2008级线性代数期末考试题卷答案

1、信息学院本科生 20092010 学年第一学期线性代数课程期末一、 (每小题 2 分，共 16 分)试卷（A 卷）参考1. 2. 3. 4.C5.D6.D7.B8. B11020二、 三阶方阵 A, B 满足 AB E A2 B ，其中 A 00 ，求 B 。(10 分)11解： AB B A2 E , ( A E )B ( A E )( A E )3 分001010100| A E | 1 0 ，故|AE|可逆3 分( A E )1 得 B A E上式两端同时2 分20301 002 分12另解：（复杂，没有考虑相消）AB B A2 E , ( A E )B A2 E2 分00100301A

2、 E 00 ,( A E )1 A E ,3 分110221030A2 E 00B ( A E )1( A2 E ) 002 分,3 分2112三、 计算n(n 2) 阶行列式(两小题分别 6、8 分，共 14 分)01110 x1x01x x0 x1x xx011a11a111a, x 01.2.1a (n - 1)a (n - 1)a (n - 1)1a111a1a111aa (n - 1)解：1. 原式3 分1第 1 页, 共 6 页10a - 1000a - 1a (n - 1) 0 1a + (n - 1)(a 1)n112 分a1 a1a 11 分a n 11 a0a 1000a

3、1a 102 分11=(a + n - 1)(a 1)n1法 2：原式=102 分2 分1注：不能第 2 到 n 列的倍加到第一列，因a 1a 1有可能为 0，这样做的扣1 分。(n 1) / x0000011111 x00010 x00100 x01000 x1 x00010 x00100 x01000 x2. 原式3 分3 分n 1( x)n1= (n 1)(1)n1n2x2 分xx3 1四、 参数 分别取什么值时，方程组(3 2 )x 无解、有无穷23(2 )x 123多解、有唯一解？并求方程组有解时的解。(14 分)2 111 112 2 B 3 2 1 分1 2 2 012 ( 1)

4、( 2)( 1)( 3) 11102 11 101 1 1 02( 1) 3 分 2 0 112 2 7 5( 1)( 3) 11 101（其他如： 03( 1) 均可， 0 1第 2 页, 共 6 页但是变换过程中 不应出现在分母上，否则扣 1 分）因此：(1) 3 时, R( A) 2 3 R( B)，无解2 分2 分(2) 3 且 1时,R( A) 3 R( B) 有唯一解2 ( 2)( 3)1 11101 101001( 3)此时B 02 0 ，11 01 0T 41故解为 1, 3 ,2 分3 (3) 1 时, R( A) R( B) 3 有无穷解2 分 11001001 此时B 0

5、0 ，解为c ,T1 c c Rc ,， c , c2 分121212 00 求正交变换 X PY ,将二次型化为标准形，并写出其标准形。（16 分）五、fx x 2x xx2x )331 2111 21 32 312解：二次型矩阵为 A 111 分 12 1 21001 2113 31(3 )( 1)3 2则| E A | ( 3)23 分故特征根为1 3 (二重)， 2 01 分11111对于1 3 ，代入 E A X 0 得11 X 0 ，解得基础解系11X1 1,1, 0 , X 1, 0,1TT22 分1 , X2 1 , 1 ,1正交化得 X 1,1, 0T ， X 3 分1122

6、 ,1221112 1 , 1 , 2666 1 , 0T , 1归一化 T1 分1222212 11 对于2 0 ，代入 E A X 0 得 11 X 0 ，解得基础解系 123 1,1,1T1 分第 3 页, 共 6 页213111归一化得 ,T1 分3333 11 616261 3 2120 1构造正交矩阵P , ,2 分3 12313 交变换 X PY ,将二次型化为标准形f 3 y2 3 y2 .1 分12注：1. 配方法和合同变换法做对得 4 分，有错得 2 分，错多 0 分。二次型的矩阵写错，后面按错的二次型都对的话（1）若出现正交变换则扣分，否者扣 3 分。构造的正交矩阵与标准

7、化后的向量的对错没有关系。2Q 是一个2n 阶正交矩阵。12六、 Q 是一个n 阶正交矩阵，证明(7 分)证明：(多种方法) ，则12 E ，令 M T由Q 是正交矩阵可知QT 1 T Q TMM T QT2 T2 分2 分 1 E EO 1 2EO EO ，因此 M 为正交矩阵。2 E E 2 2E OE OO2 分1 分1 1 2, , 为线性空间V 的一个基底， 七、 设 212323, 3 也是V 的一个基底，并求向量 2 1 2 33 在基底1 , 2 , 3 下的证明坐标。 (10 分) 11232证明： , , , , 13 , , M2 分 02123123123121121M

8、1 分由于022第 4 页, 共 6 页3知1 , 2 , 3 在同一个基线性空间 V 的一个基底。的坐标列向量线性无关，从而1 , 2 , 3 线性无关三维2 分（注：其他方法证出是基底 得 5 分， 如证明1 , 2 , 3 线性无关）显然 在基底1 ,2 ,3 下的坐标为 X (2, 1, 3) ，T1 分而基底 1 , 2 , 3 到1 , 2 , 3 的过渡矩阵为 M， M2 分因此 在基底1 , 2 , 3 下的坐标为Y MX 5.5000, 5.0000, 6.5000 .2 分1T八、 设在向量组1 ,2 ,m (m 2) 中，1 0 ，且每个i (i 2, 3, m) 都不能

9、被1 ,2 ,i1 线性表示，证明该向量组线性无关。(8 分)证明：（多种方法，有 4 种以上方法）（反证法）假设该向量组线性相关，则有一组非全零的数k1 , k2 , km 使得k11 k22 kmm 0设k1 , k2 , km 中最后一个不为零的为kr ，则必有r 1，否则(1)化为k11 0 ，从而1 0 ，这与1 0(1)2 分1 分2 分。此时(1)化为k k k 0 ，得到 1 (k k k)2 分r11 12 2r rr1 12 2kr即r 可由1 ,2 , kr1 线性表出，与已知条件无关。，故假设错误，从而该向量组线性1 分常明 2：设有则有一组数k1 , k2 , km

10、使得k11 k22 kmm 0(1)若k 0 ，则(1)化为 1 (k k k) ，即 即 可由 , , k线m1m1mm1 12 2m12km，从而必有 km 0 。此时(1)化为k11 k22 km1m1 0 0, k m2 0, k2 0 ，此时(1)化为k11 0 ，由于1 0 ，故必有k1 0 。性表出，与已知条件km1类似因此仅当k1 k2 km 0 时(1)成立，从而该向量组线性无关。证 3：数学归纳法，证 4：证明任何一个向量都不能被其它向量线性表出。设实矩阵C（其中m n ）的秩为n 。矩阵 A C TC 。证明：（1） A 是正定九、mn A E1 ，其中E 为n 阶矩阵；（2）阵。(共 5 分)证明：（多种方法，注意，本题阅卷可出现 0.5 分，52.52.5。）(1)由R(C ) n ，知其次线性方程组CX 0 只有零解，0.5 分第 5 页, 共 6 页从而任取 n 维列向量Y 0 ，有CY 0 ，0.5 分显然 A 对称，而YT AY YTC TCY (CY )T (CY ) 0 ，故二次型YT AY 正定 1 分从而 A0.(2)由 A 对称知存在 n 阶正交矩阵 P 使得 PT AP D