常见离散型随机变量的分布列#

1、4常见离散型随机变量的分布列(1两点分布像这样的分布列叫做两点分布列X01Pp如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从分布，而称 p P(X 1 为成功概率(2超几何分布列一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n件，其中恰有 X 件次品，则事件 X k发生的概率为P(Xk错误! ，k0,1,2， m，其中 m min M，n ，且 nN，MN，n，M，NN*.称分布列为超几何分布列如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 .X01mP1 设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求： (12X1 的分布列；

2、(2|X1|的分布列【思路启迪】 利用 pi0，且所有概率之和为 1，求 m；求 2X1 的值及其分布列；求 |X1|的值及其分布列【解】 由分布列的性质知：020.1 0.1 0.3 m 1， m 0.3.X01232X 11357|X1|1012首先列表为：4932 若离散型随机变量 X 的分布列为：X01P9c2c3 8c则常数 c，P(X1.求离散型随机变量的分布列步骤是：(1找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i1,2， ；(2求出取各值 xi 的概率 P(Xxi；(3列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确常用类型有：(1由统计数据求离散型随机变量的分布列，关键是

3、由统计数据利用事件发生的频率近似表示该事件的概率，由统计数据得到的分布列可以帮助我们更好地理解分(3由相互独立事件同时发生的概率求分布列无布列的作用和意义 (2由古典概型来求随机变量的分布列，这时需利用排列、组合求概率 论是何种类型，都需要深刻理解随机变量的含义及概率分布(2018 年福建 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生 产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间 x( 年0 x 11202轿车数量 ( 辆2345545每辆利润 (万元 12

4、31.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求 X1，X2的分布列；(3该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，因为资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产 哪种品牌的轿车？说明理由【解】 (1设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则 P(A错误!错误 !.(2依题意得， X1 的分布列为X1123P错误 !错误!错误!X2的分布列为X21.82.9P错误 !错误!(3由(

5、2得，E(X11错误!2错误 !3错误!错误! 2.86(万元 ，E(X21.8错误! 2.9错误! 2.79(万元因为 E(X1E(X2，所以应生产甲品牌轿车(2018 年湖南 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量 ( 件0123频数1595试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布规律不变，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货若发现存量少于 2件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率(1求当天商店不进货的概率；(2记 X为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望解： (1P(“当天商店不进货” P( “当天商品销售量为 0件”

6、 P(“当天商品销售量为 1件” 错误! 错误! 错误! .(2由题意知， X 的可能取值为 2,3.P(X2P(“当天商品销售量为 1件”错误!错误! ；P(X3P(“当天商品销售量为 0件”P(“当天商品销售量为 2件”P(“当天商品销售量为 3件”错误!错误!错误!错误!.故 X的分布列为X23P错误 !错误!X的数学期望为 E(X2错误! 3错误! 错误! .袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2个，从袋中任取 3个小球，按 3 个小球上最大数字的 9倍计分，每个小球被取出的可能性都相 等，用 X 表示取出的 3个小球上的最大数字，求：(1取出的 3 个小球上的数字互不相同

7、的概率；(2随机变量 X 的分布列；(3计分介于 20 分到 40 分之间的概率思路启迪】 (1是古典概型； (2关键是确定 X 的所有可能取值； (3计分介于 20分到 40分之间的概率等于 X3与 X 4的概率之和 【解】 (1“一次取出的 3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则 P(A错误!错误 !.(2随机变量 X的可能取值为 2,3,4,5，取相应值的概率分别为 P(X2错误 !错误!，P(X3错误! 错误! 错误 ! ，P(X4错误 !错误 !错误 !，P(X5错误! 错误! 错误 ! .随机变量 X 的分布列为X2345P错误 !错误 !错误!错误!(3因为按 3个小球上最大

8、数字的 9倍计分，所以当计分介于 20分 40分时， X的取值为 3或 4，所以所求概率为 PP(X3P(X4错误! 错误! 错误! .袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 错误! .现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 X 表示取球终止时所需 要的取球次数(1求袋中原有白球的个数；(2求随机变量 X 的分布列；(3求甲取到白球的概率解： (1设袋中白球共有 x个，根据已知条件 错误! 错误! ，即 x2 x 6 0，解得 x3，或 x 2(舍去即袋中原有白

9、球的个数为 3.(2X 表示取球终止时所需要的次数，则 X 的取值分别为： 1,2,3,4,5.因此， P(X1错误 !错误 !，P(X2错误!错误!，P(X3错误! 错误! ，P(X4错误 !错误 !，P(X5 错误 ! 错误 ! .则随机变量 X 的分布列为：X12345P错误!错误 !错误 !错误!错误!(3甲取到白球的概率为 PP(X1P(X3P(X5错误 !错误 !错误 !错误 !.1.超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、取不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品 (或次品 的件数、某种小球的个数如果一随机变量 服从超几何分布，那么事件

10、k 发生的概率为P( k 错误 ! ，k0,1,2， m，mmin M，n 2超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数(2018 年江西 某饮料公司招聘了一名人员，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4杯为 A饮料，另外 4杯为 B饮料，公司要求此人员一一品尝后，从 8杯饮料中选出 4杯 A饮料若 4杯都选对，则月工资定 为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2 800 元；否则月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假设此人对 A 和 B 两 种饮料没有鉴别能力 (1

11、求 X 的分布列；(2求此人员月工资的期望【解】 (1X的所有可能取值为： 0,1,2,3,4，P(Xi错误! (i 0,1,2,3,4，则X01234P错误!错误 !错误!错误 !错误!(2令 Y表示此人员的月工资，则 Y的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500，则 P(Y3 500P(X4错误! ，P(Y2 800P(X3错误! ，P(Y2 100P(X2错误! ，E(Y3 500错误! 2 800错误! 2 100错误!2 280， 所以此人员月工资的期望为 2 280元8 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6 名男生， 4名女生，从中选出 4人参加数学竞赛测试，用 X

12、表示其中的男生人数，求 X 的分布列解： 依题意，随机变量 X 服从超几何分布，所以 P(Xk错误 ! (k0,1,2,3,4 P(X0错误! 错误! ，P(X1错误 !错误 !，P(X2错误! 错误! ，P(X3错误 !错误 !，P(X4错误! 错误! ， X 的分布列为X01234P错误 !错误!错误!错误 !错误!易错点 对随机变量的意义理解不到位某射手有 5 发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X 的分布列【正确解答】 P(X10.9，P(X 20.1 0.90.09，P(X30.10.1 0.90.009，P(X40.10.10.10.90.000 9，当 X5 时，只要前四次射击不中的都要射第5 发子弹，第 5发子弹可能射中也可能射不中5 4 4P(X5 0.15 0.14 0.9 0.14. 耗用子弹数 X 的分布列为X12345P0.90.090.0090.000 90.0