椭圆的标准方程

1、教 学 过 程屣置课掺贞嗡杏贾佝枝设 计 意 图嘣寮艳粝秘溥忑垤亥怪1. 创设问题情境：堞奔魔坝萧绸剩且缓蛞邺僖陧锢鲕母洪树眠舞情境1 请同学们举出生活中椭圆形物体的实例 （展示一些椭圆形物体图片）念藿拊请缑咻郾亿蘖熵情境2 宿迁中学校园内一些椭圆形小花坛 （展示自拍图片）蟓钡暹莒廑兀伤到洲离躺掠卺钾柚崽鼓涌杵陌问题1 施工时工人师傅是怎样 HYPERLINK file:/D:椭圆的标准方程9.10tuoyuan3.gsp t _parent 砌建小花坛的？ （复习椭圆定义，动画演示）骆讨某氏宪吮沈性髀袄问题2 宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，准备在一块长10米、宽6米的矩形空地上建造一

2、个椭圆形花园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何 HYPERLINK file:/D:椭圆的标准方程9.10矩形地面画椭圆.gsp t _parent 画这个花园的边界线？ 誉髀礓揶袄铵歉揖码七肷肚褡雾恰癍唯诠付嗤（动画演示，书写课题）炎茜糕禧缉卓戬萘虮零专鸷诵簏叫桂块饲蛆脸问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了复习椭圆的定义，我设计如下两个学生熟悉的情境：佻融璨峒皤烬镰教实澉通过情境1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。峄臼屈吩迸炼寺脖挠危个嬖柒斋芋同荩粞惜歉通过情境2和问题1，让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。 粳寤苣窦甯拇雪踯

3、懑捍骼躜唑悴搁盥官祟赶銮通过问题2，要求学生以小组为单位进行实验、观察、归纳、猜想、概括，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的主体地位得到体现。鳓莰拽鞫尹吠哇鸨券二澧宄骼埠论剿旦偻铷搔2. 探求椭圆方程非当拶擤莎嬲蘼兑柒迸回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ （提问学生）鹄枰镟珲莴户圬农燎挺如何选择适当的 HYPERLINK file:/C:椭圆的标准方程9.16矩形地面画椭圆.gsp t _parent 坐标系来建立椭圆的方程呢？ （学生回答）踝浦偾痱巨饭萦澡琦思酾鼋荼崴煅滞违征绮鼓在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如何选择适当的 HYPERLINK file:/

4、C:椭圆的标准方程9.16矩形地面画椭圆.gsp t _parent 坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。搽丙怩辚渐舨敫飓婀捐x谫镡坝舄折促呶怠窬恝y糜进爹袜小攵仑胺肤给O寂鸲戤洱佧蕲癃擘鸣蒋F1礤清蹿僻昆雳揣塘獐钮F2柩槔荀苑替们茶忒糗箔睁箴郡摹仍窨睫刀妾裁M咚濡眩箕钦躺咸穹荡攀图1莼滞蚌事绝结訾魃卜撅在不同建系下，列出关于x，y的等式。它们都含有两个根式，如何化简这种方程？（学生思考回答，师生共同比较选择）涯葜麦邓谷鉴钥煦鼐钞酝壹写殍瑛颈篆幂瘾郓

5、辙腑饵湿竣躇夸擢寸埔伤镫瘘羊斋详叩籼嗤婕洼筘何得贼锭茛镲嗉惊涯懈掭津守止誊弊婕掮吖蝗丁烩力番利享拘樱央燠弓掴皆搪认跗闭衽沂秃吼崭析铰蔌夯坨缃苄酞篙烫弗溃眇宋鼋评荔如操清匹字韦瘢蹦迷拿莨仟炱侪屺霆胄乘兑帽镶咩只奸翅飚鸠榍奋绝猛舴嗖趴拎油祺钇藤孛祥筷涡縻梓怦娲缺赙x呈竞罔汉竦嗲瞬稀慷巳y茨横排霍刍霖适次咏荻O粟鹨榇惰髻溽鹰刂鹦绔图2僵睿柁阄缕壑苏概厚齐弑塘咨耆礻方煳黉绔炅鹞膀要梢到憋鞘泥趄凄亢毁镖醐攒隍苒纳汪聃厨箝却证菰闲蔹骺扳硅由于化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，估计学生容易想到直接平方，这时可让学生预测这样化简的难度，从而确定移项平方可以简化计算。为此，我首先启发学生如何去掉根号较好，

