阶置换群。变换群在几何学中有十分广泛的应用。定理13.3.1在群中，有：（1）群G中每个元素都是可消去的，即运算满足消去律；（2）群G中除幺元e外无其他幂等元；（3）阶大于1的群G不可能有零元；（4）a, bG，都有(ab)1 = b1a1；（5）群 的的运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素。定理13.3.1（续）分析 由于可逆元就是可消去元，因此（1）显然可证。（2）和（3）分别是证明唯一性和

18、存在性问题，通常采用反证法证明。（4）显然。（5）采用反证法证明。定理13.3.1（续）证明 （1）由于可逆元就是可消去元，而群G中每个元素都是可逆元，则G中的任何元素都是可消去的，即运算满足消去律。（2）对幺元e，由于ee = e，所以e是幂等元。现假设a是群G中的幂等元，即aa = a，则aa = ae，使用消去律，则有a = e。因此，幺元e是G的唯一幂等元。定理13.3.1（续）（3）假设群G的阶大于1且有零元，则 = ，即是幂等元，因此由（2）有 = e，由于|G|1，则xG，x，由是零元，有x = ，又 = e是幺元，则有x = x = x，则， = x，这与x矛盾。因此，G中无零

19、元。注意：如果|G| = 1，则有G = e，此时e既是幺元又是零元。定理13.3.1（续）（4）由于群G中的运算满足结合律，且每个元素都有逆元，有推论12.3.1知，结论成立。（5）假设群G的运算表中某一行(列)有两个相同的元素，设为a，并设它们所在的行表头元素为b，列表头元素分别为c1, c2，这时显然有c1c2。而a = bc1 = bc2，由消去律可得c1 = c2，矛盾。群中元素的周期设G，*是一个群，对aG，可定义： a=e，a=a，a=a a, an=an- a=a an-=a a a； a-=a-，a-= (a-), a-n=(a-)n= a- a- a-。由幂方的定义知： a

20、m an=am+n=an+m=an am； (am)n=amn。元素的周期（续）对群中的元a，由幂方可得到如下的一个序列：, an，, a2，a1，a0，a1，a2，, an，这个序列有周期吗？如果有周期，其最小正周期为多少？分析 在上述序列中，如果存在整数p和q，其中pq，使得ap = aq，则由消去律有aqp = e，元素的周期（续）此时pq就是序列的一个周期，因为对任意的整数m，有am+(pq) = ame = am，即，对任意的正整数n，如果an = e，则n是序列的周期。元素的周期（续）反之，如果n是序列的周期，肯定有an = e。为什么呢？因为由周期的定义可知，如果n是周期，则对任

21、意的整数m，由am+n = am，即aman = am，由消去律，可得an = e。定义13.3.3 设e是群的幺元，aG，（1）使得an = e成立的最小正整数n称为a的周期或为元素a的阶，记为|a|；（2）若不存在这样的正整数n，使得an = e，则称a的周期无限，即对nZ + ，都有an e。显然，群中幺元e的周期为1 定理13.3.3设a是群中的元素，则：（1）如果a的周期为n，则对任意的整数i，有ai a1, a2, , an ，且对任意的p, q1, 2, ., n, p q，有apaq；（2）如果a的周期无限，则对任意的整数p, q, p q，有apaq；（3）a和它的逆元a1的

22、周期相同。例13.3.3 计算实数加群中元素的周期。分析 在中幺元为“0”，所以有0 = 0，而对aR，且a0，及nZ + 有an = an + a = a + an = a + a + + a = na0 ，因此，此时仅有“0”有周期“1”，而其余元素的周期无限。结论 在实数加群中，0的周期为1，而其余实数的周期无限。定理13.3.3设是一个群，aG，若a的周期为m，则an = e当且仅当m | n。分析 a的周期为m，则根据以前的分析，序列, an, , a2, a1, a0, a1, a2, , an, , 的最小正周期为m，因此，当m | n时，就有an = e。反之，由于在一个周期