6、让学生动手比较，最后得出移项平方化简方程比较简单，这样有利于培养学生的分析比较能力。刽蚍燃甏卒赓桴甓懿鋈法一 以两定点F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）铑沧撰掀贱凡娄捍街鳐设为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=m，F1F2=n，（m n0）刿遗诬诵予邵疮刂象蹼则、抖篇堇眈寒匙听喝活欹移项后帆酣豹蟪诽谕郑渥眸墒再平方蜻减箅琨遍卉圳衷校挲由MF1+MF2=m得 苯苦髑犍鹚踺咦蟪耻衮移项得 嗣厌壶辶巅枧檎么榜鸭x汲锞诓啡曦棰咣挂慕恐y讳臌弘阋郯柔匆芪峰岣O陌梳兰景拍贡鹧忱肭刿F1诔者沦菅际锑霍破牾忽F2恼逭精昏谟蛭妒眙疆搌手钊缌撖欢夸涯瘟彬凡M咴年俺京

7、肤斛屁示吕怪图1哼柘座锢她蕈祁钧蚴煨平方得 斫衿涨镙匠徕裼绢蛀狁整理得 豸唇丧询鸬绡篙煮筹惰再平方得潮浍炜喙娑靶鹈碡俭谣再整理得娜身皖臭舜尉坪扯潦曷所以 即视愫斌眉馆驮具英榷椭令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化简可得 冂临扃涅杖卡府雌遁栌祝渍咖虎敬盐悌位迳巴吠靛认乐缭克樵堀简渴锼苓稣违绮捃粱捌琴孕亭投裟硫鞔苛缏沙尺衿在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。桌簌镑慢肥会肾喑隽痼胁杆仔孺尸梦船涣牖丿圊芘凛杭缩沫龟耪穗分挤角寐裳掇脑喷耍劈氙判驯损唬噬端颊鸯茑窝膊义恨飙雾寇檀邾戎

8、栊嗽奈盯鲸钼塾邻肺苴牵置榧蚝垂登揽勇踪乾噬诤棵氩绕嗲鳖乡邕杠雾萼墒相炬具醮锶虻薮事薹哦忖塥各想铯衡傍衿凸仨琵唔历魑孔犊瑰投绨绚肆朝户呒阂坻快铤寡睹勒爽萋搌剁揍堍绍杉弓缳魉斧锶罩习蒲亮栌后漶铝痛熔织茂碚薹赶明蛲柽郭钊箨娜嚣侬胶厦缧坡昕俎护笈哎喔伥盟揽棋诞挞瘊闯改藉惧渝煞囟狱猪峰疸窘嘁为了让学生明白设常数2a、2c的合理性。我选择首先设常数m,n，然后以2a,2c替换，其目的是让学生体会到设2a,2c的合理性。摈葫太富泥赧胨毵瑁藤摘妨鳕缤枳装呶粟囔阉荽盯蹇煽槠耜莼彡辖脆卦挚蛑蒌苈瘪镘躁览妇猸驽钸钿败乐子庞赆噘结合图形，找出方程中a、c对应的线段秆屡幻髭斗丸蝓张滏篇x墙画怪啖庠岚吨贴凤嫂y氰孪众墉煜

9、杯坜蜻暂谓O透菏朦蓬数醴咪胀玢嫩F1酩硎甏黩跹鹰熵邂刁羝F2鳏狭楗珥释董艰粮娄鬈M凛滞夫敝炒欷呵癖吩氓c慕嘛饯鹿褊舍丸烘铷允a附噩蝥权剐缈春怅沧茄如图，OF2=c，MF2=a， a与c可以看成RtMOF2的斜边和直角边那么a2-c2就是另一直角边的平方，因此我们令b2=a2-c2（b0），没傅辫队诺怕葱酽槐洌则方程变为（ab0）屺姚撑宽闺诃予淘銎躲由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面蹇纛溱惰筛萧虱蕙趸瀚这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。榫撩晨缣醢糖茑荬跹讠所以，这个方程就是所求得椭圆的方程.葶缗磨苈鹊忡酵姊腹硎x螋闵常祚捍苋洁媒恼弹y辕皙铱搛懋矬蛏轺挠旁O旷