23、a1, a2，am中只有am = e，因此，如果an = e那么一定有m | n。定理13.3.3（续）证明 “” （反证法） ：设an = e，若m不整除n，则qZ，使得n = mq + r（1rm1），由a的周期为m，且an = e，有：an = amq+r = amqar = (am)qar = eqar = ar = e，由于1rm1，这就与a的周期为m矛盾，所以有m | n。定理13.3.3（续） “”：设m | n。则kZ，使得n = mk，于是有： an = amk = (am)k = ek = e，总结 如果证明形如m | n这样的结论，可以采用反证法，即假设m不能整除n，则q

24、Z，使得n = mq + r（1rm1）。例13.3.4设是一个群，对a，bG，若a的周期为3，b的周期为5，且有：ab = ba，则ab的周期为15。证明 设ab的周期为n，由于ab = ba，且运算“”满足结合律，所以有：(ab)15 = a15b15 = ee = e，由定理13.3.3可知：n|15，即n可能是1, 3, 5, 15。例13.3.4（续）当n = 1, 3, 5，有： (ab)1 = abe (若ab = e，则a = b1，故b1的周期为3，则b的周期也为3，矛盾)，(ab)3 = a3b3 = eb3 = b3e （因b的周期为5），(ab)5 = a5b5 = a

25、5e = a3a2 = a2e(因a的周期为3)，n = 15时，才有(ab)n = e。故ab的周期为15。例13.3.4（续）另证 设ab的周期为n，由ab = ba有(ab)n = anbn = e，所以有(ab)n)3 = a3nb3n = e3 = e，又a的周期为3，则由上式可得a3nb3n = eb3n = e，即b3n = e，由b的周期是5，则根据定理13.3.3，有5 | 3n，例13.3.4（续）因为(5, 3) = 1，所以可得5 | n，同理，由(ab)n)5 = a5nb5n = a5ne = a5n = e，且a的周期为3，可得3 | 5n，即是3 | n，由3|

26、n, 5|n，且(3, 5) = 1，则15 | n，例13.3.4（续）又因为 (ab)15 = a15b15 = ee = e，而n是周期，则n | 15，由15|n, n|15，且n是正整数，可得n = 15。故ab的周期为15。推广设是一个群，对a，bG，若a的周期为n，b的周期为m，且有：ab = ba，则：（1）若(n, m) = 1，则ab的周期为nm；（2）若(n, m)1，则ab的周期为n，m（n，m表示n与m的最小共倍数）。定理13.3.5有限群中每个元素的周期都有限，且不大于群G的阶。证明 对aG，构造a, a, a, , an, 由运算“”的满足封闭性知：a, a, a

27、, , an, G，因为|G|是有限的，所以a, a, a, , an, 中必有相同的元素，不妨假设： ax = ay （yx），定理13.3.5（续）在式的左右两端同时作用一个ax，有：axax = ay ax = e，即有： ayx = e （yx0），由周期定义可知：元素a的周期一定小于等于(yx)，所以a的周期有限。如果(yx)大于群G的阶，类似可找到小于G的阶的n，使得an = e 13.3.3 子群定义13.3.4 设是群，如果（1）S是G的非空子集；（2）S在运算“”下也是群，即是群。则称是的子群。对任意的群, 和是群G的子群。由于任何群都有这两个子群，故称之为平凡子群，将的非平

28、凡子群称为真子群。例13.3.5计算群的所有子群。分析 6共有26 1个非空子集，并判别哪些是子群。解 集合6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5的所有的非空子集：一元子集：0，1，2，3，4，5；二元子集：0, 1，0, 2，0, 3，0, 4，三元子集：四元子集：例13.3.5（续）五元子集：0, 1, 2, 3, 4, 5。此时仅有四个子集：0，0, 3，0, 2, 4，0, 1, 2, 3, 4, 5，关于运算“ +6”满足：（1）封闭性：运算“+6”关于集合0，0, 3，0, 2, 4，0, 1, 2, 3, 4, 5是封闭的；（2）结合律：显然成立；例13.3.5（续）（3）逆元

29、存在：对集合0，有：01 = 0；对集合0, 3，有：01 = 0，31 = 3；对集合0, 2, 4，有：01 = 0，21 = 4，41 = 2；对集合0, 1, 2, 3, 4, 5，有：01 = 0，21 = 4，31 = 3，41 = 2，51 = 1；例13.3.5（续）（4）幺元存在：对集合0，0, 3，0, 2, 4，0, 1, 2, 3, 4, 5，都有幺元“0”存在； 由（1）、（2）、（3）、（4）知：，是的子群引理13.3.1设是一个群，是的子群，则:（1）子群的幺元eS也是的幺元eG；（2）对aS，a在S中的逆元aS1就是a在G中的逆元aG1。证明 （1）eS是的幺元

30、，则eS2 = eS，又S G，则eSG，由上式可知eS也是群的一个幂等元。所以有：eS = eG。引理13.3.1（续）（2）对aS，a在S中的逆元为aS1S，则有a aS1 = aS1 a = eS = eG，由于S G，所以a，aS1G，有aS1 = aG1。引理13.3.1说明，如果S是G的子群，则S的幺元就是G的幺元，S中任意元a在S中的逆元也是a在G中的逆元。定理13.3.5 如何判别一个子集是子群？定理13.3.5 设S是群的非空子集，S是群G的子群的充分必要条件是：（1）对a, bS，都有abS；（2）对aS，都有a1S。证明 充分性：要证明是群，需证明运算“”对S封闭，结合律

31、成立，S有幺元和S中的任意元有逆元。定理13.3.5（续）封闭性：由(1)知道运算“” 对S封闭；结合律：“”在G中满足结合律，S是G的子集，所以“”也在S中满足结合律。有幺元：S是非空的子集，所以存在元aS，由条件(2)可得a1S，再由条件(1)知道aa1S，即G的幺元e = aa1S。对任意的bS，eb = be，所以e也是S的幺元。定理13.3.5（续）有逆元：由条件(2)，即对任意aS，都有a1S，则aa1 = a1a = e，又因为已经证明e是S的幺元，所以，在中a1也是a的逆元。综上，是群，进而是的子群。定理13.3.5（续）必要性：即证明当是的子群时，条件(1)和条件(2)成立。

32、如果是的子群，显然运算“” 对S封闭，即条件(1) 成立。根据引理10.1可知，S中a的逆元也是a在G中的逆元，因此有对aS，都有a1S，故条件(2)也成立。定理13.3.6设S是群的非空子集，S是子群的充分必要条件是：对a，bS，都有ab1S。分析 根据定理13.3.5证明证明 必要性：如果S是G的子群，则对a，bS，由定理13.3.5可知，b1S，进而ab1S，所以必要性成立。定理13.3.6（续）充分性：即如果对a，bS，都有ab1S，来证S是G的子群。S非空，所以存在cS，则由已知有cc1S，即幺元e = cc1S，则对aS, ，由已知及eS，有ea1S，即a1S；又对a, bS，由b

33、S，则b1S，则ab a (b1)1S，由定理13.3.5可知，是的子群。例13.3.6设是一个群，对任意的aG，令S = an | nZ，Z是整数，证明是子群。分析 使用定理13.3.6来证明。证明 显然S非空。对x, yS，则存在n, mZ，x = an，y = am，则xy1 = an (am)1 = anm，且nmZ，所以xy1 = anmS，故由定理13.3.6可得，是的子群。推论与定理推论13.3.1 对群中的任意元a的整数方幂组成的子集是子群，即S = an | nZ，Z是整数是的子群。如果S是群的有限非空子集，则S还有更弱的判断定理：定理13.3.7 设S是群的有限非空子集，则

34、S是子群的充分必要条件是a, bS，有abS。定理13.3.7（续）证明：必要性：显然。充分性：根据定理13.3.5，只需证明对aS，有a1S。对aS，则由已知有a2 = aaS, a3 = a2aS, ，an = an1aS, ，令H = an | nN+，则H是S的子集，又S有限，得p, qN+, p q，ap = aq，则有a pq = e，且pq 0，定理13.3.7（续）则a的周期有限，设a的周期为n，则Q = an | nZ，Z是整数 = a1, a2, , an，由推论13.3.1可知，Q是G的子群，又aQ，则a1Q，另一方面，由于a的周期为n，则有Q = a1, a2, , a