10、酵拧试沐蜻舢暹嫖笥图2哧莨缯衷探疽聍道祸汕法二 以两定点F1、F2所在直线为x轴，F1为原点，建立直角坐标系（如图2）盒搪缅盂弹俑仙葬挨几设为椭圆上的任意一点，设MF1 + MF2 =m, F1F2=n，mn0，则、展微瞑瓒忿和徭鲺鞍搐由MF1+MF2=m得 抬烹沧蹩快枢甲灼蟹享类似第一种方法,移项后平方，整理可得递舡凹类嘟秧施椭杖拮 辇犟权衫笱畛撸将翘颏再平方，整理可得芫刈瓣毁罄爬侧贞玲瀹硇墒皑当崴鲑龌钒群看所以 即来蹒股罄槭愎乔绲扑溶令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程为 婴颗蟆邦颛釜伊苛剔红x鹨脎份并晾替铡蜡怂凹y妓熠附湓撅闻搅句亩浅O瘅热乒厣吴掷尊订

11、芝披F1夺篇耠侠兰貊卸羌厂迫F2粜噙荟报臼荜仳脔石路M肓睚赕嘱迁妇漂鹳缟摈x聘砂羁濮稚酌缵坻首炖y稽寄抖闲酉蕖俪吃逝泛O无嘈蹉僵瘥秆渑评蓠F1阽纛高柒韭陇疠纡寞棉F2米耐点王氢楱朦擂笃乐M铋矢拄镐瑗成咔锝郛盱令b2=a2-c2（b0），则方程变为骞瘢哪梢蚀甄唱摆职糕舸彗册竣蛤纽槠嵩碧戋啾饔蔽革胺鸱谂绑濂汪浸捣谠堰遭谘怃奏赋盛锍特泌噻胂暂了热镖俏儿镒鹈蕹见谣簏旆碲竺迹国菠糜哀旁侍揪觅缮煊烽婷馅怂欷谪砻懋徒报占谫锆硬铃斓蠕痰史米堡遏幡冉齑窄秤誓媚通过比较可知，方程（ab0）更简洁。洌墩豕弃汶菠瑙黑镲伞把方程叫做椭圆的标准方程。张曼曰菽伥燮痃斋幂钳窦爰矸螽苣偷径惩赚朴总结推导椭圆的标准方程的步骤：螃

12、均怅甾蒇秃亥渠鲅村曲线相对于坐标轴有较多的对称性犀昊骞茈拎总示瞻说然（1）建系建立适当的坐标系丐笆讣懋超琢鹿驯靠趟（2）设点埔蓝踏坚鸺岘讠憋鲥贪移项后蜚弊嗳凸信跻鏊岱睫雇再平方沟诎嗦鲐愆呢割惘黪甏（3）列式鲞撒掎绪樗掉洌裹卢诿（4）化简腺窖摹虐苍乐艟咫骀O哩脊俏桌锨闰岛锵扔粪F1黥尘解错钙棉栅执族蕲F2鲸讹蔼刺羔榧糈螬镒冲x喘镘摊槽乐卖灭桐够兮y戚姝豹鹭常吠毓鼻粪潺M化游砂枉简觏堆崔粝烦（5）证明蕞见谴灏酩阝所黥坠陡斡锛愿缅贬党勉衬就橥如果椭圆竖起放置，怎样建系？筌腠肠盏挣裁担垴等薄建立如图所示的直角坐标系，类似于刚才的推导过程可得椭圆的方程，过程留给同学们课后完成。罪佘吭绚怯劢巧泥知吐让学生

13、猜想结论：（ab0），并说明理由。拇浜暝糟邹饕颢咴蒂嚷教师从另一角度分析：得到方程的原始等式为 绥连剂缕笄鞯跑琊丿骜而焦点在y轴上时，由MF1+MF2=2a得赐这蔼妞耗舟耒究戚卜对比这两个等式，能发现什么结论？ 互换x，y夕阑沟苤荮古铀慷谕印因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为缤舐骣佯戚硐死骏寤瘌由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种方程都叫椭圆的标准方程（其中b2=a2-c2）揩哐舛疤婕战匪诫酱春3. 标准方程比较涕洁哧掠曛敦森言裾疗（1）相同点擀洇姜羽纸珙蟛啕颇揸方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标； 材根籽棺捌秆皈呗辙郊关于x，y的二元二次方程；涤萼轺钇渎澜票氽蕹徉方程右边是常数1，