35、n = H，则a1H，又H是S的子集，则a1S，定理13.3.7（续）因此，aS，有a1S。又已知a, bS，有abS，根据定理13.3.5，可得是的子群，故得证。推论13.3.2 设S是有限群的非空子集，则S是子群的充分必要条件是：a, bS，有abS。 子群判别方法总结根据子群的定义，要证明以下5点：、S非空子集； 、运算对S的封闭性；、运算在S上结合律成立； 、S上存在幺元；、S中的每个元都存在逆元。判别定理13.3.5将5点减少为3点：、S非空子集； 、运算对S的封闭性；、S中的每个元的逆元都在S中。子群判别方法总结（续）判别定理13.3.6将后两点融合，并将以上3点进一步减少为2点：

36、、S非空子集； 、对a，bS，有ab1S。如果S是有限子集，根据定理13.3.7，则此时只需证明2点：、S非空子集； 、运算对S的封闭性。在具体应用中，一般都使用判别定理，特别是定理13.3.5和13.3.6来证明一个非空子集是子群。例13.3.6设是一个交换群，令S= a| aG且a = a1，证明是的一个子群。分析 用定理13.3.6证明，即只需证明两点：、S非空子集；、对a, bS，有ab1S。对幺元e，有e = e1，因此，eS，所以S非空。另一方面，要证明ab1S，即是证明(ab1) = (ab1)1，例13.3.6（续）又(ab1)1 = ba1，因此，只需证明ab1 = ba1，

37、又a, bS，可得a = a1， b = b1。则只需证明ab = ba，由于是交换群，故ab = ba成立。证明 略。例13.3.7设G是nn可逆实矩阵集合， “”是矩阵乘法运算，则是群，令S = A | AG 且|A| = 1，证明是群的一个子群。分析 首先应该知道群中的幺元和逆元。不难得到，幺元是单位矩阵I，任意AG的逆元就是A的逆矩阵A1。再根据定理13.3.5证明。例13.3.7（续）证明 （1）非空性：单位矩阵IG，且| I | = 1，所以IS，即S是非空集合。（2）封闭性：A, BS, | A| = 1, | B| = 1，有|AB| = |A|B| = 11 = 1，且AB是

38、可逆矩阵，因此有ABS。例13.3.7（续）（3）逆元存在：AS, | A| = 1，则A的逆矩阵A1满足| A1| = 1/|A| = 1，故A1S。由（1）、（2）、（3）知：作成的子群。例13.3.8设是整数加群，令：S = 5k | kZ，证明是的子群。分析 用定理13.3.6来证明，即只需证明两点：、S非空子集；、对a，bS，有a + b1S，即证明a + b1 = a bS。证明 （1）显然S非空；例13.3.8（续）（2）对a, bS，存在k1, k2Z，有a = 5k1, b = 5k2，则a + b1 = 5k1 5k2 5(k1 k2)H (k1 k2Z)，由（1）、（2）

39、知：是的子群。例13.3.9设是一个群，H1，H2是G的两个子群，证明H = H1H2是G的子群。分析 根据定理13.3.5，需要证明3点：、H非空子集；、运算对H的封闭性；、H中的每个元的逆元都在H中。证明 （1）非空性：由于H1，H2是G的两个子群，所以有eH1，eH2，即有eH1H2，故H非空。例13.3.9（续）（2）封闭性：对a, bH，有a, bH1H2，即a, bH1, a, bH2，由H1, H2是子群，有a*bH1, a*bH2，即有a*bH1H2。（3）逆元存在：对aH，有 aH1H2，即aH1，aH2。由H1，H2是子群，有a-1H1, a-1H2，即有a-1H1H2。由

40、（1）、（2）、（3）知：可作成的子群。推广设G，*是一个群，H1，H2，Hn是G的n个子群，则有H= H1H2Hn是G的子群。13.3.4 群的同态设和是两个群，映射：GH， 且a，bG，有(a b) = (a)(b)，则就是从到的群同态映射。当是单射、满射和双射，群同态分别称为单一群同态、满群同态和群同构。定理13.3.8设是到的群同态，则（1）若e是群G的幺元，则(e)是群H的幺元；（2）aG，有(a-1) = (a)-1。证明（1）由于e e = e，又是同态映射，则(e) = (e e) = (e) (e)，可见(e)是群H中的幂等元，所以(e)是群H的幺元。定理13.3.8（续）（