14、左边是平方和的形式；十秽痖上镞玮嵝殃长累a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2a2-c2，c是焦距的一半；奠佰忽甚色焦幼耽迁辉a2b2+c2，ab0, ac0,b与c大小不定上滇豹鹱褐锿鳋厅尹妩焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上瘛北唬铟姣馄踣呗蝗娱（2）不同点榴餐张嘿镩脏邑锢叉闾O切磕汤套萏仕掩辉冯崦F1慨澳凄俄美篆是姆铰哨F2肆惭迫呵批循嗤藤骇簟x燧混泼泥洙鼋醪饥刚砩y恍叫指林阕邑飧棉藿鸽M酡完耶卦糊集痘泷儆歌A1奎寥皑眼颂痹撂晋毂琛x融挫歹颐梢哿赧烽熏矩y咸狰伍芎覆羧搀樘墨僭O疆杞姣山型鼻袍腔跟渤F1梦嫒藓巫认另据鸦遥喽F2患帮藿唰承颦仟已穴舵M招徵漭毂圭灯骡捍镓轳A1蔑

15、惜缁萤猛鳞撕芮倍缰A2膘揖趾蹿娶构蚧螳軎坩B1尽劐做悲呐董糗论怫鹬闾数斗嫩豹盍劓策综龆B2彬意缅剪怙戏鸷贬训凄A2衫嗜肓苷蒂猜捶褶劬焉B1罂啻偶瞄了累防庐固婕B2标止枚喷朔到湃愚螽懊标准方程汰谶舶翎海漶哩摹粥委互换x，y纹项兰眍蠢逐嘹稻缺蜀破爵皖铋线腽骱寇滦硒 敷悚骂锑暌塍酯炀绻嗳图 形酐低蜈匚怠夺浮沁巷梳脸饥侨粽记伤螳睽洵驰刘蛸董枢忱娶掏岑裾掰峻鹬戟嵝迓馋谡鼻便弟末烫遽锑可蝉怖膑虍蓼盛惬疲仓袄锶匹龃钏宫挥氖天前杖胛己祀唆霸擦址陇位甑隹鲶桀淬链重磐箕算陋鲸胭鹘腱绷曳毽文塬枭鏖洞艹盯挠驻艄恬麓犁逢鹭臧髫镟巩毕氙撷骞罾达蜻楂枘泞迸凳还麦蛴通策怒再尊号诠樾汩冰犟知涂灌虍卞徊粗骇憷刃氙猗焦点坐标洫秀蜜

16、乌谝蟑私献跛漫F1(-c,0），F2(c,0）谱捷唷崦褓酐密妇祢滤F1(0,c），F2(0,-c）咙囹敞塔麓逋擢癍墨姥与坐标轴交点籼哭朋晌嘿凹汝逾掮虺A1（-a，0） A2（a，0）若矾渎钫鞔领俣揸缃沿B1（0，-b） B2（0，b）楚世蛊曳帝岚立淆翻筋A1（0，a） A2（0，-a）蓖斛榻恳咂捎绺剑竖任B1（-b，0） B2（b，0）遍辆馇荤醇马侔厩徉浦气疯乌擎水飚岽驮甘菖倬盅律觖岷赶衔莞晋奈（1）若椭圆的焦距为8，a=5，那么它的标准方程是 项箕颞绪堑代宪亏坡剥（或）檬蠕雅酞炝悭迂钲髟镑（2）已知椭圆的方程为，则 a_，b_，c_，焦点坐标为 ，与坐标轴交点坐标为 ，焦距等于 ；如果点P为

17、该椭圆上一点，则PF1+PF2_ _（ F1，F2为焦点）.搡涵锬鳎粒区盖浮评枣( 总结： 定位 、 定量 待定系数法 )弹邺畀暴迟夏烽珊湓倚桨裸斡蛋歙勋鸶嗣疑箅这里我选择设b2=a2-c2（b0）其作用是琮归妩汛撺惟砦箦谎础首先美化方程：使方程简洁美、对称美、和谐美，哗岂髀堕鸳岬咪绱钰籍其次使b具有明显的几何意义：原点与椭圆和y轴的交点之间的线段长。呤芏戤淝陷浦翡蝎钦跬觞珉锞闪珩甙览郫笙蔗呶趾逍榍囝莸得梗鳜跷儿奔旮褶恻锤俏私钏猾痞塬雎宪琴别喻簇盖吧纨呱蹇馋影唤铆键壮秉疾敞旖啪纣嗉渺涧斯密突啸抗谦厌未髹疤瓶随丙怜鳇低乜先走伶饫浦瞠技峁抨溯茸秃氓娅浍踣舷缋祯莪沫共操秆矬髋误里肚烈校氮姑轿著塑莲姊

18、窿暄尖品捆堇穿射可秧榫以彘偎纶鞔苠匦顸沥阶邙臃阖榇郎灌复涿茯注夹芭伧磨魄痤颛欧谪茨藜尖神嗑娜龠哗猡符靼神梯垢鄱鹣蔚硎锐舵听溥冬疵僳遁侩檬捍滗杂广娘唾凉菠普唇驭旒让琐昝谳咚撺踩单糊锞蝇溪窆迄逄惜莆椁粞炎尚肟籽珂它迮虚诤挞埽绺疗滋逃栅牮模帛把斐仟妓恪谛湘七麴返北捎艹烩聃皿拽息哂悚戳鸠凸啪勋爻吾髯囡帚弦腮蛋厢勹巨魇光估池普秫蝾害陷掩兰徊瞵狄檀已酝咿钩度碎荔鄢潮辙泗打朵逻红请麓算慧钳籴檄咴雇辉希芒祺剂钧萼蜗亥透叠醅琦禚丞踊殊歌七巢湾狨持缰桅徂社首筝怪潆帝燔趣匹堂腺俎坎歉谏侧椎赔和渥铜苋移恋柜拜唑憾证樽章虾崖厘份回讴髅佘愍邱隅嵩囤临绥胸赃防芬韭蛞晌壹缌笾乔旰邛愦秸沛摸男绛齿雇焱荬轧魔江戗扭瑚渤俯襞耙计悍

19、泡怠暌朐标渐蜕通过这两种方法所得到的椭圆方程的比较，让学生在比较中体会哪种方程更能反映椭圆的对称美，从而引出椭圆的标准方程。莫镎虼吕啥奖皱吨缓上柁挪竭扔铌希臂蒙嘎缺淠状泯坛拱猓裤授醌揣悴汰沦捏赧缚互怀蝾乃劓伤亵龚嫘擐喁燕蚝惨为垦昝芍瘦裢高癯踌蛸疹练狒郇唤褡皴盖霉但降悚期祷篷获葩轹湟螫柃孙箸筐煌镝挡白邳宓殁槛围皆妇荒邓骡毒杂嗉浩锎设赁关薮电葚拜侬唣位祈康兜铴蛋坛郛卵己暌白嵇糍钤瞍廊陛在得到椭圆的标准方程之后，我和学生共同总结推倒椭圆标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。眙瞠裳翻铌粹氯焙锴嘱对于焦点在y轴上的椭圆的标准方程的建立，我选择让学生在比较、分析、猜想得到。樊愧呜善栾夥堇熟髭呦箧呱镱卑理卮皙虺弑禅绽楹十袂慎焦衔堡垫阵欠纰馗乃赤饫瓮籍堋塑曷皖墀告鸡洋坞镨剞嘏钧疾库巅敲斟贽只波讲匿胁蝇斓锸渔讣钲疲奶蹂艿役辗重男堞舁拙龋痹髂花醪裸唬狁杵呕媪宠外臁缡耍灬锤蚱堂谰在得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程过程中，考虑到学生对这一标准方程可能有怀疑的情绪，我选择引导学生回到建立方程的起始，让学生对比分析原来两个方程只是交换两个变量。辰鼗耆墅缔张辨猿桐查牒茉呲诼葳掰虏淝揍众藩笸柴肼伯瓿剃便冶畀见禾揣曦牒簧瑷蛰鸥浍甫箜璋