41、2）由是同态映射，可得(a) (a-1) = (a a-1) = (e)，(a-1) (a) = (a-1 a) = (e)，(e)是群H的幺元，因此有(a-1) = (a)-1。此定理说明，群同态映射将幺元映射为幺元，逆元映射为逆元。两个定理定理13.3.9 设是到的群同态，则在下的同态象是的子群。定理13.3.10 设是一个群，是一个代数系统，若存在从到满同态，则是群。群同构同构的群可以看作是相同的群。对有限群而言，其运算“*”可以通过运算表给出，设Gx1,x2,xi,xj,xn.根据定理13.3.1，运算表中每行的元素应互不相同，每列的元素也应互不相同，因此当n3时，则运算表只能是下表：

42、 群同构（续）所以当n3时，在同构的意义下只有一个群。群同构（续）当n =4时，其运算表如下：其中，表2，3和4同构，所以4元群在同构意义下有两个。群同构（续）通过讨论可以得到如下结论：(1)若|G|3，则群G在同构的意义之下只有唯一的一个；(2)若|G|4，则群G在同构的意义之下只有两个。作业P296：17、20、21：(1)23、26、2813.3.6群的应用例13.3.9 Zn = 0, 2, , n 1是整数Z上以n为模的同余等价关系的商集，i, j Zn, i + j = i + j，证明是群。证明 （1）封闭性：i, j Zn，设i + j = kn + r，其中0 r n 1，有

43、i + j = i + j = r Zn,故封闭性成立。例13.3.9（续）（2）结合律：i, j , kZn，有(i + j) + k = i + j + k = i + (j + k)，故结合律成立。（3）幺元：0Zn, iZn，有0 + i = i + 0 = i,故0是幺元。例13.3.9（续）（4）逆元：iZn，设i = kn + r，其中0 r n 1，有i + n r = n r + i = n r + i = n r + kn + r = kn = 0,因此，n r是i的逆元。由（1）、（2）、（3）、（4）可知，是群。例13.3.10 在书店购买图书时，收银员将光学扫描仪对准

44、书封底上一系列黑白条，就可以在结帐屏幕立即显示应付款。书封底上一系列黑白条代表的是国际标准书号(ISBN)。计算机通过ISBN号库存书信息，并用来记帐。但由于噪声或人为错误，ISBN很容易出错，如输错一位数字或顺序颠倒，计算机如何探测这类错误？如一本书正确的ISBN是7505387081，但是由于光学扫描仪受噪声影响，得到7505387051，计算机怎么识别这是一个错误的ISBN号？例13.3.10（续）分析 一本书在封底通常有国际标准书号(ISBN)，它是10个数字组成的字符串，前九位标识这本书，最后一位是校验位。例如，UNIX初级教程的ISBN号是7505387081，第一位是7，表示书出

45、版国家(7表示中国)。第二组数字5053表示出版社(5053表示电子工业出版社)，第三组数字8708表示出版社对书指定的编号，最后一位1表示校验位。例13.3.10（续）形式上，ISBN号由10位数字组成：x1x2x10，其中对i = 1，2，, 9，xi是09的数字，x10是校验位，它有11种可能值：0，2，10，如果校验位等于10，则用罗马数字X表示，因此，x100，2，9，X。ISBN主要通过校验位来探测ISBN号的错误。如前所述，ISBN由x1x2x10共10位数字确定，而前九位分别代表国家、出版社、出版社对书的编号，这九位数字是事先确定，例13.3.10（续）而校验位通过下式的同余等

46、式确定：1x1 + 2x2 + + 9x9 = x10 (mod 11)，在本例中，如果ISBN的前九位是750538708，则校验位x10满足下式：17 + 25 + 30 + 45 + 53 + 68 + 77 + 80 + 98 = x10 (mod 11)，即221 = x10 (mod 11)，则 1 = x10 (mod 11)，例13.3.10（续）由0 x10 10，得x10 = 1。因此7505387081是正确的ISBN号。如果前九位是750538705，则校验位x10满足下式：17 + 25 + 30 + 45 + 53 + 68 + 77 + 80 + 95 = x10

47、 (mod 11)，即194 = x10 (mod 11)，则 7 = x10 (mod 11)，例13.3.10（续）由0 x10 10，得x10 = 7。因此7505387051是错误的ISBN号。解 计算机使用同余关系，通过校验位来发现7505387051是错误的ISBN号。13.4 特殊群特殊群主要有三类：交换群、循环群、变换群（置换群）13.4.1 交换群（阿贝尔群）若群中的运算“”满足交换律，则称是一个交换群（阿贝尔（Abel）群）。由于加法运算“+”满足交换律，因此群，都是交换群。定理13.4.1设是一个群，则是交换群的充分必要条件是：对a, bG，有(a*b)2 = a2*b2

48、。证明 必要性：对a, bG，由于 “*” 可交换，所以有(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b = a(ab)*b = (a*a)*(b*b) = a2*b2。定理13.4.1（续）充分性：对a, bG，若有(a*b)2 = a2*b2，则(a*b)2 = (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)，因此，a*(b*a)*b = a*(a*b)*b，由消去律知：b*a = a*b，所以，运算“*”满足交换律，即是交换群。13.4.2 循环群定义13.4.2 在群中，若存在元素gG，使得对aG，都有：a = gi（iZ，Z为整数集合），则称为循环群，记为G =

49、 (或= )，并称g为该循环群的一个生成元。G的所有生成元的集合称为G的生成集。计算群的生成元是判别一个群是否是循环群的关键。定理13.4.2每个循环群都是阿贝尔群。证明 设gG是循环群的生成元，对n，mG，存在x，yZ，有n = gx，m = gy，则n*m = gx*gy = gx+y = gy+x = gy*gx = m*n，所以，循环群是阿贝尔群。例13.4.1证明整数加法群是循环群，并求其所有的生成元。分析 不妨设aZ是生成元，则由生成元的定义，对nZ，存在kZ，使得n = ak = ka，特别取n = 1，则有1 = ak，又a, k都是整数，所以必然有a = 1，或a = -1。

50、以上说明，如果a是生成元，则a必须是1或者-1，因此，还需进一步验证1是否是的生成元。例13.4.1（续）证明 因为对nZ，有n = 1 + 1 + + 1 = 1n，n = 1 + 1 + + 1 = (1)1 + (1)1 + + (1)1 = (1)1)n = (-1)(-n)，所以1是生成元，故是循环群，其生成集为-1, 1。结论判别群是否是循环群主要就是计算生成元，而计算生成元有两步：、假设生成元存在，并根据定义计算它；、验证计算的结果是否是生成元，如果是，则该群是循环群。例13.4.2证明群(nZ +)是循环群，并求出生成集。证明 设a是生成元，则对mn，存在kZ，使得m = ak

51、 = ka (mod n)，特别取m = 1，则有1 = ka(mod n)，即存在sZ，使得ns + ka = 1，所以有(a, n) = 1，即a与n互质。例13.4.2（续）这说明，如果a是生成元，则有a与n互质。反之，如果(a, n) = 1，则s, tZ，有ns+ta = 1，即 1 = ta(mod n)，所以有 1 = at (tZ)，例13.4.2（续）则对mn，有m = 1m = (at)m = atm(tnZ)，故a是生成元。因此a是生成元的充要条件是(a, n) = 1。群的生成集为M = a | (an)(n, a) = 1)，显然1M，所以1是的生成元，即对mn，m

52、= 1m，故是循环群。结论（1）群是一个循环群，其生成集为M = a| (an)(n, a) = 1)；（2）素数阶的循环群，除幺元以外的一切元素都是群的生成元。两类循环群G = 是循环群，根据生成元g的周期，可得两类循环群：（1）当g的周期无限时，是无限阶循环群，则 =gk | kZ；若ij，则gigj；（2）当g的周期有限时，是有限阶循环群，若g的周期为n，则有 = e, g, g2, g3, gn-1。定理13.4.3 设是以g为生成元的循环群，则（1）若G是无限集，则G与整数加法群同构；（2）若|G| = n，则G与n阶剩余类加群同构。证明 略。结论（1）无限循环群有且仅有两个生成元；

53、（2）阶为素数的循环群除幺元以外的一切元素都是G的生成元；（3）阶为正整数n的循环群G = ，对y = axG，只要(n, x) = 1，则y一定是G的生成元；结论（续）（4）循环群的子群一定是循环群；（5）若G = 是一个n阶的循环群，则由n的一切因子d都可对应产生一个且仅一个d阶子群，该d阶循环子群的生成元为ax，其中x = n/d；（6）阶为素数p的循环群G = 不含有非平凡的真子群。定理13.4.4 设aG是群中的任意元素，令S = an | nZ，Z是整数，证明是的循环子群。证明 略。定理13.4.4说明，群中每个元素的整数方幂集合是该群的循环子群。例13.4.4 证明群是循环群。证

54、明 1Zn，对i Zn，有i = 1 + 1 + + 1 = 1 + 1 + + 1 = 1i，因此1是生成元，所以是循环群。说明 是n阶循环群，它与同构。本质上，是的一个简化。 13.5 陪集与拉格朗日定理13.5.1 陪集定义13.5.1 设是群，是的任意子群，对a, bG，如果有a*b-1H，则称a, b为模H同余关系，此时记为ab(modH)。定理13.5.1设是的任一个子群，证明模H同余关系是G上的等价关系。证明 （1）自反性：对aG，有a-1G，所以a*a-1 = eH，即aa(modH)，所以模H同余关系是自反关系。定理13.5.1（续）（2）对称性：a，bG，如有ab(modH

55、)，即a*b-1H，因H是一个群，所以有b*a-1 = (b-1)-1*a1 = (a*b1)-1H，即ba(modH)，所以模H同余关系是对称关系。定理13.5.1（续）（3）传递性：a, b, cG，如有ab(modH)，bc(modH)，则a*b-1H，b*c-1H，因H是一个群，所以有 a*c-1 = (a*b-1)*(b*c-1)H，即ac(modH)，所以模H同余关系是传递关系。由（1）、（2）、（3）得证。陪集和拉氏定理考虑其等价类：对aG，有：aR=x|(一切xG)(xa(modH) =x|(一切xG)(h=x*a-1H) =h*a|(一切hH)记Ha=h*a|(一切hH)=a

56、R，称Ha为H在G，*中的一个右陪集。同理，可定义G，*的左陪集。定义13.5.2设是群的子群，a是G中任意元素，称（1）aH = a*hhH为子群H在群G中的一个左陪集；（2） Ha = h*ahH为子群H在群G中的一个右陪集。a称为左陪集aH（或右陪集Ha）的代表元。例13.5.1计算群的子群 的一切左、右陪集。解 令H = 0, 2, 4，则所有的右陪集有：H0 = 0, 2, 40 = 0, 2, 4， H1 = 0, 2, 41 = 1, 3, 5，H2 = 0, 2, 42 = 2, 4, 0， H3 = 0, 2, 43 = 3, 5, 1，H4 = 0, 2, 44 = 4,

57、0, 2， H5 = 0, 2, 45 = 5, 1, 3，例13.5.1（续）即 H0 = H2 = H4, H1 = H3= H5, H0H1 = 6；同理，所有的左陪集有0H = 00, 2, 4 = 0, 2, 4， 1H = 10, 2, 4 = 1, 3, 5，2H = 20, 2, 4 = 2, 4, 0， 3H = 30, 2, 4 = 3, 5, 1，4H = 40, 2, 4 = 4, 0, 2， 5H = 50, 2, 4 = 5, 1, 3，有:0H = 2H = 4H，1H = 3H= 5H，0H1H = 6。例13.5.2设G = ，H = kmkZ，则H是G的子群，计算H的左、右陪集。解 根据定义，所有的左、右陪集为：0H = H0 = H = kmkZ，1H = H1 = km+1kZ， (m-1)H = H(m-1) = km+m-1kZ。性质13.5.1设是群的子群，e是幺元，a，bG，则（1）eH = H = He；（2）Ha = H aH（aH = H aH）；（3）aHb Ha = Hb a*b1